Sujet de thèse proposé en co-tutelle à Imen Fellah

par Juliette Leblond, chargé de recherche à l'INRIA (projet Miaou), - et Mohamed Jaoua, professeur à l'ENIT (LAMSIN)1

Complétion de données dans les classes de Hardy et applications aux problèmes inverses


Lieu :
Ce sujet concerne l'étude de certains problèmes inverses pour des opérateurs elliptiques du deuxième ordre en 2D par des techniques d'analyse complexe et d'approximation de fonctions. Il peut s'agir de problèmes de type géométrique ou d'identification de paramètres, en présence de données incomplètes sur la frontière du domaine. Si le problème inverse, l'opérateur elliptique et le type de données, ainsi que les hypothèses a priori sur le modèle, permettent de déterminer des classes de fonctions, un critère d'approximation, et des contraintes qui le rendent bien posé, on est ramené à la résolution d'un problème d'approximation de fonctions.

Pour fixer les idées, considérons le problème inverse suivant, dans un domaine lisse $\Omega$ de ${\mathbb{R}}^2$.

(PR) Etant donné un flux $\phi$ ( $\phi\not\equiv 0 $) ainsi que des mesures $f$ sur un sous-ensemble $K$ de la frontière $\partial \Omega$, trouver un coefficient d'échange $\varphi$ tel que la solution $u$ de :

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{cclll} \Delta u & = & 0 &\mbox{ dan... ... &\mbox{ sur }&\partial \Omega \setminus K, \end{array}\right. \end{displaymath}

vérifie $u_{\vert _K} = f$.

L'approche proposée consiste à exprimer les propriétés d'harmonicité et de régularité de $u$ dans $\Omega \subset {\mathbb{R}}^2$ en termes d'analyticité et de bornitude d'une certaine fonction de la variable complexe $z$ (on fait l'identification $(x,y)^t \in {\mathbb{R}}^2 \ \leftrightarrow z = x + i y$), donnée sur la partie $K$ de la frontière accessible aux mesures par $F = u + i \int \phi$.

Si l'on désigne par ${\cal H}^p_\mu(\Omega)$ l'espace de Hardy des fonctions analytiques dans $\Omega$ et bornées dans $L^p_\mu(\partial \Omega)$, pour une mesure $\mu$ positive et sous des hypothèses de régularité adaptées, (PR) peut se formuler comme :

étant donnée des mesures sur $K \subset \partial \Omega$ d'une fonction $F$ appartenant à l'espace de Hardy ${\cal H}^p_\mu(\Omega)$, trouver l'extension $g$ de $F$ à $\partial \Omega$,

ou plutôt, pour être robuste aux erreurs de mesure, sous forme d'un problème extrémal borné (PEB) :

étant donnée des mesures sur $K \subset \partial \Omega$ d'une fonction $F$, trouver son meilleur approximant $g$ dans ${\cal H}^p_\mu(\Omega)$ en norme $L^p_\mu(K)$, vérifiant une contrainte adaptée sur $\partial \Omega \setminus K$.

Ceci s'avère être une méthode originale et efficace pour aborder les propriétés de stabilité ou développer des algorithmes de résolution pour certains problèmes inverses. En particulier, la solution $\varphi$ de (PR) s'exprime alors (et se calcule) en fonction de $F$ sur $\Omega \setminus K$.

Lorsque $\Omega = {\mathbb{D}}$, le disque unité, ces questions ont été abordées principalement pour $p=2$, pour la mesure de Lebesgue dans [3,4], et pour des mesures $\mu$ particulières par Imen Fellah dans son rapport de DEA [5]. Des résultats encourageants, aux plans théorique, algorithmique et numérique ont été obtenus, de nombreux aspects restent à traiter, qui constitueront la thèse de Mlle Fellah.

Les essais numériques dans ${\cal H}^2_\mu({\mathbb{D}})$ seront tout d'abord poursuivis, face à différents types de singularités, afin de mieux cerner le rôle de $\mu$.

La pondération $\mu$ permet de prendre en compte la présence de singularités au niveau de la géométrie ou des conditions aux limites que, dans l'état actuel des choses, l'on doit supposer connues a priori afin de choisir $\mu$. Cette situation n'est toutefois que rarement rencontrée. Il convient donc d'imaginer des méthodes permettant d'effectuer un ``bon'' choix de $\mu$ depuis les données disponibles, avant de prendre appui sur celles-ci pour reconstruire les données manquantes dans ${\cal H}^2_\mu$. On pourra ensuite appliquer ces méthodes d'extension à la résolution de certains problèmes inverses d'identification de paramètres et de géométries inconnues.

Par ailleurs, Imen Fellah poursuivra l'étude et la mise en øeuvre d'un algorithme de résolution des (PEB) dans ${\cal H}^\infty_\mu({\mathbb{D}})$, la contrainte portant alors sur le module de l'approximant. Dans cet ordre d'idées, la prise en compte dans (PEB) de contraintes différentes sur l'approximant est à envisager, un algorithme étant déja disponible dans ${\cal H}^2({\mathbb{D}})$ (pour la mesure de Lebesgue) avec contrainte sur ${\mbox Im} g$.

Notons que la présence et la recherche de singularités à l'intérieur de ${\mathbb{D}}$ peuvent être couplées à ce travail (approximation méromorphe ou rationnelle), comme dans [1,2].

L'obtention de résultats de stabilité pour des problèmes inverses de type (PR) ou géométriques est aussi à l'ordre du jour, à l'aide de résultats de contrôle de la norme des fonctions lisses de ${\cal H}^p_\mu({\mathbb{D}})$.

L'utilisation de la pondération $\mu$ en vue de modéliser des opérateurs elliptiques plus généraux (conductivité variable, par exemple) est - elle aussi - à l'étude et peut constituer l'une des facettes de ce sujet.

Slim Chaabane, maître assistant à la Faculté des Sciences de Sfax et chercheur au LAMSIN, participera à l'encadrement effectif de cette thèse.


David Avanessoff 2001-11-26