%\newpage
\section{Le probl\`eme \`a \'etudier\label{prob}}
%Nous \'etudions la r\'esolution du syst\`eme de Maxwell dans le cas
%bidimensionnel. Dans ce cas les \'equations se
%d\'ecomposent en deux syst\`emes ind\'ependants associ\'es \`a une
%polarisation \'electrique et une polarisation magn\'etique.\\
%
Nous avons choisi d'étudier le cas bidimensionnel avec une
polarisation transverse magnétique où les équations s'\'ecrivent comme suit~:
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{lllll}
{\displaystyle {\frac{\partial {B_x}}{\partial t}}}\, & +{\displaystyle {%
\frac{\partial {E_z}}{\partial y}}}\, & = & \quad 0, &  \\[0.2cm] 
{\displaystyle {\frac{\partial {B_y}}{\partial t}}}\, & -{\displaystyle {%
\frac{\partial { E_z}}{\partial x}}}\, & = & \quad 0, &  \\[0.2cm] 
{\displaystyle {\frac{\partial { D_z}}{\partial t}}}\, & +{\displaystyle {%
\frac{\partial {H_x}}{\partial y}}}\,-{\displaystyle {\frac{\partial 
{ H_y}}{\partial x}}}\, & = & \,-{ j}_z. &  \\ 
&  &  &  & 
\end{array}
\right.  \label{TM}
\end{equation}
Nous nous plaçons dans le cas particulier où le domaine de
propagation des ondes est isotrope et linéaire. 
%Alors les champs et
%inductions sont liés par les lois
%constitutives suivantes~:
%\begin{equation}
%\begin{array}{ll}
%{\bf B} \,= \mu{\bf H} &  \\ 
%{\bf D} \,= \varepsilon{\bf E}  
%\end{array}
%\end{equation}
%\newpage
%$\varepsilon=\varepsilon(x,y)$ et $\mu=\mu(x,y)$ sont des param\`etres
%du milieu, qu'on appelle 
%respectivement la permittivité électrique et la perméabilité magnétique.
\subsubsection*{Caractéristiques mathématiques des équations de Maxwell}
Nous rappelons que le système (\ref{TM}) peut se mettre sous la forme
conservative~:
%(\ref{6}). 
\begin{equation}\label{conservgal}
{\bf Q_{t}}+\overrightarrow{\nabla}.{\bf I\!F}(\bf Q)=-\bf J,
\end{equation}
où
${\bf Q}=^t(B_{x},B_{y},D_{z})$, et ${\bf I\!F}=(F({\bf Q}), G({\bf
Q}))$ (voir paragraphe \ref{dim2}).
% donn\'es par: 
%\begin{equation}  \label{flux}
%\left\{
%\begin{array}{lll}
%{F(\bf Q)} = \, ^t{\ \left(0,-D_z/{\varepsilon}, -B_y/{\mu} \right) } \,\\ 
%{G(\bf Q)} = \, ^t{\ \left(D_z/{\varepsilon}, 0, B_x/{\mu} \right)} \,\\ 
%{\bf J} = \, ^t{\ \left(0,0,{ j}_z \right) }
%\end{array}
%\right.
%\end{equation}
Le système (\ref{TM}) est conservatif et hyperbolique. 
%dans chaque direction de $I\!R^{2}$.
% ce point est crucial dans le choix de
%la méthode d'approximation numérique.

