Attendus et Buts Scientifiques et Pédagogiques

Introduction

Le fil conducteur de ce projet d'école est à chercher dans les liens profonds qui existent entre l'analyse complexe et la maîtrise des perturbations. Nous avons à l'esprit plusieurs domaines techniques ou scientifiques, liés de près ou de loin à des questions d'approximation ou de traitement de données, qui sont en plein essor ou connaissent un renouveau d'activité, et ce en relation avec des questions modernes d'analyse complexe. En second lieu, nous faisons le constat que les riches interactions entre les transformations spectrales et les questions d'analyticité, maintenant classiques pour les mathématiciens, sont peu connues parmi les communautés de praticiens. Troisièmement nous précisons que les perturbations mentionnées plus haut peuvent être certaines ou aléatoires. L'introduction des probabilités, avec leur cortège d'hypothèses sur les bruits, peut être artificielle ou réductrice. Dans les cas où elle est naturelle, nous voulons souligner le rôle puissamment organisateur qu'a, non seulement sur la théorie, mais sur les phénomènes, la présence d'alea.

Sur la base de ces trois points, nous développons ci-après les attendus et buts de cette école et nous situons l'audience visée. Auparavant, nous exprimons ici ce que le lecteur a sans doute déjà compris, à savoir que nous considérons qu'il faut favoriser les occasions de rassembler des mathématiciens professionnels et des spécialistes ou praticiens d'autres disciplines ; cette entreprise peut être déterminante pour les uns et les autres ; c'est la condition pour que soient cernées de nouvelles questions que les mathématiques puissent poser aux sciences naturelles ou appliquées et celles-ci aux mathématiques.

Attendus Scientifiques

Après une période d'activité intense liée aux divers rôles de l'analyticité en physique des particules et en théorie des champs, les recherches des physiciens sur les singularités et les méthodes sommatoires ont connu un certain reflux. Conjointement, l'obtention par les mathématiciens des bons théorèmes de convergence (en capacité) des approximants de Padé a semblé clore une période. Dans le même temps, la théorie de la commande des systèmes dynamiques connaissait d'importants développements liés à la possibilité de travailler dans le plan complexe. Cette théorie s'est en effet considérablement enrichie depuis le moment où, en maniant la transformée « en z » ou de Laplace-Fourier de la fonction (ou matrice) de transfert, on a jeté un pont de l'espace des états vers le domaine des fréquences. Dès lors, des problèmes comme celui de la stabilité en boucle fermée étaient ramenés à des questions de domaine d'analyticité.

Une autre période s'est ouverte lorsque l'intérêt s'est porté sur la continuation analytique en temps des systèmes différentiels non linéaires, intégrables, partiellement intégrables, intermittents et chaotiques. Les nombreux résultats obtenus -- via l'étude des singularités et l'usage de resommations partielles de séries (Padé, -séries) -- n'ont cependant pas donné lieu à la classification espérée.

Or ces dernières années, dans l'étude de signaux engendrés par des systèmes bruités ou chaotiques, la notion de résonance prise au sens de singularité (notamment de pôle) de la transformée de Fourier a permis de caractériser les composantes certaines et les composantes aléatoires. D'autre part, ces singularités peuvent elles-mêmes être localisées au moyen de divers approximants rationnels et de leurs propriétés de convergence. Parallèlement, pour certaines classes de systèmes dynamiques hamiltoniens, simples au regard de la mécanique céleste où peu reste connu, les développements en la constante de couplage (rendue complexe), associés à des méthodes de Padé, ont permis des progrès sur la détermination de domaines d'analyticité. Enfin, en automatique, les avancées récentes en théorie de l'approximation analytique et rationnelle ont notamment permis de traiter les systèmes de dimension infinie ; il faut alors maîtriser non seulement le domaine d'analyticité d'une fonction, mais sa norme sur la frontière. L'usage généralisé de telles techniques ainsi que les besoins en ingénierie ont redonné de l'actualité à différents problèmes restés pendants, d'identification et de contrôle robustes, par exemple.

Buts de l'École

D'une part, les disciplines dont sont tirés les exemples ci-dessus -- les théories du signal, du contrôle et des systèmes dynamiques -- sont toutes confrontées à un renouveau du rôle des problèmes d'approximation analytique ou méromorphe, avec ou sans bruit, pour lesquels les outils relèvent de l'analyse complexe et de l'analyse harmonique, ainsi que de la théorie des probabilités. D'autre part, en mathématiques, la théorie des fonctions et la théorie de l'approximation sont bien vivantes, comme le montrent les progrès récents concernant les opérateurs, l'estimation asymptotique des erreurs ou le comportement des zéros de polynômes orthogonaux, déterministes ou aléatoires. Ce qui manque d'évidence est le contact entre les communautés concernées.

Nous proposons d'organiser une école sur les différents sujets dont la maîtrise est un atout pour participer à ce renouveau. Tel auditeur découvrira par là les développements récents ou le cadre théorique de méthodes qu'il ne connaît que comme praticien, ce qui pourra le conduire à infléchir sa réflexion ; tel intervenant, mathématicien par exemple, découvrira les avatars dans d'autres disciplines de concepts qu'il manipule déjà dans la sienne. Cette école visera à transmettre, dans un style pédagogiquement classique, les acquis du passé, et à élaborer et diffuser de nouvelles idées, techniques et problématiques. Pour favoriser cette élaboration, nous comptons réserver, au sein de chaque intervention et dans une table ronde, un temps de réelle interactivité ; nous espérons ainsi non seulement éclairer les thèmes qui sont sur l'avant-scène mais aussi débusquer ceux qui sont habituellement tenus dans l'ombre.

Nous souhaitons d'autre part favoriser la participation de jeunes chercheurs et leur donner l'occasion de pratiquer dans une ambiance favorable le difficile exercice de la communication scientifique.

Enfin, parmi les diverses applications mentionnées dans le programme, comme le contrôle ou la mécanique céleste, nous souhaitons distinguer ici le traitement de l'information en turbulence, et le contrôle et la caractérisation des bruits dans la détection interférométrique des ondes gravitationnelles. Ce souci se traduit par la présence, au sein du Comite Scientifique, d'un représentant de la communauté française de turbulence et d'un représentant de l'expérience franco-italienne Virgo.