On a imm\'ediatement 
\begin{equation}\label{domastarin}
{\bf D}({\bf A}^{*})\subset {\bf W}=\left\{
{\bf Q}=({\bf b,d})\in {\bf H};
(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf d},
(\sqrt{\varepsilon})^{-1} {\bf b})\in [H({\bf rot},\Omega)]^{2}
\right\}.
\end{equation}
%On a imm\'ediatement 
%${\bf D}({\bf A}^{*})\subset [H(rot,\Omega)]^{2}$.\\
En effet, la relation (\ref{RELADJ}) est v\'erifi\'ee en
particulier pour~:
\begin{displaymath}
{\bf Q}=(0,\sqrt{\varepsilon}\,u), \,\,avec\,\, u\in
[D(\Omega)]^{3},\,\, on \,a~: 
\end{displaymath}
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{lr}
%\displaystyle{<{\bf A}{\bf Q}, {\bf Q}^{*}>=\int_{\Omega}(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf
%b}^{*}.{\bf rot}(\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}}.\\
%\end{array}
%\end{displaymath}
%
\begin{equation}\label{equadis1}
\displaystyle{<{\bf A}{\bf Q}, {\bf Q}^{*}>=\int_{\Omega}(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf
b}^{*}.{\bf rot} u}.
\end{equation}
Nous pouvons re\'ecrire (\ref{equadis1}) pour $u\in [D(\Omega)]^{3}$
de la mani\`ere suivante~:
\begin{displaymath}
\displaystyle{<{\bf A}{\bf Q}, {\bf Q}^{*}>=<{\bf rot} (\sqrt{\mu})^{-1}{\bf
b}^{*},u>}.
\end{displaymath}
%
Comme 
\begin{displaymath}
|<{\bf A}{\bf Q}, {\bf Q}^{*}>|\leq \|{\bf A}^{*}{\bf Q}^{*}\|\|{\bf
Q}\|\leq \beta\|{\bf
A}^{*}{\bf Q}^{*}\|\|u\|_{(L^{2}(\Omega))^{3}},
\end{displaymath}
on en d\'eduit que 
\begin{displaymath}
(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*}\in H({\bf rot},\Omega).
\end{displaymath}
Avec le m\^eme raisonnement en choisissant cette fois-ci~:
\begin{displaymath}
{\bf Q}=((\sqrt{\mu}\,u,0), \,\,avec\,\, u\in
[D(\Omega)]^{3},
\end{displaymath}
on obtient~:
\begin{displaymath}
(\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*}\in H({\bf rot},\Omega).
\end{displaymath}
Ce qui montre (\ref{domastarin}).\\
Soit maintenant ${\bf Q}=({\bf b,d})\in {\bf D(A)}$, et ${\bf Q}^{*}=({\bf
{b}^{*},{d}^{*}})\in {\bf D(A^{*})}\subset {\bf W}$,
nous avons apr\`es int\'egration par parties~:
\begin{displaymath}
\begin{array}{lr}
{\displaystyle{({\bf A}{\bf Q},{\bf Q}^{*})=\int_{\Omega}(\sqrt{\varepsilon})^{-1}
{\bf d}. {\bf rot}(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*} -
(\sqrt{\mu})^{-1}
{\bf b}. {\bf rot}(\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*} }}\\\\
\hspace{2.cm}+{\displaystyle{<{\bf
n}\wedge((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}),(\sqrt{\mu})^{-1}
{\bf b}^{*} -
{\bf n}\wedge((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}),(\sqrt{\varepsilon})^{-1}
{\bf d}^{*}>_{H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma),H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma)}}}.\\\\
%
{\displaystyle{({\bf A}{\bf Q},{\bf Q}^{*})=-\int_{\Omega}
(\sqrt{\mu})^{-1}
{\bf b}. {\bf rot}(\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*} -(\sqrt{\varepsilon})^{-1}
{\bf d}. {\bf rot}(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*}}}\\\\
\hspace{2.cm}{\displaystyle{-<{\bf n}\wedge((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf
b}),(\sqrt{\varepsilon})^{-1} 
{\bf d}^{*}}}>_{H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{1}),H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{1})} \\\\
\hspace{2.cm} +{\displaystyle{<{\bf
n}\wedge((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}),(\sqrt{\mu})^{-1}
{\bf
b}^{*}>_{H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{2}),H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{2})}}}\\\\
\hspace{2.cm}{\displaystyle{  
-<{\bf n}\wedge((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}),(\sqrt{\varepsilon})^{-1}
{\bf d}^{*}>_{H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{2}),H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{2})}
}}.\\\\
%
{\displaystyle{({\bf A}{\bf Q},{\bf Q}^{*})=-\int_{\Omega}
(\sqrt{\mu})^{-1}
{\bf b}. {\bf rot}(\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*}
-(\sqrt{\varepsilon})^{-1} 
{\bf d}. {\bf rot}(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*}}}\\\\
\hspace{1.3cm}+{\displaystyle{<
\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}),{\bf n}\wedge (\sqrt{\varepsilon})^{-1} 
{\bf
d}^{*}>_{H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{1}),H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{1})} 
}}\\\\
\hspace{1.3cm} +{\displaystyle{
<\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}),
-Z{\bf n}\wedge ({\bf n}\wedge(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf
b}^{*})>_{H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{2}),H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{2})}
}}\\\\
\hspace{1.3cm} 
{\displaystyle{+<\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}),
{\bf n}\wedge((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf
d}^{*})>_{H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{2}),H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{2})} 
}}.  \\
\end{array}
\end{displaymath}
On en d\'eduit d'abord que 
\begin{displaymath}
{\displaystyle{{\bf A}^{*}({\bf Q}^{*})=-^t(
(\sqrt{\mu})^{-1}
{\bf rot}(\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*} -(\sqrt{\varepsilon})^{-1}
{\bf rot}(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*})}},
\end{displaymath}
On a par cons\'equent~:
\begin{equation}\label{TRACEGAM}
\begin{array}{lr}
{\displaystyle{<
\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}),{\bf n}\wedge (\sqrt{\varepsilon})^{-1} 
{\bf d}^{*}>_{H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{1}),H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{1})}
}}\\
+{\displaystyle{<
\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}),
-Z{\bf n}\wedge ({\bf n}\wedge(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*})>_{H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{2}),H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{2})}
}}\\
{\displaystyle{+<\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}),
{\bf n}\wedge((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf
d}^{*})>_{H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{2}),H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{2})}}}&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=0 
\end{array}
\end{equation}
%Ceci reste vrai en particulier pour ${\bf Q}=({\bf b},0)\in {\bf
%D(A)}$, ce qui implique que \\
%$\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b})=0$ sur 
%$\Gamma_{2}$. On obtient~:
%\begin{displaymath}
%{\displaystyle{\forall ({\bf b},0)\in {\bf D(A)},\,\,\,
%\int_{\Gamma_{1}}
%\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}).{\bf n}\wedge (\sqrt{\varepsilon})^{-1}
%{\bf d}^{*}}}=0.\\\\
%\end{displaymath}
%
%Soit ensuite l'espace~:
%\begin{displaymath}
%{\bf X}=\left\{ 
%\begin{array}{lr}
%(u,v)\in [L^{2}(\Omega)]^{6}; (u,
%v)\in [H({\bf rot},\Omega)]^{2};
%\gamma_{T}(v)=0\, {sur} \,\Gamma_{1},\\
%\hspace{2.cm}\gamma_{\tau}(
%v)-Z\gamma_{T}(u)=0 \,{sur}\, \Gamma_{2}
%\end{array}
%\right\}.
%\end{displaymath}
%Nous avons pour $({\bf b},{\bf d})\in {\bf D(A)}$,
%$(u,v)=((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b},(\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d})\in
%{\bf X}$, et comme ${\bf D(A)}$ est dense dans {\bf H} et que
%$\varepsilon$ et $\mu$ sont born\'es
%, nous d\'eduisons que ${\bf X}$ est dense dans
%$[H({\bf rot},\Omega)]^{2}$ pour la norme de {\bf H}. En effet, pour
%tout $(u,v)\in 
%[H({\bf rot},\Omega)]^{2}$, la fonction $((\sqrt{\mu}){
%u},(\sqrt{\varepsilon}){v})\in {\bf H}$, et alors il existe 
%une suite $(u_{n},v_{n})\in{\bf D(A)}$ telle que~:
%\begin{displaymath}
%(u_{n},v_{n}) \rightarrow ((\sqrt{\mu})u,(\sqrt{\varepsilon})v) \,\,\,dans\,\,\, {\bf H}.
%\end{displaymath}
%Par cons\'equent, on a~:
%$((\sqrt{\mu})^{-1}u_{n},(\sqrt{\varepsilon})^{-1}v_{n})\in{\bf X}$,
%et 
%\begin{displaymath}
%((\sqrt{\mu})^{-1}u_{n},(\sqrt{\varepsilon})^{-1}v_{n})
%\rightarrow (u,v) \,\,\,dans\,\,\, {\bf H}.
%\end{displaymath}
%Nous avons donc~:
%\begin{equation}\label{Xspace}
%\begin{array}{lr}
%\forall (u,0)\in {\bf X},\,\,\,
%{\displaystyle{\int_{\Gamma_{1}}
%\gamma_{T}(u).{\bf n}\wedge (\sqrt{\varepsilon})^{-1} 
%{\bf d}^{*}}}=0.
%\end{array}
%\end{equation}
%\vspace{1.cm}
%
%Rappelons d'abord que $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ sont deux ouverts
%disjoints.  
%Soit ensuite \\
%$u_{\Gamma}\in H_{rot}^{-\frac{1}{2}}(\Gamma_{1})$, et
%$\tilde{u}_{\Gamma}$ le prolongement par $0$ de $u_{\Gamma}$ sur tout
%$\Gamma$, anisi 
%$\tilde{u}_{\Gamma}\in H_{rot}^{-\frac{1}{2}}(\Gamma)$.
%
%Comme l'application trace $\gamma_{T}$ est surjective de
%${H}({\bf rot},\Omega)$ dans $H_{rot}^{-\frac{1}{2}}(\Gamma)$, il
%existe alors $u\in {H}({\bf rot},\Omega)$, tel que
%$\tilde{u}_{\Gamma}=\gamma_{T}(u)$, et par construction $(u,0)\in {\bf X}$.
%Gr\^ace \`a la relation (\ref{Xspace}), nous d\'eduisons~:
%\begin{displaymath}
%\forall u_{\Gamma}\in  H_{rot}^{-\frac{1}{2}}(\Gamma_{1}),
%\,\,\,<({\bf n}\wedge (\sqrt{\varepsilon})^{-1} 
%{\bf
%d}^{*}),u_{\Gamma}>_{H_{div}^{-\frac{1}{2}},H_{rot}^{-\frac{1}{2}}}
%={\displaystyle{\int_{\Gamma_{1}} 
%u_{\Gamma}.{\bf n}\wedge (\sqrt{\varepsilon})^{-1} 
%{\bf d}^{*}}}=0.\\\\ 
%\end{displaymath}
%Ce qui implique que ${\bf n}\wedge (\sqrt{\varepsilon})^{-1} 
%{\bf d}^{*}=0$ sur $\Gamma_{1}$.\\
%Soit maintenant $u_{\Gamma}\in H_{rot}^{-\frac{1}{2}}(\Gamma)$, il
%existe $u\in  
%{H}({\bf rot},\Omega)$ tel que
%$u_{\Gamma}=\gamma_{T}(u)$, et soit $v\in {H}({\bf rot},\Omega)$
%tel que $\gamma_{T}(v)=0$ sur $\Gamma_{1}$ et
%$\gamma_{\tau}(v)-Z\gamma_{T}(u)=0$ sur $\Gamma_{2}$. Cela implique
%que $(u,v)\in {\bf X}$, et donc ${\bf Q}=((\sqrt{\mu})
%u,(\sqrt{\varepsilon}) v)\in {\bf D(A)}$.  
%Nous d\'eduisons alors~:
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{lr}
%{\displaystyle{({\bf A}{\bf Q},{\bf Q}^{*})=({\bf Q},{\bf A}^{*}{\bf
%Q}^{*})}}\\\\ 
%\hspace{2.cm} +{\displaystyle{\int_{\Gamma_{2}}
%\gamma_{T}(u).\left\lgroup
%-Z{\bf n}\wedge ({\bf n}\wedge(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*})+{\bf
%n}\wedge((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*})\right\rgroup}}.  \\
%\end{array}
%\end{displaymath}
%Ce qui donne~:
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{lr}
%\forall u_{\Gamma}\in  H_{rot}^{-\frac{1}{2}}(\Gamma),
%\,\,\,<\left\lgroup
%-Z{\bf n}\wedge ({\bf n}\wedge(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*})+{\bf
%n}\wedge((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*})\right\rgroup,
%u_{\Gamma}>_{H_{div}^{-\frac{1}{2}},H_{rot}^{-\frac{1}{2}},\Gamma_{2}}\\
%\hspace{2.cm}={\displaystyle{\int_{\Gamma_{2}}
%u_{\Gamma}.\left\lgroup
%-Z{\bf n}\wedge ({\bf n}\wedge(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*})+{\bf
%n}\wedge((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*})\right\rgroup}}=0.\
%\end{array}
%\end{displaymath}
%Ceci implique~:
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{lr}
%\gamma_{\tau}((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*}
%)-Z\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*})=0 \,\,\,{sur}\,\,\, \Gamma_{2}
%\end{array}
%\end{displaymath}
Rappelons que $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ sont deux ouverts disjoints 
de $\Gamma$. Soit $u_{\Gamma}$ un \'el\'ement quelconque de
$H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{1})$; par surjectivit\'e de
l'application trace, il existe $u\in H({\bf rot},\Omega)$ avec
$\gamma_{T}(u)=u_{\Gamma}$. On peut toujours supposer que $u$ s'annule
sur un voisinage de $\Gamma_{2}$. On v\'erifie ais\'ement que
$(\sqrt{\mu}\, u, 0)\in {\bf D(A)}$ et (\ref{TRACEGAM}) devient~:
\begin{equation}
<u_{\Gamma}, {\bf n}\wedge (\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf
d}^{*}>_{H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{1}),H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{1})}=0.
\end{equation}
On en d\'eduit que ${\bf n}\wedge(\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf
d}^{*}=0$ sur $\Gamma_{1}$.\\
Soit maintenant $u_{\Gamma}$ un \'el\'ement quelconque de
$TH^{\frac{1}{2}}(\Gamma_{2})\subset
H^{-\frac{1}{2}}_{rot}(\Gamma_{2})$. Il existe \\
$u\in H({\bf
rot},\Omega)$ avec $\gamma_{T}(u)=u_{\Gamma}$. Comme $Z$ est scalaire
(car par hypoth\`ese, les milieux sont homog\`enes au voisinage de
$\Gamma_{2}$), on a $Z\gamma_{T}(u)\in TH^{\frac{1}{2}}(\Gamma_{2})\subset
H^{-\frac{1}{2}}_{div}(\Gamma_{2})$. Par cons\'equent il existe $v\in
H({\bf rot},\Omega)$ avec $\gamma_{\tau}(v)=Z\gamma_{T}(u)$ et on peut 
toujours supposer que $u$ et $v$ s'annulent au voisinage de
$\Gamma_{1}$. On a alors $(\sqrt{\mu}\,u,\sqrt{\varepsilon}\,v)\in{\bf 
D(A)}$ et (\ref{TRACEGAM}) devient~:
\begin{equation}
<u_{\Gamma}, \gamma_{\tau}((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf
d}^{*})+Z\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*})>_{H^{\frac{1}{2}}(\Gamma_{2}),H^{-\frac{1}{2}}(\Gamma_{2})}=0.
\end{equation}
On en d\'eduit que $\gamma_{\tau}((\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d}^{*}
)+Z\gamma_{T}((\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b}^{*})=0$ dans $H^{-\frac{1}{2}}(\Gamma_{2})$.\\
Le domaine de d\'efinition de
l'op\'erateur adjoint ${\bf A}^{*}$ v\'erifie donc~:
\begin{displaymath}
{\bf D}({\bf A}^{*})\subset {\bf X}=\left\{
\begin{array}{lr}
{\bf Q}=({\bf b,d})\in {\bf H};
(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b},
(\sqrt{\varepsilon})^{-1} {\bf d})\in [H({\bf rot},\Omega)]^{2};
\gamma_{T}((\sqrt\varepsilon)^{-1}{\bf d})=0\, {sur} \,\Gamma_{1},\\
\hspace{2.cm}\gamma_{\tau}((\sqrt\varepsilon)^{-1} {\bf
d})+Z\gamma_{T}((\sqrt\mu)^{-1}{\bf b})=0 \,{sur}\, 
\Gamma_{2}
\end{array}
\right\}.
\end{displaymath} 
On v\'erifie ais\'ement qu'on a l'\'egalit\'e ${\bf D}({\bf
A}^{*})={\bf X}$. En effet, 
soit ${\bf Q}=({\bf b},{\bf d})$ un \'el\'ement de ${\bf X}$, on a :
\begin{displaymath}
{\displaystyle{{\bf A}^{*}({\bf Q})=-^t(
(\sqrt{\mu})^{-1}
{\bf rot}(\sqrt{\varepsilon})^{-1}{\bf d} -(\sqrt{\varepsilon})^{-1}
{\bf rot}(\sqrt{\mu})^{-1}{\bf b})}}\in {\bf H}.
\end{displaymath}
Ce qui montre que ${\bf Q}\in {\bf D}({\bf A}^{*})$, et par
cons\'equent ${\bf X}\subset{\bf D}({\bf A}^{*})$.\\
Il en r\'esulte que 
pour ${\bf Q}$=({\bf b}, {\bf d}) $\in {\bf D(A^{*})}$
\begin{displaymath}
<{\bf A}^{*}{\bf Q}, {\bf Q}> 
=Z\|{\bf n}\wedge ((\sqrt\mu)^{-1}{\bf
b})\|^{2}_{(L^{2}(\Gamma_{2}))^{3}}\geq 0.
\end{displaymath}
%\newpage
