Limite des faibles nombres de Mach

pour des écoulements visqueux compressibles

Benoit Desjardins

Laboratoire de Mathématiques de l'ENS ULM

DATE : mardi 27/04/99

HEURE et LIEU : 10h30 en salle RE002

RESUME/ABSTRACT : on s'intéresse aux solutions des équations de Navier-Stokes compressibles pour des fluides isentropiques dans la limite des faibles nombres de Mach M. Cette limite est formellement décrite par le modèle de Navier-Stokes incompressible et par les ondes acoustiques se propageant à grande vitesse 1/M. Contrairement au cadre non visqueux des équations d'Euler compressibles, où l'apparition de chocs limite le temps de validité des résultats de convergence, on dispose pour le modèle visqueux compressible de solutions faibles globales en temps similaires aux solutions de Leray pour les équations de Navier-Stokes incompressibles, ce qui légitime une étude de stabilité pour tout temps.

Les résultats dépendent fortement des conditions aux limites considérées. Dans le cadre d'une boîte avec conditions aux li mites périodiques ou d'un ouvert borné avec conditions $\hbox{\bf u} \cdot \hbox{\bf n}$ et $\hbox{\bf curl} \, \hbox{\bf u} \times \hbox{\bf n}=0$ sur le bord, les ondes acoustiques transportent pour tout temps l'énergie de la partie potentielle du fluide, avec un amortissement O(1) sur l'échelle de temps de diffusion visqueuse. Pour un ouvert borné avec conditions homogènes de Dirichlet au bord $\hbox{\bf u}=0$ , les ondes acoustiques sont amorties exponentiellement dans une zone de taille $\sqrt{M}$ près du bord suivant une echelle de temps $O(1/\sqrt{M})$ , ce qui entraîne la convergence forte dans L² de la vites se u vers la vitesse incompressible. Dans le cas d'un ouvert non borné ou d'un ouvert extérieur, les ondes acoustiques sont à la fois dispersé es à l'infini et dissipées dans une couche limite au voisinage de la frontière du domaine.

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