Parallèlement à ces travaux algorithmiques, nous nous sommes également intéressés aux applications du calcul formel en géométrie.
En traitement du signal, l'étude des << cumulants >> d'ordre conduit au problème de décomposition de polynômes homogènes en sommes de puissances de formes linéaires. Il s'agit de retrouver dans un signal le nombre de sources émettrices, chacune de ces sources correspondant à une puissance d'une forme linéaire, dans la décomposition du polynôme. Le nombre minimal de formes linéaires peut se voir comme généralisant le rang pour des << tenseurs >> d'ordre . Dans [CoMo94], [CoMo96], nous nous sommes intéressés à différents aspects effectifs de ce problème (nombre de formes linéaires nécessaires dans les cas génériques, algorithmes pour obtenir une décomposition pour le degré 3, stabilité numérique, ...).
En théorie des codes, une activité importante est consacrée à la recherche de codes ayant une bonne répartition de mots. C'est dans ce but, que sont étudiés les énumérateurs de poids, qui sont des polynômes invariants par un groupe fini. Dans [BBMS96], nous obtenons, à partir de calculs de séries de Hilbert d'invariants de groupes finis, par la forme de Molien-Weyl, une description des invariants primaires et secondaires pour les énumérateurs de poids de codes autoduaux sur . Il est frappant de remarquer que ces générateurs correspondent à des énumérateurs de poids de mots de codes bien connus.
Une application, où interviennent fortement les calculs dans l'algèbre extérieure et les relations de Plücker sur les déterminants, concerne l'étude des points en correspondance dans N images d'une même scène. Ces outils permettent en effet d'exprimer de manière synthétique les relations géométriques entre un point et son image dans différentes caméras. Nous montrons, par une approche symbolique, comment retrouver facilement les relations dites fondamentales (bilinéarités) entre 2 images, les trilinéarités entre 3 images. Nous montrons également comment, à partir des coefficients de ces trilinéarités et bilinéarités, il est possible de retrouver la géométrie épipolaire et que l'on n'obtient pas d'informations << supplémentaires >> avec plus de 4 caméras. Ce travail a été décrit dans [FaMo95a], [FaMo95b], [FaMo95rr2665].
Les méthodes matricielles que nous avons présentées à la section 4 nous ont également conduit à des expérimentations sur des problèmes de robotique (voir[MB93issac]), de chimie moléculaire (voir [EmMo96RRcyhx]), de positionnement d'une caméra calibrée à partir d'angles de visées de points .... Ces expérimentations sont basées sur une implémentation (en C++) de fonctions permettant de construire, transformer, réduire les faisceaux de matrices de résultants ou de Bézoutiens et de retrouver les solutions des systèmes polynomiaux par des calculs de valeurs et vecteurs propres (voir [ALP]). Ce travail se fait en relation avec le projet européen FRISCO (LTR 21.024).
La construction d'outils de simulation nécessite souvent une étape de manipulations symboliques du modèle. Dans [GaMoRi95], nous utilisons le calcul formel pour décrire les lois physiques qui régissent le comportement d'une voiture et pour générer un code numérique fournissant un simulateur temps-réel de la voiture. La géométrie intervient, par exemple, dans la description précise des articulations roue-chassis.
Nous nous sommes également intéressés à la visualisation des objets que nous manipulons et avons développé le logiciel IZIC, basé sur la bibliothèque ZICLIB, permettant des rendus de très bonne qualité et reliée, à travers une interface, à un langage de commandes TCL. Son originalité réside dans la possibilité de le commander à distance à partir d'un processus externe. Il peut donc être connecté facilement à un ou plusieurs systèmes de calcul formel (dont actuellement MAPLE, REDUCE, MAXIMA), ceux-ci étant alors utilisés pour le calcul des points d'un maillage, mais pouvant collaborer sur la même visualisation. Nous présentons notre approche dans [FoKaMo93] et [FoKaMo94].