Isobarycentre du système

Définition 5.1 (Isobarycentre de $n$ points(en dimension 2))   Soit $E=\{P_1, \ldots, P_n\}$, un ensemble de $n$ points de coordonnées $P_i(x_i,y_i)$. L'isobarycentre $G$ de $E$, de coordonnées $(x_G,y_G)$ est l'unique point tel que : $\sum_{i=1}^{i=n}\overrightarrow{GP_i}=\overrightarrow{O}$.
On a alors : $x_G = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{i=n}x_i$ et $y_G = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{i=n}y_i$

Propriété 5.2   Soit $E=\{P_1, \ldots, P_n\}$, un ensemble de $n$ points de coordonnées $P_i(x_i,y_i)$ et $G$ le barycentre de $E$. Alors $\forall k \in \llbracket 1,n \rrbracket$ :

$$P_kG^2 = \frac{1}{n^2} \left( 2\sum_{i=1}^{i=n}{P_iP_k^2}-\sum_{i,j=1;i,j \neq k}^{i,j=n}{P_iP_j^2} \right)$$

L'idée est de généraliser à $n$ points ce que l'on a fait avec 3 points et le centre de gravité. Pour cela il faut garantir la calculabilité des distances entre $G$ et tout point du graphe de distance. La résolution de INEQ( $\mathcal{I}$) nous garantissait que si l'on instanciait 3 distances quelconques du graphe de distance, le triangle ainsi formé était constructible. Il faudrait trouver de nouvelles contraintes à ajouter à INEQ( $\mathcal{I}$) afin de garantir que l'instanciation de $k \geq 4$ distances permet toujours de construire un polygône à $k$ côtés. L'utilisation du centre de gravité pour filtrer les sommets d'un triangle, pourrait alors être étendue à une utilisation de l'isobarycentre pour filtrer les sommets de tous les polygônes à $k$ côtés. Donc, avec ces distances supplémentaires, on pourrait être en mesure de filtrer davantages les domaines des distances lors de la fermeture du graphe de distances. Ce qui nous permettra de detecter encore plus d'inconsistance sur les distances, et d'autre part d'obtenir un meilleur filtrage des coordonnées des points.