Résumé des cours, avant-projet

1. Analyticité et causalité en physique des XIX et XXième siècles ; résonances en physique atomique et physique des particules ; relations de dispersion en optique et en physique des particules ; profil de raies; matrice S ; pôles de Regge ; resommations dont Padé.
   G. Turchetti, Analyticité et résonances en physique

2. Les singularités des fonctions analytiques d'une variable complexe. Que faire des séries divergentes ou des singularités de fonctions analytiques ?
   B. Candelpergher, Rappels d'analyse complexe (old and new)

3. Usage de resommations en physique des particules et théorie des champs. Activité mathématique sur les approximants de Padé ; la table de Padé; les théorèmes de convergence ; approximation de fonctions, y compris non méromorphes ; précautions d'emploi et d'interprétation ; précautions et algorithmes numériques.
   E.B. Saff, Théorie et usage de la table de Padé

4. Analyse de Fourier réelle et complexe ; DFT, FFT, fenêtres ; interaction entre le comportement dans le réel et dans le complexe d'une fonction f(t) et le comportement dans le réel et dans le complexe de sa transformée de Fourier  ; théorèmes de Wiener ; transformations de Laplace, de Mellin.
   J.R. Partington, Transformée de Fourier et analyse complexe

5. Rappels sur l'approximation polynômiale et rationnelle (Tchebychev) ; introduction aux espaces de Hardy du disque dans le plan complexe ; approximation dans les classes de Hardy et lien avec l'extrapolation (Carleman) ; approximation méromorphe et rationnelle.
   E.B. Saff, Approximation analytique et rationnelle

6. Convergence en théorie des probabilités; rôle pivot (des diverses versions) du théorème de la limite centrale en probabilités et statistiques ; estimation ; quelques idées et travaux modernes : rapidité de convergence, grandes déviations, techniques fonctionnelles.
   P. Collet, Statistique et probabilité, Idées modernes autour du théorème de la limite centrale

7. (a) Rappels de mécanique hamiltonienne ; mécanique céleste ; développements de perturbations.
   L. Biasco, Systèmes dynamiques et mécanique céleste, Rappels de dynamique hamiltonienne. Problème des trois corps.

   (b) Développement en la constante de couplage ; séries en mécanique, notamment céleste. Étude en particulier par resommation de Padé. Étude du domaine d'analyticité et comparaison entre différentes méthodes.
   A. Celletti, Systèmes dynamiques et mécanique céleste, Séries en mécanique céleste ; domaines d'analyticité.

   (c) Théorèmes de Ruelle, Keller, Pollicott, Dolgopyat.
   V. Baladi, Systèmes dynamiques et mécanique céleste, Résonances dans les systèmes hyperboliques et hamiltoniens

8. (a) Analyticité et causalité, bornitude et stabilité en théorie du signal et théorie du contrôle. Processus stationnaires dans les domaines temporels et fréquentiels, transformations linéaires des processus stationnaires, décomposition de Wold et prédiction, filtrage, modèles AR, ARMA et représentation interne des systèmes.
   M. Deistler, Contrôle et traitement du signal, Historique et rappels

   (b) Thérorie spectrale, analyse de Fourier, opérateurs de Hankel ; problème inverse spectral et réalisations équilibrées des fonctions de transfert.
   N. Nikolski, Contrôle et traitement du signal,Théorie spectrale et théorie du contrôle

   (c) Identification et théorie des fonctions : approximation rationnelle et analytique de fonctions de transfert à partir de mesures en fréquence, problèmes extrémaux bornés ; comportement asymptotique des pôles et des erreurs en relation avec l'analyse spectrale des opérateurs de Hankel et de Toeplitz et la théorie du potentiel.
   L. Baratchart, Contrôle et traitement du signal, Approches récentes

9. (a) Phénomènes de Froissart.
   J.-D. Fournier, Approximation rationnelle en présence de bruit, Dans l'espace réel ou des paramètres

   (b) Analyse de Szegö ; identification des bruits.
   B. Dujardin, Approximation rationnelle en présence de bruit, Dans l'espace de Fourier

   (c) Mesure spectrale aléatoire ; décomposition spectrale de processus gaussiens stationnaires ; processus de densité spectrale rationnelle ; obtention d'approximants rationnels pour des processus gaussiens stationnaires par des arguments d'analyse fonctionnelle.
   A. Gombani, Analyse complexe et probabilités ; décomposition spectrale de processus linéaires gaussiens

10. Les problèmes de la prédiction et de la détection interférométrique des ondes gravitationnelles ; les bruits des détecteurs et leur caractérisation ; non gaussianité ; usage des approximations rationnelles.
    J.-Y. Vinet, F. Bondu, E. Cuoco, Détection interférométrique des ondes gravitationnelles

11. Du point de vue traitement du signal. Usage de la transformation de Mellin.
    P. Borgnat, Turbulence et information

12. Appliquer les mathématiques pures / purifier les applications des mathématiques. Interactions entre la théorie de l'information et l'analyse complexe. Nouvelles questions ouvertes.
    E.B. Saff,Table-ronde : avatars d'un même concept dans diverses disciplines

13. Séries et intégrales de Fourier de 1807 à 2003.
    J.-P. Kahane, La transformée de Fourier dans l'histoire des mathématiques

14. Séries multiples, phénomène de Hartogs, singularités à plusieurs variables ; problèmes d'extension, principe fondamental d'Erhenpreis ; fractions rationnelles, convexité rationnelle et problèmes d'approximation ; extension à plusieurs variables des résultats sur la vitesse d'approximation par des polynômes (analogue du théorème de Bernstein).
    N. Sibony, Résonances et approximation en théorie de plusieurs variables complexes

15. De Fourier aux ondelettes en passant par les polynômes orthogonaux et les bases de Szegö.
    J.R. Partington, De bonnes bases

16. Morceaux choisis en théorie de l'approximation - applications vers d'autres domaines des mathématiques
    - Un problème d'approximation sous contrainte dans des espaces de Banach réflexif et ses applications - Martin Smith, York University.
    (Ceci est un travail joint avec Isabelle Chalendar et Jonathan Partington). Je vais formuler un problème d'approximation générale impliquant des espaces de Banach lisses et réflexifs et produire une solution explicite. Je donnerai deux applications, d'abord la solution à un problème de complétion bornée, qui utilise l'approximation par des fonctions de classe de Hardy. Je parlerai aussi de la construction de vecteurs minimaux et de sous-espaces invariants pour un opérateur linéaire.
    - Problème de Zolotarev : estimations asymptotiques et applications en algèbre linéaire numérique - Bernhard Beckermann Laboratoire de Mathematiques Appliquees (ANO) CNRS FRE 2222 Universite des Sciences et Technologies de Lille, France
    Soient deux ensembles compacts dijoints E et F du plan complexe. Le problème de Zolotarov consiste à trouver une fonction rationnelle de degré n de module au plusun sur E, et aussi grande que possible sur F. On connait des solutions asymptotiques pour des fonctions rationnelles optimales, par exemple dans le cas d'intervalles réels. Ici, on considère le cas discret, par exempel si F est l'ensemble des racines 2n de l'unité. L'outil principal est un problème extrémal dans la théorie du potentiel logarithmique, à savoir l'équilibre d'un certain condensateur avec des contraintes de charges maximum.
    F. Seyfert, Morceaux choisis en théorie de l'approximation - applications vers d'autres domaines des mathématiques

18. Cet atelier sera l'occasion de mettre en perspective les notions qui auront été abordées durant la semaine, d'analyser les interactions possibles avec les travaux de chacun et l'éclairage nouveau qu'elles peuvent apporter.
    M. Olivi, Exposé et discussion de travaux des jeunes participants