\section{Introduction}
Parmi les m\'ethodes num\'eriques d'ordre \'elev\'e d\'evelopp\'ees pour 
la r\'esolution des syst\`emes hyperboliques avec des g\'eom\'etries
complexes qui n\'ecessitent des maillages non structur\'es, nous
citons ici les m\'ethodes d'\'el\'ements finis et en particulier la
m\'ethode Galerkin Discontinu \cite{COC7}.
%Il existe plusieurs m\'ethodes num\'eriques pour la r\'esolution des
%syst\`emes hyperboliques, en particulier pour le syst\`eme de
%Maxwell.\\
%Nous citons ici la m\'ethode des diff\'erences finies (sch\'ema de Yee
%\cite{YEE}), les m\'ethodes des volumes finis (\cite{CHAM1}, \cite{AERO},
%\cite{REMA1}, \cite{REMA3}, \cite{wier}, \cite{KRON1}...etc), et les m\'ethodes des
%\'el\'ements finis (continus et discontinus).\\
Nous pr\'esentons dans ce chapitre une adaptation de cette derni\`ere
au syst\`eme de Maxwell en milieu h\'et\'erog\`ene,
cette m\'ethode a \'et\'e construite pour la r\'esolution des
probl\`emes conservatifs et hyperboliques de la forme~:\\
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
\displaystyle{\frac{d}{dt}{\bf U}\, +
div {\bf I\!F(\bf U)}\, = 0 } & \mbox{sur}\,\Omega \times [0,T],\\
\end{array}
\end{equation}
o\`u $\Omega$ est un ouvert de $I\!R^d$.\\
Cette m\'ethode a \'et\'e introduite par Reed et Hill en $1973$ \cite{REED} pour la
r\'esolution de l'\'equation de transport de neutrons. 
Une analyse math\'ematique a \'et\'e men\'ee par LeSaint et Raviart
\cite{LESAINT}, Johnson et Pitkaränta \cite{PITK}, Richter
\cite{RICH}, et Peterson \cite{PETER},
et ceci dans le cas des \'equations scalaires hyperboliques et
lin\'eaires.\\
B.Cockburn et S.W.Shu ont d\'evelopp\'e et \'etendu cette m\'ethode
aux autres formes d'\'equations et syst\`emes non lin\'eaires
(advection, dynamique des gaz...etc) \cite{COC1}--\cite{COC7}.  \\
L'id\'ee de base est de choisir un espace  d'\'el\'ements finis
discontinus $V_{h}^{k}$ o\`u les solutions approch\'ees sont des
polynômes de degr\'e k sur chaque volume $T_{i}$ tel que
$\Omega =\bigcup\limits_{i=1}^{i=M}T_i$.
La solution approchée est calculée à partir d'une formulation faible
du problème à résoudre. Pour se faire, on multiplie l'équation (ou le
système) par une fonction test $v(x)\in V_{h}^{k}$, et on
intègre sur chaque volume $T_{i}$. 
Dans le cas monodimensionnel ($d=1$), où $T_{i}$ est un segment,
on choisit comme fonctions tests, les éléments d'une base locale (sur
chaque segment), et afin d'obtenir une matrice de masse diagonale, on
peut choisir comme base les polynômes de Legendre.
A partir du nombre de degrés de liberté fixé, on choisit une formule
de quadrature appropriée pour calculer les intégrales.
Le passage au cas multidimensionnel n'est pas trivial, notamment pour
le choix des fonctions de base et des formules de quadrature. Si on
prend l'exemple du cas bidimentionnel, il est plus aisé de trouver des 
formules de quadrature sur des triangles que sur n'importe quel autre polygone.
Ainsi, le choix du volume d'intégration n'est pas arbitraire.
Quant à l'intégration en temps, on utilise un sch\'ema de Runge-Kutta
d'ordre (k+1),  
la m\'ethode est ainsi d'ordre (k+1)
(pour les
démonstrations voir \cite{CHAV}, et \cite{COC8}). \\
La m\'ethode pr\'esente des propri\'et\'es, notamment de
parall\'elisation \'etudi\'ee par
plusieurs auteurs dont Biswas, Devine, et Flaherty \cite{BISWAS}, qui
en ont par ailleurs construit des versions h- et p-adaptatives. La
m\'ethode a \'et\'e \'etendue aux 
\'equations de Navier-Stokes compressibles par Bassi et Rebay
\cite{BASSI}, et aux \'equations de 
Convection-Diffusion par B.Cockburn et S.W.Shu \cite{COC6}.\\
%Cette m\'ethode pr\'esente d'autres avantages dont la haute
%pr\'ecision, elle permet de consid\'erer des  domaines de
%calcul avec des 
%g\'eom\'etries complexes, et la  prise en compte des
%discontinuit\'es des solutions sans apparition d'oscillations, comme
%on le verra par la suite dans les exp\'eriences num\'eriques.\\
Le choix de l'espace de discr\'etisation repose sur celui des
fonctions de base locale. Cette m\'ethode est bien adapt\'ee pour
notre probl\`eme o\`u le milieu peut \^etre h\'et\'erog\`ene,
cependant une restriction du CFL due \`a la m\'ethode utilis\'ee 
se traduit par un co\^ut en CPU relativement \'elev\'e. On verra par
la suite une comparaison de cette m\'ethode avec une m\'ethode de
volumes finis du point de vue qualitatif et co\^ut.\\
Ce chapitre est organis\'e comme suit~:
la premi\`ere partie consiste \`a pr\'esenter le probl\`eme \`a
r\'esoudre. Nous
pr\'esentons ensuite dans la deuxi\`eme partie les d\'etails de la m\'ethode
num\'erique utilis\'ee comprenant les fonctions de base choisies, les 
formules de quadrature, et la discr\'etisation en temps. Dans la
troisi\`eme partie, des r\'esultats 
num\'eriques seront pr\'esent\'es aussi bien dans le cas homog\`ene
que dans le cas h\'et\'erog\`ene, et dans la quatri\`eme et derni\`ere
partie, nous ferons une \'etude comparative de cette m\'ethode avec
une m\'ethode de volumes finis.

