\subsection{\label{dim2}Ondes \'electromagn\'etiques en deux
dimensions d'espace}
Nous consid\'erons ici des milieux isotropes et homog\`enes o\`u les
indices $\varepsilon$ et $\mu$ sont des constantes. 
En deux dimensions d'espace, les \'equations de Maxwell peuvent
\^etre d\'ecoupl\'ees en deux syst\`emes de trois \'equations 
analogues associ\'es aux ondes transverses
magn\'etiques ($TM$) et aux ondes transverses \'electriques ($TE$)
\cite{OPT}. Nous avons choisi ici la direction suivant l'axe \(O_{\,z}\)
comme direction privil\'egi\'ee et le champ \'electromagn\'etique
ne d\'epend que des deux variables d'espace \(x\) et \(y\). 
La polarisation de l'onde pr\'ecise alors la direction des champs de vecteurs. 

Pour les ondes transverses magn\'etiques \(TM_{\,z}\) 
$({\bf H}.{\bf z}\,=\,0)$,
on a {\small \({\bf B}=~^t(B_{x},B_{y},0)\)} et 
{\small \({\bf D}=~^t(0,0,D_{z})\)} en coordonn\'ees cart\'esiennes.
Seules les composantes non nulles des d\'eplacements \'electrique et
magn\'etique sont consid\'er\'ees.
La formulation conservative bidimensionnelle
en champ total et associ\'ee aux ondes transverses magn\'etiques
s'\'ecrit~:
\begin{equation}
\label{6}
{\bf Q}_{t}\,+\,{\overrightarrow \nabla}.{\bf I\! F}({\bf Q})\,=\,0\,\,,
%%{\bf Q}_{t}\,+\,{\bf F}({\bf Q})_{x}\,+\,{\bf G}({\bf Q})_{y}\,=\,0\,\, , 
\end{equation}
avec :
\begin{displaymath}
{\bf I\! F}({\bf Q})=({\bf F}({\bf Q}),\,{\bf G}({\bf Q})).
\end{displaymath}
${\bf Q}\,=~^t(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3})\,=~^t(B_{x}, B_{y}, D_{z})\,\,,\) \\
\begin{displaymath}
{\bf F}({\bf Q})\,=\,
\left \{
\begin{array}{c}
0\\
-Q_{3}/\varepsilon_{}\\
-Q_{2}/\mu_{}\\
\end{array}
\right \} \quad , \quad
{\bf G}({\bf Q})\,=\,
\left \{
\begin{array}{c}
Q_{3}/\varepsilon_{}\\
0\\
Q_{1}/\mu_{}\\
\end{array}
\right \} \,\, .
\end{displaymath}

Pour les ondes transverses \'electriques \(TE_{\,z}\) \(({\bf E}.{\bf z}\,=\,0)$,
le syst\`eme conservatif garde la m\^eme forme que celle du cas
$TM_{\,z}$, seule la d\'efinition du vecteur {\bf Q} change (voir
annexe~2). Nous nous int\'eresserons donc par la suite uniquement au cas  
transverse magn\'etique et l'on renvoie le lecteur \`a l'annexe
(\ref{an_te}) pour la forme explicite du syst\`eme associ\'e \`a la
polarisation \(TE\).
Le caract\`ere hyperbolique des syst\`emes de Maxwell bidimensionnels
\(TM\) et \(TE\) se montre de la m\^eme fa\c{c}on que pour le syst\`eme
de Maxwell tridimensionnel. 
D'autre part, la matrice jacobienne pour le syst\`eme \(TM\) devient~:
\begin{equation}
\label{jac2d}
\cal{A}\,=\,
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & \eta_{2}/\varepsilon_{}\\[0.1cm]
0 & 0 & -\eta_{1}/\varepsilon_{}\\[0.1cm]
\eta_{2}/\mu_{} & -\eta_{1}/\mu_{} & 0\\
\end{array}
\right)\,\, .
\end{equation} 
Les valeurs propres, au nombre de trois et distinctes, 
restent identiques \`a celles du syst\`eme complet (cf . Eq. (\ref{lam})).
Dor\'enavant, nous nous restreindrons aux probl\`emes bidimensionnels
de propagation d'onde qui sont r\'egis par les \'equations (\ref{6}).















