\section{Existence et unicit\'e de la solution des \'equations de
Maxwell \`a coefficient discontinus}
Nous allons d'abord rappeler la d\'efinition du
th\'eor\`eme de Hille-Yosida concernant l'existence et l'unicit\'e de
solutions des probl\`emes d'\'evolution.
%
\subsection{Th\'eor\`eme (Hille-Yosida)}
Soit {\bf A} un op\'erateur maximal monotone dans un espace de Hilbert 
{\bf H}. Alors pour tout $U_{0} \in D({\bf A})$, il existe une unique
fonction U$\in C^{1}([0, +\infty]; {\bf H}) \cap C^{0}([0, +\infty]; D({\bf
A}))$, solution de :
\begin{equation}\label{evol}
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{dU}{dt}+{\bf A}U=0 & sur [0,+\infty]\\
U(X,0)=U_{0} & X\in D({\bf A})
\end{array}
\right.
\end{equation}
\subsection{D\'efinitions}
Un op\'erateur ${\bf A}:D({\bf A})\subset {\bf H}\longrightarrow {\bf
H}$,
est dit monotone si~:
\begin{displaymath}
\begin{array}{cc}
({\bf A}v,v) \geq  0  & \forall v \in D({\bf A})
\end{array}
\end{displaymath}
${\bf A}$ est de plus maximal si:
$\forall f\in {\bf H}, \exists U \in D({\bf A})$ tel que :
\begin{displaymath}
U+{\bf A} U=f
\end{displaymath}
Nous allons montrer l'existence et l'unicit\'e du syst\`eme de Maxwell 
\`a coefficients discontinus.
On se met dans des conditions d'absence de charge et de courant, et on
consid\'ere une condition aux limite de type m\'etallique donn\'ee
par~:
\begin{displaymath}
\overrightarrow n\wedge {\bf E}=0
\end{displaymath}
Soit le changement de variable suivant~:
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
{\bf b}=\frac{\bf B}{\mu} , &et &{\bf d}=\frac{\bf D}{\mu} 
\end{array}
\end{displaymath}
Le syst\`eme de Maxwell s'\'ecrit en fonction de {\bf b} et {\bf d} comme suit~:
\begin{equation} \label{maxmodif}
\left \{ 
\begin{array}{ll}
{\displaystyle {\ \frac {\partial {\bf b}} {\partial t}}
}\,+\,\frac{1}{\mu}\,rot(\frac {{\bf d}} {\varepsilon}) 
\,= 0 &  \\[.5cm] 
{\displaystyle {\ \frac {\partial {\bf d}} {\partial t}}}\,-\,\frac
{1}{\varepsilon} \,rot(\frac{{\bf b}}{\mu})
\,=0 &  \\[.4cm] 
{\displaystyle div(\frac{{\bf d}}{\varepsilon})\,=0\,} & \\[0.4cm] 
{\displaystyle div(\frac{{\bf b}}{\mu})\,=0} &  \\ 
& 
\end{array}
\right.
\end{equation}
Ce syst\`eme peut se mettre sous la forme (\ref{evol}). On note 
\begin{displaymath}
{\bf Q}=
\lgroup
\begin{array}{ll}
{\bf b}\\
 {\bf d}
\end{array}
\rgroup
\end{displaymath}
On consid\`ere ici {\bf H} l'espace de d\'efinition de la solution du
probl\`eme (\ref{maxmodif}) donn\'e par~:
\begin{displaymath}
{\bf H}=V_{1}\times V_{2}
\end{displaymath}
avec~:
\begin{displaymath}
V_{1}=\left\{{\bf b}\in L^{2}(\Omega)/
\overrightarrow rot(\frac {{\bf b}}{\mu})\in L^{2}(\Omega)\right\}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
V_{2}=\left\{{\bf d}\in L^{2}(\Omega)/
\overrightarrow rot(\frac {{\bf d}}{\varepsilon})\in L^{2}(\Omega),
div(\frac{{\bf d}}{\varepsilon})=0, \overrightarrow n\wedge \frac{{\bf 
d}}{\varepsilon}=0
\right\}
\end{displaymath}
\subsection*{Remarque}
{\bf H} est un sous espace vectoriel ferm\'e de l'espace
$H(rot,\Omega)\times H(rot,\Omega)$ muni du produit scalaire:
\begin{displaymath}
<\overrightarrow u, \overrightarrow
v>_{H(rot,\Omega)}=\int_{\Omega}\overrightarrow u \overrightarrow v +
\int_{\Omega}rot \overrightarrow u rot \overrightarrow v
\end{displaymath}  
Par cons\'equent {\bf H} est un espace de hilbert.
