Jan G. Verwer, Centrum Wiskunde & Informatica (CWI), and Korteweg-de Vries Institute, University of Amsterdam

On the time integration of Maxwell’s equations

21 Janvier 2010, 10h30, salle Galois Coriolis

Numerical integration of Maxwell’s equations is often based on explicit methods accepting a stability step size restriction, notably Yee’s scheme or a related one. In literature it has been pointed out that there is also a need for unconditionally stable methods, as exemplified by the successful alternating direction implicit - finite difference time domain scheme. In this lecture we will assess unconditionally stable integration for a general semi-discrete Maxwell system allowing non-Cartesian space grids as encountered in finite element discretizations. Such grids exclude the alternating direction implicit approach. Amongst others, attention will be given to a second-order exponential integrater using Krylov subspace iteration. A three-space dimensional test problem is used for numerical assessment and comparison with the most economical second-order explicit integrator. The lecture is based on joint work with Mike Botchev, Twente University, published in:

[1] J.G. Verwer and M.A. Botchev, Unconditionally stable integration of Maxwell’s equations, Linear Algebra and its Applications 431, pp. 300- 317 (2009)
[2] M.A. Botchev and J.G. Verwer, Numerical integration of damped Maxwell equations, SIAM J. Sci. Comput. 31, pp. 1322-1346 (2009)

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Julien Diaz, Magique3D project-team, INRIA Bordeaux - Sud-Ouest research center

Schémas de discrétisation en temps adaptatifs pour l'équation des ondes

24 Mars 2010, 10h30, salle Galois Coriolis

La résolution des problèmes de propagation d'ondes nécessite de plus en plus en souvent l'utilisation de maillages constitués de mailles de tailles très différentes. Dans de telles configurations, il est de plus intéressant d'approcher la solution par des fonctions de bas degré dans les mailles fines et de haut degré dans les mailles grossières pour limiter les coûts de calcul sans détériorer la précision de la méthode. Cependant, les méthodes de discrétisation en temps explicites, qui permettent d'éviter l'inversion d'une matrice à chaque pas de temps, sont contraintes par un condition CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) dépendant de la taille et de l'ordre des éléments : plus les mailles sont petites (ou l'ordre est élevé), plus le pas de temps sera petit. Il est donc nécessaire de considérer des schémas de discrétisation en temps permettant (a) l'utilisation de petits pas de temps dans les zones raffinées du maillage et de pas de temps grossiers ailleurs et (b) l'adaptation de l'ordre de la discrétisation en temps aux différents ordres de discrétisation en espace.

La première partie de cet exposé sera consacrée à la présentation d'un schéma d'ordre élevé à pas de temps locaux explicite, puis nous montrerons que ce schéma peut-être facilement utilisé pour traiter des maillages contenant plusieurs niveaux de raffinement. Finalement, nous nous proposerons un nouveau schéma permettant d'utiliser différents ordres de discrétisation en temps sur un même maillage. Chacune de ces parties sera conclue par des expériences numériques illustrant les propriétés des schémas : conservation de l'énergie, précision et condition CFL.

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Yves Courvoisier, Université de Genève, Département de Mathématiques
Méthodes de décomposition de domaine de type relaxation d’ondes pour les équations de Maxwell

29 Juin 2010, de 10h30 à 12h00, salle Kahn 1

Aprs une brève introduction sur les méthodes de décomposition de domaine de type relaxation d’ondes (Schwarz Waveform Relaxation method) et de leurs versions optimales, nous appliquerons celles-ci aux équations de Maxwell. Nous ferons alors de même avec l’équation des ondes et montrerons que le comportement de la solution des équations de Maxwell comme ondes électromagnétiques nous permettra de délivrer finalement une version optimisée de SWR pour les équations de Maxwell.

On montre en premier lieu un résultat qui établit que la méthode SWR appliquée aux équations de Maxwell converge en un nombre fini d’itérations. Ce résultat souligne que les ondes électromagnétiques sont avant tout des ondes et donc se comportent comme telles. Une fois ce parallèle entre les ondes et les équations de Maxwell établi, on obtient des conditions aux bords transparentes pour les ondes électromagnétiques. Puis nous proposons une approximation de ces conditions transparentes pour établir des conditions aux bords optimis´ees, locales, d’une efficacité largement sup´erieure aux conditions classiques. Ces conditions optimisées sont à nouveau une conséquence du comportement des équations de Maxwell comme des ondes et ce résultat d’optimisation est une transposition des connaissances pour les ondes aux équations de Maxwell.

Martin J. Gander, Université de Genève, Département de Mathématiques

Euler, Ritz, Galerkin, Courant: en route pour la méthode des éléments finis

18 Août 2010, de 10h00 à 12h00 (pause café de 10h45 à 11h15), salle Galois Coriolis

La méthode des éléments finis est devenue indispensable pour la simulation numérique des équations aux dérivées partielles. Mais d'où vient-elle? Dans cet exposé, on montrera comment tout a commencé avec Euler et les formulations variationnelles discrètes et continues. On discutera aussi de la contribution fondamentale de Ritz, qui a réussi à calculer les figures de Chladni, et ensuite l'influence de l'École Russe, qui a toute de suite réussi à utiliser la méthode de Ritz pour résoudre des problèmes difficiles, jusqu'à ce que la renommée de Ritz soit établie par Courant en Europe et aux États-Unis, et sur le développement de la méthode d'éléments finis d'aujourd'hui.

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Jin-Fa Lee, ElectroScience Laboratory, ECE Department, The Ohio State University, USA

CEM algorithms for EMC/EMI modeling: electrically large (antennas on platform) and small (SI in ICS packagings) problems

20 Août 2010, de 9h30 à 12h00, salle Galois Coriolis

Modern antenna engineering often involves the use of metamaterials, complex feed structures, and conformally mounting on large composite platforms. However, such antenna systems do impose significant challenges for numerical simulations. Not only do they usually in need of large-scale electromagnetic field computations, but also they tend to have many very small features in the presence of electrically large structures. Such multi-scale electromagnetic problems tax heavily on numerical methods (finite elements, finite difference, integral equation methods etc.) in terms of desired accuracy and stability of mathematical formulations.

Another important electromagnetic application is the study of signal integrity in ICs. Recent advances in VLSI interconnect and packaging technologies, such as the increasing number of metal layers and the 3D integration, have paved the way for higher functionality and superior performances. During the reduction of the size, power, and cost in today’s advanced IC interconnect and packagings, the signal integrity (SI) has become more crucial for system designers. Empirical or curve-fitted equivalent circuits used by conventional circuit simulation tools, such as SPICE and IBIS, are not suitable for higher and wider operating frequencies in terms of accuracy, flexibility, and reliability. The previous common practice adopted by industries, such as using only static parasitic RC or RLC equivalent networks for physical designs, are gradually abandoned. It has come to use full-wave computational electromagnetic (CEM) methods for the ultimate accuracy check.

In this lecture, we present our on-going efforts in combating the multi-scale electromagnetic problems, both electrically large (antennas on platform) and electrically small but complex (SI in ICs) through the use of non-conventional PDE methods that are non-conformal. The non-conformal numerical methods relax the constraint of needing conformal meshes throughout the entire problem domains. Consequently, the entire systems can be broken into many sub- problems, each has its own characteristics length and will be meshed independently from others. Particularly, our discussions will include the following topics: Integral Equation Domain Decomposition Method (IE-DDM), non-conformal DDM with higher order transmission conditions and corner edge penalty, multi-region/multi-solver DDM with touching regions and, Discontinuous Galerkin Time Domain (DGTD) Method with GPU implementation.

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Hélène Barucq, Magique3D project-team, INRIA Bordeaux - Sud-Ouest research center

Conditions aux limites modélisant la propagation d’ondes acoustiques et électromagnétiques au voisinage de surfaces régulières arbitraires: construction et analyse mathématique

27 Août 2010, de 10h30 à 12h00, salle Galois Coriolis

La simulation de la propagation d’ondes peut en général, et sans perte d’information significative, être réalisée dans un milieu beaucoup plus petit que le milieu réel de propagation. Il s’agit là d’une propriété intéressante qui permet de limiter les coûts de calcul qui sont très importants et d’autant plus élevés que le domaine de calcul est grand. Une approche classique consiste à définir un domaine de calcul dont la frontière extérieure est choisie par l’utilisateur. Pour que le champ calculé corresponde, dans le domaine de calcul, à une approximation précise de la solution exacte, la frontière extérieure ne doit avoir aucun impact sur la précision des ondes calculées. On doit donc imposer une condition aux limites qui, dans l’idéal, représente la traversée « parfaite » du champ d’onde du domaine de calcul vers l’extérieur. Cette condition exprime ainsi le fait que du point de vue physique la frontière extérieure est transparente pour la solution calculée. En pratique, une condition transparente est pseudo-locale en temps et espace et sa mise en œuvre génère des coûts de calcul très importants. C’est pourquoi on utilise plutôt une approximation de cette condition qui conduit à des conditions aux limites locales qui ne détériorent pas le profil de la matrice de masse. Bien évidemment, pour ne pas perdre en précision, on est souvent amené à utiliser des conditions aux limites d’ordre élevé qui peuvent être difficiles à mettre en œuvre.

Dans cet exposé, on considère une méthode de dérivation de ces conditions qui s’applique aussi bien à l’équation des ondes acoustiques qu’aux équations de Maxwell. Cette technique, qui repose sur le calcul pseudo-différentiel, permet de construire des conditions qui s’appliquent sur des frontières de forme arbitraire et elle conduit à des familles de conditions aux limites dépendant d’un paramètre. L’intérêt de cette approche est de s’appliquer aussi bien aux ondes propagatives qu’aux ondes évanescentes, ce qui permet de construire des conditions d’ordre peu élevé dont l’efficacité est comparable à celle de conditions d’ordre élevé. De plus, on peut établir des résultats d’existence et unicité et montrer la stabilité en temps long par des techniques énergétiques. Cependant, ces conditions ne prennent pas en compte les ondes rampantes qui, si elles ne traversent pas la frontière du domaine de calcul, peuvent avoir des effets de pollution non négligeable sur la précision du champ d'ondes numérique. On montre que ce problème peut être résolu en ajoutant une condition modélisant les ondes rampantes et obtenue via une analyse asymptotique de l’équation des ondes. Des résultats numériques illustreront les performances de plusieurs conditions et montreront, dans le cas acoustique, l'efficacité des conditions d'ordre 2 ainsi que l'intérêt de la condition modélisant les ondes rampantes.

Matthias Bollhoefer, Institute of Computational Mathematics, Numerical Mathematics group, TU Braunschweig

Lecture on Krylov methods

8 Septembre 2010, de 10h30 à 12h00, salle Galois Coriolis

PartI : Introduction to Krylov subspace methods

This talk will give an introduction to Krylov subspace methods. In particular we will discuss the basic concept and design of such methods as well as some specific algorithms such as CG, MINRES and GMRES along with their link to Lanczos and Arnoldi methods.

Part II: Advanced Krylov subspace methods

In the second part we will discuss Krylov subspace methods that are based on the two-sided Lanczos algorithm. These methods have the advantage of allowing short recurrences. However, in general these methods have to be handled with care due to stability reasons. A case that is of particular interest is the case of Krylov subspace methods for J-symmetric matrices. This class of methods allows for the use of symmetric matrices and symmetric preconditioners simultaneously.

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Matthias Bollhoefer, Institute of Computational Mathematics, Numerical Mathematics group, TU Braunschweig

Lecture on preconditioning methods

15 Septembre 2010, de 10h30 à 12h00, salle Galois Coriolis

Part I: Introduction to preconditioning

Krylov subspace methods in general are only effective if suitably chosen approximations to the initial system are constructed. We will give an overview over some preconditioning techniques such as those based block diagonal and incomplete factorization techniques along with some reordering techniques.

Part II: Multilevel preconditioning

Preconditioning based on incomplete factorization methods is known to be successful in several cases. However, for several application problems more sophisticated methods are necessary. We will discuss a multilevel preconditioning and an algebraic multilevel ILU that mimics the behaviour of multilevel methods and can be used easily for several application problems which arise from PDEs.

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