Université de Nice Sophia Antipolis
Examen de
Mathématiques pour l'Informatique
MASS2 - session de Juin 2002 - Durée 3 heures
Tous documents et calculatrices interdits à l'exception d'une page A4
manuscrite.
- Récurrences
- Soit la suite numérique 0, 1, 1/2, 3/4, 5/8,… dans laquelle chaque élément
est la moyenne des deux éléments précédents. Donnez une formule
explicite pour les éléments de cette suite.
- Un alphabet contient 4 chiffres (1,…, 4) et 7 lettres (a, b, …, g). On considère
le langage L des mots sur cet alphabet qui n'ont pas deux lettres (consécutives
ou différentes) identiques. Combien de mots de L de longueur n peut-on former
? Donner une relation de récurrence et une formule explicite.
- Langages
Soient les langages définis sur l'alphabet A= {a,b} par ,
- L1 est l'intersection des langages (b* ( a2) b* ) et (a*
(b2) a* ) ;
- L2 est le complémentaire de ( A*) b ;
- L3 est le complémentaire de (A2) .
On demande de montrer que chacun des langages L1, L2 et
L3est rationnel
- en écrivant pour chacun d'eux une expression rationnelle qui le représente,
- en dessinant un automate d'états finis déterministe qui le reconnait.
- Ensembles dénombrables
Montrer que l'ensembleQ[x] des polynômes à coefficients dans Q est
dénombrable. On rappelle que Q[x] est l'ensemble des a0+a1x+a2x2+...+anxn
où les ai appartiennent à Q pour i=1..n,.
- Induction
Soit le langage L sur l'alphabet {a,b} défini par induction par,
- Le mot vide appartient à L
- si les mots u et v appartiennent à L alors avb et ub sont aussi dans L.
- Les mots "abb" et "aba" appartiennent-ils au langage? Justifiez
votre réponse.
- Montrez que tout mot de L contient autant ou plus de lettres 'b' que de lettres
'a'.
On considère l'alphabet A= {a,b}et on dit qu'un mot w= w1w2...wn
de A* est un palindrome lorsque w se lit aussi bien à l'endroit qu'à l'envers,
c'est à dire lorsque wi=wn+1-i pour i =1..n. On adopte
la convention que le mot vide est également un palindrome et on note P(A) l'ensemble
des palindromes sur A.
- Donner une définition inductive de P.
- Déterminer l'intersection des langages L et P. Justifiez votre réponse.