Attese e Scopi Scientifici e Pedagogici

Introduzione

Il filo conduttore di questo progetto di scuola nasce dai profondi legami che esistono fra l'analisi complessa e il controllo delle pertubazioni. Abbiamo in mente diversi campi tecnici o scientifici, legati in varia misura a questioni di approssimazione o di analisi di dati che sono in via di sviluppo o sono soggetti a un rinnovo di interesse, in relazione con problemi moderni di analisi complessa. In secondo luogo, constatiamo che le ricche interazioni fra trasformazioni spettrali e problemi di analiticità, adesso classiche per i matematici, sono poco conosciute dalle communità di esperti. Terzo, precisiamo che le pertubazioni sopra menzionate possono essere deterministiche o aleatorie. L'introduzione di probabilità, con tutte le loro ipotesi sui rumori, può essere artificiosa o riduttiva. Nei casi in cui questa sia naturale, vogliamo sottolineare il ruolo estremamente organizzatore della presenza di aleatorietà non solo sulla teoria, ma anche sui fenomeni.

A partire da questi tre punti, sviluppiamo qui di seguito le attese e gli scopi di questa scuola, e inquadriamo il pubblico a cui è mirata. Prima, precisiamo una cosa che il lettore avrà gia capito, cioè che è utile favorire le occasioni per riunire matematici professionisti ed esperti di altre discipline ; quest'impresa può essere determinante per gli uni e gli altri ; è la condizione affinchè siano definiti nuovi problemi che la matematica potrebbe porre alle scienze naturali o applicate, e vice versa.

Attese Scientifiche

Dopo un periodo di attività intensa legata ai diversi ruoli dell'analiticità nella fisica delle particelle e nella teoria dei campi, le ricerche dei fisici sulle singolarità e i metodi sommatori hanno conosciuto un certo rallentamento. Congiutamente, l'ottenimento da parte dei matematici dei buoni teoremi di convergenza degli approssimanti di Padé è sembrato chiudere un periodo. Nello stesso tempo, la teoria del controllo dei sistemi dinamici ha conosciuto importanti sviluppi legati alla possibilità di lavorare nel piano complesso. Questa teoria si è in fatti molto arricchita dal momento in cui, utilizzando la trasformata "in z" o di Laplace-Fourier della funzione (o matrice) di trasferimento, sono stati legati lo spazio degli stati e il dominio delle frequenze. Quindi, problemi tipo quello della stabilità in ciclo chiuso sono stati ridotti a questioni di dominio di analiticità.

Un altro periodo si è aperto quando l'interesse si è portato sulla continuazione analitica nel tempo dei sistemi differenziali non lineari, integrabili, parzialmente integrabili, intermittenti e caotici. I numerosi risultati ottenuti attraverso lo studio delle singolarità e l'uso di risommazioni parziali di serie (Padé, -serie) non hanno però dato luogo alla classificazione sperata.

Eppure, in questi ultimi anni, nello studio dei segnali generati da sistemi con rumore o caotici, la nozione di risonanza presa nel senso di singolarità (essenzialmente poli) della trasformata di Fourier ha permesso di caratterizzare le componenti deterministiche e aleatorie. D'altronde, queste singolarità possono essere localizzate grazie a diversi approssimanti razionali e alle loro proprietà di convergenza. Parallelamente, per alcune classi di sistemi dinamici hamiltoniani, semplici rispetto alla meccanica celeste dove poco rimane conosciuto, gli sviluppi nella costante di accoppiamento (resa complessa), associati a metodi di Padé, hanno permesso progressi nella determinazione dei domini di analiticità. Infine, in automatica, i progressi recenti nella teoria dell'approssimazione analitica e razionale hanno permesso di trattare i sistemi di dimensione infinita ; si deve allora controllare non solo il dominio di analiticità di una funzione, ma anche la sua norma sulla frontiera. L'uso generalizzato di tale tecniche cosi come i bisogni in ingeneria hanno dato attualità a diversi problemi rimasti senza soluzione, ad esempio di identificazione, o di controlli robusti.

Obiettivi della Scuola

Da una parte, le discipline da cui sono tratti gli esempi qui sopra --teorie del segnale, del controllo e dei sistemi dinamici-- sono tutte confrontate a una rinascita del ruolo dei problemi di approssimazione analitica o meromorfa, con o senza rumore, per quali gli strumenti dipendono dall'analisi complessa e dall'analisi armonica, cosi come dalla teoria delle probabilità. D'altra parte, in matematica, la teoria delle funzioni e la teoria dell'approssimazione sono ben vive, cosi come mostrano i progressi recenti riguardo agli operatori, la stima asintotica degli errori o il comportamento degli zeri di polinomi ortogonali, deterministici o aleatori. Quello che ci manca è il contatto fra le communità interessate.

Proponiamo di organizzare una scuola sui diversi soggetti, il cui dominio è un "atout" per partecipare a questa rinascita. Da qui, un partecipante scoprirà gli sviluppi recenti o i fondamenti teorici di metodi che conosce solo da un punto di vista applicato, cosa che potrebbe condurlo ad instradare la sua riflessione ; tale partecipante, matematico, ad esempio, scoprirà l'equivalente in altre discipline di concetti che manipola già nella sua. Questa scuola mirerà a trasmettere, in modo pedagogico, i concetti acquisti nel passato, e ad elaborare e diffondere nuove idee, tecniche e problematiche. Per favorire quest'elaborazione, abbiamo l'intenzione di riservare, al cuore di ogni intervento ed in una tavola rotonda, dei momenti di vera interattività ; speriamo cosi non solo di chiarire i temi trattati in primo piano, ma anche di portare alla ribalta quelli che sono di solito tenuti nell'ombra.

Ci auguriamo d'altra parte di favorire la partecipazione di giovani ricecatori e dar loro l'occasione di praticare in un ambiente favorevole il difficile esercizio della communicazione scientifica.

Infine, fra le diverse applicazioni menzionate nel programma, come il controllo o la meccanica celeste, vorremmo distinguire qui il trattamento dell'informazione in turbolenza, ed il controllo o la caratterizzazione dei rumori nella rivelazione interferometrica delle onde gravitazionali. Questa preoccupazione si traduce nella presenza, in seno al comitato scientifico, di un rappresentante della communità francese di turbolenza e di un rappresentante dell'esperienza italo-francese Virgo.