Siham Layouni, CEA Saclay
Résolution des équations de Maxwell-Vlasov sur des maillages quelconques

Lundi 21 Avril 2008, 10h30, salle Galois Coriolis

On présente une nouvelle méthode de volumes finis pour la résolution des équations de Maxwell. L'intérêt essentiel de la méthode est qu'elle permet l'utilisation de maillages non orthogonaux, non conformes. Dans le cas d'un maillage cartésien, le système discrétisé est équivalent à deux schémas de Yee indépendants, l'un écrit sur le maillage primal et l'autre sur le maillage dual. On montre que le schéma préserve la loi de Gauss, qu'il est stable sous une condition de CFL et qu'il conserve une énergie discrète. Pour des fonctions régulières, le schéma est convergent à l'ordre un en espace et deux en temps. Numériquement, on observe une convergence globale d'ordre deux. On observe aussi que la non conformité du maillage n'amplifie pas les réflections parasites. Le système de Maxwell est couplé avec l'équation de Vlasov pour laquelle on utilise une méthode particulaire. La densité de charge est calculée par la méthode NGP (ordre 0). Le courant est discrétisé de façon à conserver la charge. Le passage à un ordre plus élevé est une difficulté pour des maillages quleconques.

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Jan S Hesthaven, Scientific Computing and Numerical Analysis Group, Division of Applied Mathematics, Brown University
A first few steps toward the development of a DG-FEM based particle-in-cell method

Lundi 21 Juillet 2008, 14h00, salle Galois Coriolis

Since the 1960's, the classic particle-in-cell (PIC) methods has become a standard computational tool for the modeling of kinetic plasma phenomena. However, as successful as these finite difference technique based methods have been, their limitations are quickly becoming a bottleneck in the attempt to model many problems of contemporary interest such as next generation particle accelerators, high-power microwave generation, and fusion devises.

To set the stage for this talk, we shall begin by discussing some of these inherent limitations and use this to motivate the ongoing development of a high-order accurate PIC method on unstructured grids. The field solver is based on a Discontinuous Galerkin (DG) scheme for the time-domain Maxwell equations. This approach ensures geometric flexibility through a fully unstructured grid at arbitrary order of accuracy and enables the efficient and accurate modeling of multiscale phenomena, possibly in a hybrid formulation. The particle mover is flexible in terms of particle shapes and a level set approach is employed to implement elastic/inelastic interactions with boundaries. Divergence control is done either through a fully hyperbolic Lagrange multiplier technique or using a classical Boris projection scheme. A bottleneck emerges in the computational cost of the particles and we shall discuss some ideas to address this.

We illustrate the performance of the two-dimensional and three-dimensional algorithm through a few examples, e.g., plasmawaves, Landau damping, magnetrons etc. Both non-relativistic and fully relativistic cases shall be considered as well as some simple magnetron cases and wave-field computations with more complex geometries. We conclude the talk with a brief discussion of some of the many open challenges and questions in need of answers to make this a mature computational tool.

This work has been done in collaboration with Prof G. Jacobs (SDSU), A Kloeckner (Brown), A Narayan (Brown) and has been funded by AFOSR and NSF.

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Martin J. Gander, Université de Genève, Département de Mathématiques
Les méthodes de Schwarz au fil de l'histoire

Lundi 18 Août 2008, de 10h00 à 12h00 (pause café de 10h45 à 11h15), salle Galois Coriolis

Les méthodes de Schwarz ont été développées sur deux niveaux différents: au niveau continu pour les équations aux dérivées partielles, et au niveau discret pour le calcul parallèle. Au niveau continu, c'est Hermann A. Schwarz lui même qui inventa la méthode de Schwarz alternée en 1869, comme outil analytique pour démontrer le principe de Dirichlet, sur lequel Riemann avait construit sa théorie d'analyse fonctionnelle, sans en avoir une preuve générale. Plus d'un siècle plus tard, en 1989, Pierre-Louis Lions analysa la méthode comme outil du calcul parallèle, et introduisit une variante plus parallèle. Au niveau discret, les méthodes de Schwarz furent formulées par Max Dryja et Olof Widlund en 1987, sous la forme des méthodes de Schwarz additives (AS) et multiplicatives (MS). Plus récemment, les variantes restreintes (RAS) et avec relèvement harmonique (ASH) furent découvertes par Xiao-Chuan Cai and Marcus Sarkis en 1999, à travers une erreur de programmation.

Je commencerai cet exposé avec une présentation du développement historique des méthodes de Schwarz, en détaillant les similarités et différences entre les formulations continues et discrètes. En particulier je démontrerai que la méthode parallèle de Pierre-Louis Lions et la méthode AS sont différentes. J'introduirai ensuite au niveau algébrique une nouvelle classe de méthodes de Schwarz, qui convergent plus vite que les méthodes classiques, au même coût par itération. Ces méthodes utilisent à la base une idée de Pierre-Louis Lions: des conditions de transmission adaptées aux problèmes continus. Je détaillerai cette approche pour l'équation de Helmholtz et les équations de Maxwell, où dans les deux cas une difficulté similaire apparaît. Je finirai ma présentation sur trois problèmes ouverts dans le domaine de recherche de ces méthodes de Schwarz récentes, qui s'appellent les méthodes de Schwarz optimisées.

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Oliver Rheinbach, Universität Duisburg-Essen, Fachbereich Mathematik,
Parallel FETI-DP solvers for problems in structural mechanics

Mardi 2 Décembre 2008, de 10h30 à 12h00, salle Galois Coriolis

Nonoverlapping domain decomposition methods of the FETI type are fast parallel solvers for large equation systems arising from the discretization of partial differential equations. The focus of this talk is the dual iterative substructuring method of FETI-DP (Finite Element Tearing and Interconnecting Dual-Primal) type and its application to mechanical problems such as the deformation of biological soft tissues. Such problem may pose various challenges to solver algorithms, i.e., nonlinearity, almost incompressibility and, possibly, material jumps. Recently, new, inexact FETI-DP methods have been introduced to further extend the scalability of the FETI-DP method.