Le projet OMEGA est bilocalisé entre les unités de Sophia Antipolis et de Nancy.
Le principal thème de recherche d'OMEGA est l'analyse de méthodes numériques probabilistes, avec deux champs d'application privilégiés :
La théorie des processus stochastiques, en particulier les problèmes d'approximation de processus, est l'outil mathématique essentiel et commun à tous les problèmes traités.
À propos de la résolution d'EDP non linéaires :
En ce qui concerne la résolution probabiliste d'équations aux dérivées partielles non linéaires, OMEGA étudie les méthodes de Monte-Carlo, les méthodes particulaires stochastiques, les méthodes ergodiques. Actuellement nous nous intéressons essentiellement à leurs applications aux équations de la Mécanique des fluides (Burgers, Navier-Stokes, etc.), aux équations du transport neutronique et aux modèles aléatoires de la turbulence ; certaines équations linéaires servent de problèmes de laboratoire pour l'étude des difficultés spécifiques liées aux conditions aux bords, aux dégénérescences des opérateurs différentiels sous-jacents, aux phénomènes de fausses convergences, etc. Nous effectuons des études d'erreur d'approximation non asymptotiques, afin de donner des bornes pour l'erreur correspondant à tout choix des paramètres numériques : nombre de particules, pas de discrétisation en temps, temps d'intégration, nombre de simulations, etc. En amont, l'étape-clef consiste à interpréter l'algorithme comme la discrétisation d'une représentation probabiliste de la solution de l'EDP : une part de l'activité d'OMEGA concerne donc l'élaboration de représentations probabilistes appropriées. En aval, les estimations théoriques de vitesse de convergence sont systématiquement confrontées aux simulations numériques.
À propos de la modélisation et de la simulation en mathématiques financières :
En mathématiques financières et en actuariat, OMEGA s'intéresse plus particulièrement aux méthodes de Monte-Carlo et aux modèles de marché. Les problèmes abordés actuellement concernent essentiellement l'évaluation numérique de prix d'actifs complexes, la robustesse des stratégies de couverture des produits dérivés par rapport aux erreurs de modélisation, et le calcul de stratégies de gestion de divers risques (risque de modèle dans la couverture d'options, risque de taux, engagements financiers d'une compagnie d'assurance à l'émission de certains contrats, etc). Les modèles financiers posent des problèmes d'approximation spécifiques : simulation de fonctionnelles ``path dependent'', calcul de dérivées d'espérances de ces fonctionnelles. OMEGA s'intéresse aussi à la définition de mesures de risque utilisables en pratique et cohérentes avec un modèle mathématique du marché. Enfin, on étudie des problèmes d'adossement et de risques de défaut de trésorerie. Un accent particulier est porté sur la confrontation des modèles et des résultats numériques avec les données réelles.
Nos outils probabilistes
Un domaine d'application privilégié : la finance et l'assurance
Nos autres domaines d'application