Université de Nice Sophia Antipolis

Examen de
Mathématiques pour l'Informatique

MASS2 - session de Juin 2002 - Durée 3 heures

Tous documents et calculatrices interdits à l'exception d'une page A4 manuscrite.


  1. Récurrences
    1. Soit la suite numérique 0, 1, 1/2, 3/4, 5/8,… dans laquelle chaque élément est la moyenne des deux éléments précédents. Donnez une formule explicite pour les éléments de cette suite.
    2. Un alphabet contient 4 chiffres (1,…, 4) et 7 lettres (a, b, …, g). On considère le langage L des mots sur cet alphabet qui n'ont pas deux lettres (consécutives ou différentes) identiques. Combien de mots de L de longueur n peut-on former ? Donner une relation de récurrence et une formule explicite.

  2. Langages

    Soient les langages définis sur l'alphabet A= {a,b} par ,

    On demande de montrer que chacun des langages L1, L2 et L3est rationnel

    1. en écrivant pour chacun d'eux une expression rationnelle qui le représente,
    2. en dessinant un automate d'états finis déterministe qui le reconnait.

  3. Ensembles dénombrables

    Montrer que l'ensembleQ[x] des polynômes à coefficients dans Q est dénombrable. On rappelle que Q[x] est l'ensemble des a0+a1x+a2x2+...+anxn où les ai appartiennent à Q pour i=1..n,.

  4. Induction

    Soit le langage L sur l'alphabet {a,b} défini par induction par,

      • Le mot vide appartient à L
      • si les mots u et v appartiennent à L alors avb et ub sont aussi dans L.
    1. Les mots "abb" et "aba" appartiennent-ils au langage? Justifiez votre réponse.
    2. Montrez que tout mot de L contient autant ou plus de lettres 'b' que de lettres 'a'.

      On considère l'alphabet A= {a,b}et on dit qu'un mot w= w1w2...wn de A* est un palindrome lorsque w se lit aussi bien à l'endroit qu'à l'envers, c'est à dire lorsque wi=wn+1-i pour i =1..n. On adopte la convention que le mot vide est également un palindrome et on note P(A) l'ensemble des palindromes sur A.

    3. Donner une définition inductive de P.
    4. Déterminer l'intersection des langages L et P. Justifiez votre réponse.