%%\newpage
\section {Exp{\'e}riences num{\'e}riques}

\subsection*{La m\'ethode volumes finis centr\'es-\'el\'ements}

\subsection{\label{valid}Evolution d'un mode dans une cavité carrée}
On considère une cavité métallique carrée de côté \(a=1\,m$.
Les expressions analytiques des modes de résonance
sont connus pour cette géométrie \cite{JACK} et nous proposons ici de suivre 
l'évolution en temps du mode (1,1) pour le cas transverse
magnétique. Cette expérience académique nous permet de valider 
le \(\beta$-schéma appliqué à la formulation
centr\'es-\'el\'ements et le traitement des conditions aux limites de métal parfait
avec le solveur de Riemann exact.
Nous avons pris comme donnée initiale
l'expression analytique du mode (1,1) au temps \(t=0\).\\
L'erreur en norme \(\mid\mid.\mid\mid_2\) 
de la solution numérique par rapport à la solution exacte 
a ensuite été calculée après un temps \(t=5\,ns$. 
Le sch{\'e}ma utilis{\'e} pour l'approche centr\'es-\'el\'ements est un
$\beta$-sch{\'e}ma en espace avec \(\beta$=$1/3$, et un sch{\'e}ma de 
Runge-Kutta {\`a} trois pas pour l'intégration en temps.\\

On note E1, E2 et E3 les erreurs associées aux
composantes \(H_{x}$, \(H_{y}\) et \(E_{z}$. 
Nous avons reporté dans le tableau (\ref{tabErr}) ces erreurs 
en fonction du pas d'espace pour un ensemble de trois grilles
régulières (maillages en triangles). 
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
grille               & E1   &     E2     &    E3     &      it{\'e}rations \\
\hline\hline
$20 \times 20\)       & 3.2 \(10^{-5}\)  & 3.2 \(10^{-5}\)     & 1.4 \(10^{-5}\)     & 58    \\
\hline    
$40 \times 40\)       & 3.2 \(10^{-6}\)  & 3.2 \(10^{-6}\)     & 1.7 \(10^{-6}\)     & 117    \\
\hline
$80 \times 80\)       & 4.0   \(10^{-7}\)  & 4.0 \(10^{-7}\)     & 2.0 \(10^{-7}\)    & 234    \\
\hline
\end{tabular}
\caption{\label{tabErr} Erreur en norme \(\mid\mid.\mid\mid_2\) en 
fonction du pas d'espace (formulation centr\'es-\'el\'ements).}
\end{table}
%
Nous rappelons que les calculs
ont été effectués pour une même condition CFL,
d'où une variation du nombre d'itérations en temps suivant la grille 
pour atteindre le temps requis.
Les comparaisons avec la solution exacte se révèlent très satisfaisantes et
l'on peut également remarquer que pour ce cas test, l'erreur est divis{\'e}e 
par au moins huit en divisant le pas d'espace par deux.
Il semble donc que l'on retrouve les mêmes caractéristiques
que celles du schéma en formulation centr\'es-noeuds.
En effet, les résultats théoriques obtenus dans \cite{SOPH1}
montrent que ce schéma est d'ordre trois
en grilles structurées pour la formulation centr\'es-noeuds.

\subsection{\label{compa}Comparaison des deux m\'ethodes}

Il existe différentes façons de comparer les méthodes
et nous avons ici retenu comme critère de base l'utilisation
de maillages identiques. Deux types de cas test seront étudiés~:
un calcul de spectre de r{\'e}sonance et
un calcul de SER (Surface Equivalente Radar).
D'autre part, nous avons utilisé pour les deux formulations
centr\'es-\'el\'ements et centr\'es-noeuds d'ordre supérieur les gradients définis
à partir des valeurs aux noeuds du maillage (gradients GN).
\subsubsection*{Calcul de modes de résonance}

Nous proposons maintenant de calculer le spectre de résonance
de la même cavité carrée métallique.
Cette expérience est également intéressante puisque les
solutions exactes sont connues \cite{JACK}.
Dans un premier temps, le champ
{\'e}lectromagn{\'e}tique est initialisé par une gaussienne
centr{\'e}e en un point de la cavit{\'e} et après que la solution a
atteint le r\'egime
p\'eriodique, on effectue une transformée de Fourier
de la solution pour obtenir le spectre.
Nous avons report{\'e} sur la figure (\ref{spectr}) le spectre du champ
total \(E_{z}\) en fonction de la fréquence.
Il a été obtenu après \(2364\) itérations en temps
pour les deux m{\'e}thodes (même pas de temps et un maillage qui
correspond {\`a} environ 20 points par longueur d'onde pour la premiere
fr{\'e}quence qui est {\'e}gale {\`a} $0.2121$ GHZ).
Les fl{\`e}ches verticales représentent les fr{\'e}quences de résonance
exactes de la cavit{\'e}.
Sur les dix premiers modes, la plupart sont captur{\'e}s
par les deux m{\'e}thodes (le spectre est calcul\'e en des points
diff\'erents par les deux m\'ethodes, ce qui explique la diff\'erence
en fr\'equence des modes de r\'esonance). Cependant 
on peut remarquer que la formulation centr\'es-\'el\'ements est plus pr{\'e}cise dans
la bande de hautes fr{\'e}quences du spectre {\'e}tudi{\'e}, et elle
est \'egalement meilleure en basses fr\'equences.
\begin{figure}[htbp]
\centering
\vspace{-2.cm}
\hspace{-3.cm}
\epsfig{file=comparspectr.ps,height=9.5cm,angle=0}
\caption{\label{spectr} Spectre de r{\'e}sonance de la cavité carrée.}
\end{figure}
%\newpage
\subsubsection*{Calcul de SER}
Ce cas test consiste {\`a} éclairer un disque de rayon
$R=2.5\,m\) par une onde plane monochromatique 
de longueur d'onde \(\lambda=(2*\pi)/k=3\,m$.
Le maillage utilis{\'e} est composé de \(6016\) noeuds et la
discrétisation spatiale correspond environ à \(14\) points par longueur
d'onde.
Le champ électrique diffracté \(E_z\) après convergence
vers l'état périodique est 
repr{\'e}sent{\'e} pour les deux m{\'e}thodes sur la figure (\ref{ondiff2}).
Les deux approches ont reproduit des résultats très
similaires. 
%
\begin{figure}[htbp]
%\centering
\epsfig{file=ondiff2.ps,angle=90,height=7.cm}
\hspace*{0.25cm}
\epsfig{file=harm2.ps,angle=90,height=7.cm}
\caption{\label{ondiff2} Champ diffract{\'e} \(E_z$
(m{\'e}thode centr\'es-\'el\'ements à gauche, centr\'es-noeuds à droite).}
\end{figure}

A l'aide d'une transformée de Fourier en temps
et d'une formule de rayonnement des champs, 
on obtient le diagramme de SER.
Il repr{\'e}sente l'intensit{\'e} du champ diffract{\'e}
{\`a} l'infini dans le domaine fr{\'e}quentiel, cette quantit{\'e}
{\'e}tant rep{\'e}r{\'e}e en coordonnées polaires 
(angles de 0 {\`a} \(360^{o}$).
Nous avons reporté sur la figure (\ref{ser}) les diagrammes de SER
relatifs à la solution exacte et aux solutions approch{\'e}es obtenues
par les deux formulations.
On peut remarquer que les solutions numériques 
se comparent bien à la solution exacte et qu'elles sont de
m{\^e}me qualit{\'e}.\\
Ensuite, nous avons calcul{\'e} l'{\'e}cho radar ({\`a} $\theta =0$)
en fonction de la fr{\'e}quence ({\`a} maillage fix{\'e}).
Les deux m{\'e}thodes donnent des r{\'e}sultats comparables
jusqu'{\`a} k*R=$15$, k \'etant le vecteur d'onde et R le rayon du
disque (environ $14$ points par longueur d'onde), mais
la m{\'e}thode centr\'es-\'el\'ements s'av{\`e}re plus pr{\'e}cise sur l'ensemble des
fr{\'e}quences {\'e}tudi{\'e}es (figure \ref
{ser0}).
En effet, la m{\'e}thode centr\'es-noeuds ne donne plus de r{\'e}sultats
significatifs {\`a} partir de k*R=$30$ (environ $7$ points par longueur
d'onde), alors que la formulation centr\'es-\'el\'ements permet
d'atteindre k*R=$50$. Nous d\'eduisons \`a travers ce cas test que
cette derni\`ere m\'ethode permet de r\'esoudre des probl\`emes avec
des fr\'equences plus \'elev\'ees.
\subsubsection*{Coûts CPU}

On repr{\'e}sente dans le tableau (\ref{tabcout}) les co{\^u}ts en temps
CPU des m{\'e}thodes centr\'es-\'el\'ements et centr\'es-noeuds
 pour le cas test précédent 
(calcul de SER). On peut remarquer que le temps de calcul ramené à une itération 
est pratiquement le même pour les deux m{\'e}thodes.
Ceci est tout à fait logique puisque le nombre de flux à évaluer
est identique dans les deux cas. Cependant, la formulation 
centr\'es-\'el\'ements requiert une valeur
du nombre CFL inférieure à celle utilisée avec la m\'ethode centr\'es-noeuds d'où un coût
plus important de la simulation globale.

\begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
méthode                  &\hspace*{0.25cm}centr\'es-\'el\'ements \hspace*{0.25cm}     &
\hspace*{0.25cm}centr\'es-noeuds\hspace*{0.25cm}\\
\hline
CFL                                & \(1\)               & \(1.3\)  \\
\hline
temps/itération (s)        & \(0.98\)          & \(0.99\) \\
\hline
temps global (s)            & \(400\)           & \(324\) \\
\hline
\end{tabular}
\caption{\label{tabcout} Coûts en temps CPU.}
\end{table}
%
\begin{figure}[htpb]
\centering
\epsfig{file=ser.ps,height=8.cm,angle=0}
\caption{\label{ser} 
Diagrammes de SER du disque pour les m{\'e}thodes centr\'es-\'el\'ements et centr\'es-noeuds.}
\end{figure}
\newpage
\begin{figure}[htpb]
\centering
\hspace{-3.cm}
\epsfig{file=ser0.ps,height=11.cm,angle=0}
\caption{\label{ser0} 
Echo radar en fonction de k*R ($\theta=0$) pour les deux  m{\'e}thodes centr\'es-\'el\'ements et centr\'es-noeuds .}
\end{figure}
\subsubsection*{Conclusion}
Pour certains calculs comme ceux dits internes (cavités)
ou externes (SER), les m{\'e}thodes centr\'es-noeuds et
centr\'es-\'el\'ements donnent des r{\'e}sultats de qualité équivalente pour des
maillages identiques.
On notera d'autre part que la formulation centr\'es-\'el\'ements est
environ une fois et demi plus co{\^uteuse ({\`a} cause de la condition
CFL). Elle a cependant 
l'avantage de traiter des probl{\`e}mes avec des fr{\'e}quences deux
fois plus grandes que celles tol{\'e}r{\'e}es par la m{\'e}thode
centr\'es-noeuds. Ce r{\'e}sultat n'est pas surprenant puisque l'on a environ
deux fois plus de degr{\'e}s de libert{\'e} pour la m{\'e}thode centr\'es-\'el\'ements.


%\newpage
\subsection{Comparaison des deux m{\'e}thodes de calcul du gradient}

Dans le cadre de la formulation centr\'es-\'el\'ements, nous avons propos{\'e} deux
approches pour le calcul des gradients de la solution.
Nous n'avons jusqu'à présent utilis{\'e} que le gradient (GN)
qui est défini à partir des valeurs de la solution aux sommets
du maillage initial.
Dans cette section, plusieurs cas tests nous serviront à
comparer les deux m{\'e}thodes de calcul du gradient
(GN) et (GB) (définition à partir des valeurs aux noeuds et aux
barycentres). 
\subsubsection*{Calcul d'erreur pour le mode de r{\'e}sonance (1,1)}
Nous avons ici repris le cas test associé à la cavité carrée de la
section (\ref{valid}). 
La figure (\ref{resograd}) repr{\'e}sente les coupes (en \(y=0$) des
solutions numériques obtenues avec les gradients (GN) et (GB).
Les solutions sont données au temps \(t=13,33\,ns\) (soit
$317\) it{\'e}rations du schéma de Runge-Kutta à trois pas) et 
le nombre CFL a {\'e}t{\'e} fix{\'e} {\`a} \(1$.

Sur la figure (\ref{tempgrad}), les courbes repr{\'e}sentent
l'{\'e}volution en temps du mode de r{\'e}sonance en un point de la
cavit{\'e}. On remarque que les deux courbes se comparent bien dans les deux cas
et approchent bien la solution exacte.

D'autre part, nous avons {\'e}valu{\'e} sur une grille structur{\'e}e
l'erreur en norme \\
\(\mid\mid.\mid\mid_2\) des trois
composantes du champ électromagnétique (cf. section \ref{valid}).
On note toujours E1, E2 et E3 les erreurs associées aux
composantes \(H_{x}$, \(H_{y}\) et \(E_{z}$. Le calcul d'erreur a été
effectué pour la grille \(20\times20\) au temps \(t=13,33\,ns$
(cf. Tab. \ref{Tabgrad}).

\begin{figure}[htbp]
\centering
\epsfig{file=coupereso.ps,height=11.5cm,angle=-90}
\caption{\label{resograd}
Coupe en \(y=0\) pour le mode de r{\'e}sonance (1,1).}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\epsfig{file=resotempgrad.ps,height=8.cm}
\caption{\label{tempgrad}
Evolution en temps du mode de r{\'e}sonance (1,1).} 
\end{figure}
\begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
type de gradient               & E1         & E2       & E3 
\\    
\hline\hline
GN         &3.2 \(10^{-5}\)  &3.2 \(10^{-5}\)  &1.4 \(10^{-5}$\\  
\hline    
GB     &7.3 \(10^{-5}\)  &7.3 \(10^{-5}\)   &2.3 \(10^{-5}$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{\label{Tabgrad} Erreur en norme \(\mid\mid.\mid\mid_2$
pour les deux types de gradient.}
\end{table}



On remarque que les erreurs calcul{\'e}es sur les trois champs
sont faibles quelque soit le type de gradient employé.
Cependant, l'erreur est plus faible pour le gradient utilisant
les valeurs aux noeuds (GN).
\newpage
\subsubsection*{Spectre de résonance}

La même expérience que celle présentée à la section (\ref{compa})
a été réalisée.
Le spectre du champ \(E_z\) est représenté sur la figure
(\ref{comspecgrad}) et les deux courbes associées aux gradients
(GN) et (GB) sont très proches.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\epsfig{file=compspecgrad.ps,height=8.cm}
\caption{\label{comspecgrad} Spectre de r{\'e}sonance de la cavité carrée.}
\end{figure}

\subsubsection*{Calcul de SER}

Nous avons ici repris la géométrie du disque définie
dans la section (\ref{compa}) et l'on a calculé le diagramme
de SER.
La figure (\ref{sergrad}) repr{\'e}sente les courbes obtenues 
par la m{\'e}thode centr\'es-\'el\'ements en utilisant les deux m{\'e}thodes de calcul du
gradient. Toutes deux se comparent bien à la solution exacte.

On peut noter également le peu de différences entre
les deux gradients sur les isovaleurs du champ
électrique pour une régularité \(C_{\infty}\) de l'onde incidente
(fig. \ref{plane}).

\begin{figure}[htbp]
\centering								
\epsfig{file=compsergrad.ps,height=8.cm}
\caption{\label{sergrad} Diagramme de SER du disque.} 
\end{figure}
 
\begin{figure}[htbp]
%\leavevmode
\centering
%\epsfxsize= 5.cm
\epsfig{file=planeosher.ps,height=7.cm,angle=90}
%\end{figure}
%\begin{figure}[t]
%\leavevmode
%\centering
\hspace{0.25cm}
%\epsfxsize= 5.cm
\epsfig{file=planegaler.ps,height=7.cm,angle=90}
\caption{\label{plane}Champ diffract\'e \(E_z\) pour une onde plane
(gradients GN à gauche, GB à droite) .}
\end{figure}


\subsubsection*{Diffraction par une impulsion}

On s'int{\'e}resse maintenant {\`a} la simulation de la diffraction
par une impulsion sur le disque. L'onde incidente illumine le c{\^o}t{\'e} droit de 
l'obstacle et elle est obtenue après troncature d'une onde plane,
en prenant le signal sur une demi-longueur d'onde pour une fr{\'e}quence 
de \(0.1\,GHz\) et nul sinon. On notera que la composante \(E_z\) associée
à cette impulsion est de classe \(C_0\) sur \(I\!\!R$
contrairement à la solution de la figure (\ref{plane}).
La figure (\ref{pulse1}) repr{\'e}sente les
isovaleurs du champ diffract\'e \(E_z\) après un temps de 
simulation
\(t=3,33\,ns$. Les isovaleurs associ{\'e}es aux deux gradients sont de
m{\^e}me qualit{\'e}. 

%%Il semble que le gradient GN introduise davantage de diffusion 
%%dans le schéma numérique. 
%%Ceci est assez naturel puisque
%%ce gradient fait appel à plus de valeurs avoisinantes pour une
%%cellule donnée que le gradient GB.

\begin{figure}[t]
%\leavevmode
\centering
%\epsfxsize= 5.cm
\epsfig{file=plsgaler.ps,height=7.cm,angle=90}
\hspace{0.25cm}
%\epsfxsize=5.cm
\epsfig{file=plsosher.ps,height=7.cm,angle=90}
\caption{\label{pulse1}
Champ diffract\'e \(E_z\) pour une impulsion 
(gradients GN à gauche, GB à droite) .}
\end{figure}

\subsubsection*{Coûts CPU}
Nous avons reporté dans le tableau
(\ref{CPUgrad}) le co{\^u}t CPU ramené à une itération des deux types de
gradients pour la même application.
On peut noter que le gradient (GN) est trois fois moins co{\^u}teux
que le gradient (GB). Ceci n'est pas surprenant puisque
le calcul du gradient (GB) fait intervenir trois triangles pour chaque cellule \(T_{i}$.
\begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
type de gradient       & \hspace*{0.25cm}GN \hspace*{0.25cm}  &
 \hspace*{0.25cm} GB  \hspace*{0.25cm}\\
\hline\hline
temps (s)           &2.$10^{-2}\)  & 6.$10^{-2}$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{\label{CPUgrad}  Temps CPU pour les deux types de gradients.}
\end{table}









