Compacité dans L^{p}

Thierry GOUDON ^{1}

Mathématiques Appliquées de Bordeaux CNRS-Université Bordeaux I 351, cours de la Libération, F-33405 Talence Cedex

Une démarche classique pour aborder certains problèmes (edp, calcul des variations...) consiste à se ramener à l’étude du comportement d’une suite u_{n}. Cette suite peut, par exemple, être construite en approchant le problème à résoudre (P) par un problème (P_{n}) plus facile, la perturbation introduite s’évanouissant quand n → ∞ (exemple : la méthode de ”viscosité evanescente”). La suite u_{n} peut aussi être une suite minimisante d’un problème de minimisation. On espère alors que la suite u_{n} jouit de propriétés de compacité qui permettent de supposer que u_{n} converge vers u pour une certaine topologie et que cette convergence suffit pour ”passer à la limite” dans le problème, montrant ainsi que u est une solution de (P). La démarche suit donc deux étapes : la première consiste à établir la compacité, la seconde à montrer que la convergence satisfaite par une sous-suite permet d’obtenir que la limite u est solution du problème. La compacité de la suite u_{n} apparaît souvent comme une conséquence de bornes, d’estimations, sur u_{n}, indépendantes du paramètre n, dans un certain espace de Banach X. Ces bornes ont en général une interprétation concrète, liée aux phénomènes physiques que le problème considéré est censé représenter (exemple : X est un espace de type L^{2} et la norme s’interpréte comme une énergie qui se conserve ou qui décroît au cours du temps...). La difficulté principale réside alors dans l’étape de passage à la limite, notamment si la convergence de u_{n} vers u est ”trop faible” pour identifier directement la limite de quantités (non-linéaires) F (u_{n}) avec F (u) : même si les estimations permettent de dire que F (u_{n}) admet une limite \overline{F}, il n’est pas toujours évident que \overline{F} et F (u) coincident. Pour de nombreuses situations, le programme de la première étape est simplement rempli dès lors qu’on dispose d’une borne sur ∥u_{n}∥_{X} ; mais, cette stratégie est prise en défaut lorsque l’espace X n’est pas réflexif, ce qui est le cas, par exemple, pour X = L^{1} et des problèmes où l’inconnue s’interpréte naturellement comme une densité. Outre quelques rappels, l’objet de cet exposé est de décrire plus précisèment les propriétés de suites bornées dans L^{1}.

1. Rappels d’analyse fonctionnelle (de Bolzano-Weierstrass à Banach-Alaoglu-Bourbaki)

2. Critère de compacité faible dans L^{1} (de Banach-Alaoglu-Bourbaki à Dunford-Pettis)

3. Une suite bornée de L^{1} est ”presque” faiblement compacte (de Dunford-Pettis à Chacon)

4. Applications

1Une partie de ces notes ont fait l’objet d’un exposé aux ”Monoides” de l’Ecole Doctorale de Bordeaux en Novembre 1995.

1 Rappels d’analyse fonctionnelle

1.1 Topologie forte, topologie faible

Soit E un espace de Banach, de norme ∥ · ∥_{E}. On note E′, le dual de E, c’est-à-dire l’ensemble des formes linéaires continues sur E ^{2}

Définition 1 Soit x_{n} une suite d’éléments de E. On dit que

1. x_{n} converge fortement vers x dans E, et on note x_{n} ⟶ x, si et seulement si

lim_{n→∞} ∥ x_{n} − x ∥_{E}= 0.

2. x_{n} converge faiblement vers x dans E, et on note x_{n} ⇀ x, si et seulement si pour

tout λ ∈ E′, on a lim_{n→∞}⟨λ, x_{n}⟩_{E′,E} = ⟨λ, x⟩_{E′,E}.

On peut montrer assez facilement les propriétés élémentaires suivantes

• Si x_{n} ⟶ x alors x_{n} ⇀ x.

• Si x_{n} ⇀ x alors ∥ x_{n} ∥_{E} bornée.

• Si x_{n} ⇀ x dans E et λ_{n} ⟶ λ dans E′ (i.e. ∥ λ_{n} − λ ∥_{E′}) alors

lim_{n→∞}⟨λ_{n}, x_{n}⟩_{E′,E} = ⟨λ, x⟩_{E′,E}.

Si dim(E) < ∞, alors les topologies faible et forte coincident. Par contre si dim(E) = ∞, alors la topologie faible est strictement plus fine que la topologie forte : il existe des ouverts (resp. fermés) ”forts” qui ne sont pas ouverts (resp. fermés) ”faibles”. Par exemple, la sphère {x ∈ E, ∥ x ∥= 1} n’est jamais faiblement fermée : son adhérence faible est la boule {x ∈ E, ∥ x ∥≤ 1}.

Théorème 1 Soit E un espace de Banach de dimension infinie, on note S = {x ∈ E, ∥ x ∥_{E}= 1}. L’adhérence faible de S est la boule B(0, 1) = {x ∈ E, ∥ x ∥_{E}≤ 1}.

Preuve. Soit x_{0} ∈ E vérifiant ∥ x_{0} ∥_{E}< 1. Soit ε > 0 et (λ_{1}, …, λ_{p}) des éléments de E′. On définit un voisinage V_{0} de x_{0} pour la topologie faible par

V_{0} = {x ∈ E, ∀i ∈ {1, …, p}, | ⟨λ_{i}, x − x_{0}⟩_{E′,E} |≤ ε}.

On introduit l’application

Φ : y ∈ E ⟼ Φ(y) = (⟨λ_{1}, y⟩_{E′,E}, …, ⟨λ_{p}, y⟩_{E′,E}) ∈ IR^{p}.

Supposons d’abord Ker(Φ) = {0}. Dans ce cas Φ est injective ce qui conduit au résultat absurde dim(E) ≤ p. Il existe donc y_{0} ∈ E\{0} tel que Φ(y_{0}) = 0. On pose

ϕ : t ∈ IR^{+} ⟼∥ x_{0} + ty_{0} ∥_{E}∈ IR^{+}.

2E′ est l’ensemble des applications linéaires λ : E → IK telles que sup_{x∈E\\{0\}} \frac{|⟨λ, x⟩|}{∥x∥_{E}} < ∞.

Alors ϕ est continue avec ϕ(0) =∥ x_{0} ∥_{E}< 1 et lim_{t→∞} ϕ(t) = ∞ (puisque t∥y_{0}∥_{E} = ∥ty_{0}−x_{0}+ x_{0}∥_{E} ≤ ϕ(t) + ∥x_{0}∥_{E} implique que t∥y_{0}∥_{E} − ∥x_{0}∥_{E} ≤ ϕ(t) où le terme minorant tend vers +∞ quand t → ∞). On en déduit qu’il existe t_{0} ∈ IR^{+} tel que ϕ(t_{0}) = ∥x_{0} + t_{0}y_{0}∥_{E} = 1. Soit z_{0} = x_{0} + t_{0}y_{0} ∈ S. Par ailleurs, on a

(Φ(z_{0}))_{i} = ⟨λ_{i}, x_{0}⟩ + t_{0}⟨λ_{i}, y_{0}⟩ = (Φ(x_{0}))_{i}

puisque y_{0} ∈ Ker(Φ), donc |(Φ(z_{0}))_{i}| ≤ ε ce qui signifie en fait z_{0} ∈ V_{0}. Ainsi, tout voisinage faible d’un point x_{0}, ∥x_{0}∥_{E} < 1, contient au moins un élément de S. On peut donc approcher (faiblement) un tel point par une suite d’éléments de S et on a les inclusions suivantes

S ⊂ B(0, 1) ⊂ \overline{S}

où \overline{S} désigne l’adhérence faible de S. Comme la boule B(0, 1) est convexe ceci donne en fait B(0, 1) = \overline{S} grâce au théorème suivant qui énonce l’équivalence des topologies faible et forte sur les ensembles convexes.

Théorème 2 (Théorème de Mackey). Soit un ensemble convexe C. C est fortement fermé si et seulement si C est faiblement fermé .

Preuve. Supposons d’abord C ⊂ E faiblement fermé. Soit x_{n} une suite d’éléments de C qui converge fortement vers x ∈ E. Alors, on a aussi x_{n} ⇀ x donc x ∈ C ce qui prouve que C est fortement fermé. Supposons maintenant C fortement fermé. Soit x_{0} ∈ E\C. D’après le théorème de Hahn-Banach, il existe λ ∈ E′ et α > 0 tels que λ(x_{0}) < α et pour tout y ∈ C, λ(y) > α. Or, par définition de la topologie faible, l’ensemble {y ∈ E, λ(y) < α} est faiblement ouvert, donc A = {y ∈ E, λ(y) ≥ α} est faiblement fermé. Mais, on a C ⊂ A et x_{0} ∉ A donc x_{0} ∉ \overline{C}, adhérence faible de C. On en conclut que C = \overline{C} est faiblement fermé.

On peut aussi remarquer que si E est un espace de Hilbert, on peut trouver une suite de norme 1 qui converge faiblement vers 0 (par exemple dans L^{2}(0, π) la suite \frac{2}{π} sin(nx)). L’intérêt de la topologie faible est qu’elle est plus riche au sens où elle admet plus de compacts que la topologie forte, on verra plus loin que la condition pour qu’une suite soit compacte au sens faible est très simple pour une très grande classe d’espaces.

Il existe des espaces de Banach de dimension ∞ dans lesquels toute suite faiblement convergente est fortement convergente. On dit qu’un tel espace a la ”propriété de Schur”. L’exemple classique est le suivant [7].

Théorème 3 Soit l^{1} = {(x_{n})_{n}, ∑_{n=0}^{∞} | x_{n} |< ∞}. Une suite de l^{1} est faiblement convergente

si et seulement si elle est fortement convergente.

1.2 Topologies sur un espace dual

Soit E un espace de Banach, on désigne par E′ son dual et E” son bidual, c’est-à-dire l’espace des formes linéaires continues sur E′. En particuier, on remarque qu’on peut définir une injection i : E ⟶ E” continue par

⟨i(x), λ⟩_{E”,E′} = ⟨λ, x⟩_{E′,E}.

L’injection i est une isométrie, mais n’est pas en général, surjective : E” est un espace ”plus gros” que E. Par exemple, pour E = c_{0}, ensemble des suites qui tendent vers 0 à l’infini, on a E′ = l^{1} et E” = l^{∞}, l’ensemble des suites bornées, voir [7]. L’espace dual E′ est muni de la norme

∥ λ ∥_{E′}= sup{|⟨λ, x⟩_{E′,E}|, x ∈ E, ∥x∥_{E} ≤ 1}.

Soit λ_{n} une suite d’éléments de E′ et λ ∈ E′. Sur l’espace E′, on peut définir trois topologies :

1. la topologie forte, où on note λ_{n} → λ,

lim_{n→∞} ∥λ_{n} − λ∥_{E′} = 0;

2. la topologie faible, où on note λ_{n} ⇀ λ, pour tout Φ ∈ E”,

lim_{n→∞}⟨Φ, λ_{n}⟩_{E”,E′} = ⟨Φ, λ⟩_{E”,E′};

3. la topologie faible ∗, où on note λ_{n} ⇀^{∗} λ, pour tout x ∈ E,

lim_{n→∞}⟨λ_{n}, x⟩_{E′,E} = ⟨λ, x⟩_{E′,E}.

La topologie faible ∗ est strictement plus fine que la topologie faible qui est elle-même strictement plus fine que la topologie forte. On montre facilement que :

• si λ_{n} ⇀^{∗} λ alors ∥ λ_{n} ∥_{E′} est bornée.

• Si λ_{n} ⇀^{∗} λ dans E′ et x_{n} → x dans E alors

lim_{n→∞}⟨λ_{n}, x_{n}⟩ = ⟨λ, x⟩.

(Bien entendu ceci n’est plus vrai si on suppose seulement x_{n} ⇀ x.)

1.3 Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki

Dans IR, il est bien connu qu’il suffit qu’une suite soit bornée pour qu’on puisse en extraire une sous-suite convergente, c’est le célèbre théorème de Bolzano-Weierstrass. Par contre, lorsque E est un espace de Banach de dimension infinie, la condition x_{n} bornée ne suffit plus en général. Toutefois, dans le cas d’un espace dual, on a

Théorème 4 La boule unité fermée de E′ est faiblement ∗ compacte.

Si on suppose de plus que E est séparable (i.e. il existe un ensemble D dénombrable et dense dans E), on peut exprimer ce résultat de compacité pour l’espace dual E′ sous la forme

Corollaire 1 De toute suite bornée de E′, on peut extraire une sous-suite faiblement ∗ convergente.

Lorsque l’espace E est un espace dual, la compacité, pour la topologie faible ∗, est donc facile à obtenir et les espaces ”intéressants” sont ceux qui sont espace dual d’un autre. Ceci est réalisé en particulier lorsque on peut identifier E avec son bidual E” au moyen de l’injection i.

Définition 2 E est réflexif lorsque l’injection i est surjective (i.e. i(E) = E”)

La caractérisation suivante des espaces réflexifs est due à Kakutani.

Théorème 5 E est réflexif si et seulement si la boule unité fermée de E est faiblement compacte.

Autrement dit, la compacité faible d’une suite bornée est assurée lorsque l’espace est réflexif. Pour résumer, si x_{n} est une suite bornée d’un espace E, on a

• lorsque dim(E) < ∞, alors x_{n} est compacte (fortement !),

• lorsque dim(E) = ∞ et E est réflexif alors x_{n} est faiblement compacte,

• lorsque dim(E) = ∞ et E est le dual d’un espace séparable alors x_{n} est faiblement ∗ compacte.

Remarque 1 La réciproque du second point est vraie, c’est un théorème du à Eberlein-Smulian : sSi E est un espace de Banach tel que toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente, alors E est réflexif. Mais, il existe des espaces de Banach pour lesquels les suites bornées de E′ n’admettent aucune sous-suite faiblement convergente (il n’y a pas de contradiction avec le théorème 1 : un tel espace E n’est pas séparable et la boule unité de E′ n’est pas métrisable).

2 Critère de compacité faible dans L^{1}

2.1 Le cas des espaces L^{p}

Pour simplifier, on se place dans le cas où Ω est un ouvert de IR^{N} (borné ou non, éventuellement IR^{N} lui-même) et dx désigne la mesure de Lebesgue. L’espace L^{p} est composé des fonctions f de Ω dans IR telles que, pour 1 ≤ p < ∞,

∫_{Ω} | f(x) |^{p} dx < ∞

et pour p = ∞, f est essenciellement bornée. Pour appliquer les résultats précédents à ces espaces, il faut rappeler les propriétés de base de ces espaces.

Théorème 6 Si 1 < p < ∞, alors L^{p} est réflexif et séparable ; on a (L^{p})′ = L^{q} avec \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Si p = 1, on a (L^{1})′ = L^{∞} (Steinhaus, 1918) et L^{1} est séparable mais n’est pas réflexif. Si p = ∞, L^{∞} n’est ni réflexif, ni séparable.

En terme de suites, ce résultat conduit aux conséquences suivantes.

Corollaire 2 Soit f_{n} une suite bornée de L^{p} alors,

• si 1 < p < ∞, on peut extraire une sous-suite telle que f_{n_{k}} ⇀ f dans L^{p} c’est-à-dire pour tout ϕ ∈ L^{q}, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,

lim_{k→∞} ∫_{Ω} f_{n_{k}}ϕdx = ∫_{Ω} fϕdx;

• Si p = ∞, on peut extraire une sous-suite telle que f_{n_{k}} ⇀^{∗} f dans L^{∞} c’est-à-dire pour tout ϕ ∈ L^{1},

lim_{k→∞} ∫_{Ω} f_{n_{k}}ϕdx = ∫_{Ω} fϕdx.

Exemple (homogéneisation) : on considère la suite f_{ε}(x) = a(\frac{x}{ε}) où a est une fonction Y -périodique, bornée. Alors

f_{ε} ⇀^{∗} \overline{f} = \frac{1}{mes(Y)} ∫_{Y} a(y)dy.

Le cas p = 1 est plus délicat puisque l’espace L^{1} n’est pas réflexif, ce n’est pas le dual de L^{∞}. Considérons l’exemple suivant de la fonction ”créneau”. Soit Ω = (−1, +1) et f_{ε}(x) = \frac{1}{2ε}χ_{(−ε,+ε)}(x). Il est clair que

∥ f_{ε} ∥_{L^{1}}= \frac{1}{2ε} ∫_{−ε}^{ε} dx = 1.

Donc f_{ε} est bien bornée dans L^{1}, on a même lorsque ε tend vers 0

f_{ε}(x) ⟶ 0

presque partout dans (−1, +1). Pourtant, f_{ε} n’est pas faiblement compacte dans L^{1}. En effet, supposons qu’il existe une sous-suite telle que pour tout ϕ ∈ L^{∞} on ait

lim_{ε→0} ∫_{−1}^{+1} f_{ε}ϕdx = ∫_{−1}^{+1} fϕdx

avec f ∈ L^{1}. En particulier, pour ϕ = 1, il vient

∫_{−1}^{+1} fdx = 1.

Maintenant, soit ϕ ∈ C_{0}^{∞}(−1, +1) avec 0 ∉ supp(ϕ). Lorsque ε est ”assez petit”, on a supp(ϕ) ∩ (−ε, +ε) = ∅ donc

lim_{ε→0} ∫_{−1}^{+1} f_{ε}ϕdx = 0 = ∫_{−1}^{+1} fϕdx

ce qui implique f = 0 pp. On obtient donc une contradiction.

Cet exemple montre qu’une suite bornée de L^{1}, même si on suppose de plus la convergence pp, n’est pas faiblement compacte dans L^{1}. On peut comparer cette situation avec le résultat suivant (qu’on démontrera plus tard).

Théorème 7 Soit f_{n} une suite bornée dans L^{p}(Ω), avec 1 < p < ∞ et mes(Ω) < ∞. On suppose de plus que f_{n}(x) converge vers f(x) pp x ∈ Ω. Alors f_{n} converge fortement vers f dans L^{q} pour tout 1 ≤ q < p.

Pour l’exemple de la fonction ”créneau”, on peut toutefois montrer que pour ϕ ∈ C_{0}^{∞}(−1, +1), on a

lim_{ε→0} ∫_{−1}^{+1} f_{ε}ϕdx = lim_{ε→0} \frac{1}{2ε} ∫_{−ε}^{+ε} ϕ(x)dx = lim_{ε→0} \frac{1}{2} ∫_{−1}^{+1} ϕ(εy)dy = ϕ(0) = ⟨δ_{0}, ϕ⟩.

La suite f_{ε} converge vers une masse de Dirac. Cette remarque nous amène à considérer L^{1} comme un sous-espace d’un ensemble de mesures.

On a vu que l’espace L^{1} n’est pas un espace dual, on peut toutefois l’interpréter comme un sous-ensemble d’un espace dual :

L^{1} ⊂ M^{1}

où M^{1} = (C_{0}^{0}(Ω))′ est l’espace des mesures de Radon sur Ω. On en déduit qu’une suite bornée dans L^{1} est aussi bornée dans M^{1} et on peut en extraire une sous suite qui converge faiblement ∗ (on dit parfois ”vaguement”) vers une mesure μ ∈ M^{1}. La question naturelle qu’on est amené à se poser est : quelle hypothèse supplémentaire faut-il faire sur une suite bornée de L^{1} pour qu’elle soit compacte au sens de la topologie faible ((L^{1})′, L^{1}) = (L^{∞}, L^{1})? On a vu avec la fonction créneau que la convergence pp ne permet pas de répondre positivement. La caractérisation des suites faiblement compactes de L^{1} est donnée par le théorème de Dunford-Pettis.

Remarque 2 On peut définir plusieurs topologies sur l’espace M^{1}(Ω) des mesures bornées (i.e. de masse finie) sur Ω. La topologie faible ∗ , ou ”vague” est définie par rapport à l’espace des fonctions tests C_{b}0, des fonctions continues à support compact dans Ω :

∀ϕ ∈ C_{0}^{0}, lim_{n→∞}⟨μ_{n}, ϕ⟩ = ⟨μ, ϕ⟩.

La topologie ”étroite” est elle définie par rapport à l’espace des fonctions tests C_{b}0, des fonctions continues et bornées sur Ω :

∀ϕ ∈ C_{b}^{0}, lim_{n→∞}⟨μ_{n}, ϕ⟩ = ⟨μ, ϕ⟩.

Pour plus de détails, on peut consulter [26].

Remarque 3 Considérons les fonctions ”créneaux”

f_{ε}(x) = \frac{1}{2ε}χ_{(−ε,+ε)}(x) ; g_{ε}(x) = \frac{1}{ε}χ_{(0,+ε)}(x) ; h_{ε}(x) = \frac{1}{ε}χ_{(−ε,0)}(x)

Ces trois suites convergent vaguement vers la masse de Dirac δ_{0}, mais, si on note Y la fonction d’Heaviside, les suites Y f_{ε}, Y g_{ε} et Y h_{ε} ont des comportements tout à fait différents (elles convergent respectivement vers \frac{1}{2}δ_{0}, δ_{0} et 0). Ces trois exemples décrivent des phńomènes de concentrations, on obtient à la limite des mesures qui ”chargent” l’origine, mais dans les deux derniers cas il y a une direction privilégiée (on charge par la droite ou la gauche).

2.2 Le théorème de Dunford-Pettis

Le caractère non réflexif de L^{1} impose la recherche de conditions supplémentaires pour assurer la compacité faible d’une suite bornée. Divers auteurs (parmi lesquels Dunford-Pettis (1940), Dieudonné (1951), Grothendieck (1954-58), Bourbaki (1952-59)) ont cherché des critères assurant la compacité faible. Le théorème suivant est connu sous le nom de théorème de Dunford-Pettis.

Théorème 8 Soit f_{n} une suite bornée de L^{1}. La suite f_{n} est faiblement compacte si et seulement si {f_{n}}_{n∈IN} est équi-intégrable, c’est-à-dire

∀ε > 0, ∃K_{ε} ⊂ Ω avec K_{ε} compact, sup_{n} ∫_{Ω−Kε} | f_{n} | dx < ε

et

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀A ∈ Ω, mesurable mes(A) < η implique sup_{n} ∫_{A} | f_{n} | dx < ε

Le premier point de ce théorème contrôle le comportement de la suite à l’infini ; en particulier, il est vérifié dès lors que Ω est borné. Le second point contrôle les phénomènes de concentration.

Exemples : le ”créneau” f_{ε}(x) = \frac{1}{2ε}χ_{(−ε,+ε)}(x) converge vers une masse de Dirac : il y a concentration en 0, le second point n’est pas satisfait.

la ”bosse glissante” f_{ε}(x) = χ_{( \frac{1}{ε} ,1+ \frac{1}{ε})}(x) dans Ω = IR ne vérifie pas le premier point et f_{ε}

converge vers 0 dans M^{1} (car pour ϕ ∈ C_{0}^{0} pour ε assez petit supp(ϕ) ∩ (\frac{1}{ε}, 1 + \frac{1}{ε}) = ∅).

Remarque 4 Si la suite f_{n} est dominée, i.e. il existe g ∈ L^{1} telle que pp x ∈ Ω, on a | f_{n}(x) |≤ g(x) alors f_{n} est faiblement compacte dans L^{1}. Le résultat est encore vrai si on a | f_{n}(x) |≤ g_{n}(x) où on sait déjà que g_{n} est faiblement compacte dans L^{1}.

Remarque 5 Pour obtenir le second point on peut montrer que f_{n} vérifie

lim_{A→∞} sup_{n} ∫_{|fn|>A} | f_{n} | dx = 0.

En effet, pour tout mesurable A ⊂ Ω, on a pour A > 0

∫_{A} | f_{n} | dx = ∫_{A} | f_{n} | χ_{|fn|>A}dx + ∫_{A} | f_{n} | χ_{|fn|≤A}dx

≤ sup_{n} ∫_{|fn|>A} | f_{n} | dx + A mes(A).

On prend A assez grand pour que le premier terme soit < ε, et on fait tendre mes(A) vers 0.

Preuve du théorème 4. Soit f_{n} bornée dans L^{p}(Ω), avec 1 < p < ∞ et mes(Ω) < ∞. Alors f_{n} est équi-intégrable. En effet, on a pour tout mesurable A ⊂ Ω

∫_{A} | f_{n} | dx ≤ (∫_{A} 1^{p′}dx)^{\frac{1}{p′}} (∫_{A} | f_{n} |^{p} dx)^{\frac{1}{p}} ≤ (mes(A))^{\frac{1}{p′}} ∥ f_{n} ∥_{L^{p}}≤ C(mes(A))^{\frac{1}{p′}} .

De plus, f_{n} est bornée dans L^{1} car

∫_{Ω} | f_{n} | dx ≤ C(mes(Ω))^{\frac{1}{p′}} .

On en déduit donc que f_{n} est faiblement compacte dans L^{1}(Ω). Or, f_{n} converge pp vers f, alors le théorème 8 assure que f_{n} converge fortement vers f dans L^{1}(Ω).

Soit u ∈ L^{p} ∩ Ł^{1}(Ω). Alors, pour 1 < q < p, on a l’inégalité d’interpolation suivante

∫_{Ω} | u |^{q} dx = ∫_{Ω} | u |^{q− \frac{1}{s}} | u |^{\frac{1}{s}} dx ≤ (∫_{Ω} | u | dx)^{\frac{1}{s}} (∫_{Ω} | u |^{r(q− \frac{1}{s})} dx)^{\frac{1}{r}}

avec \frac{1}{s} + \frac{1}{r} = 1. Il vient, avec p = r(q − \frac{1}{s})

∥ u ∥q_{q}≤∥ u ∥\frac{1}{s} ; 1 ∥ u ∥\frac{p}{r} ; p .

On applique ce résultat pour obtenir la convergence forte dans L^{q}. On pose θ = \frac{1}{sq} ∈ (0, 1), et on a

∥ f_{n} − f ∥_{q}≤∥ f_{n} − f ∥θ_{1}∥ f_{n} − f ∥1−θ_{p}≤ C ∥ f_{n} − f ∥θ_{1}

Où la constante C < ∞ majore ∥ f_{n} ∥_{p}, qui est bornée plus ∥ f ∥_{p} (car le lemme de Fatou assure que f ∈ L^{p}). On conclut grâce à la convergence forte dans L^{1}.

2.3 Critère pratique

Dans la pratique, on déduit la compacité faible dans L^{1} de diverses estimations, liées au problème. On est amené à utiliser le lemme suivant Lemme 1 Soit w une fonction de Ω dans IR^{+} telle que lim_{|x|→∞} w(x) = +∞ et soit G une

fonction de IR^{+} dans IR^{+}, telle que lim_{s→∞} \frac{G(s)}{s} = +∞. Si on a

sup_{n} ∫_{Ω} ((1 + w(x)) | f_{n}(x) | +G(| f_{n}(x) |))dx < ∞

alors f_{n} est faiblement compacte dans L^{1}. Le poids w permet le contrôle à l’infini et l’estimation sur G (appelé ”fonction de Nagumo”) donne le second point du théorème de Dunford-Pettis.

De telles estimations sont souvent liées à des considérations physiques. Ainsi, pour l’équation de Boltzmann qui décrit l’évolution d’un gaz raréfié (voir [13] [19]), on a une estimation du type (avec f_{n} ≥ 0)

sup_{n} ∫_{Ω} (1 + x^{2}+ | ln(f_{n}) |)f_{n}dx < ∞.

La quantité G(f_{n}) =| ln(f_{n}) | f_{n} est lié à l’entropie du système.

3 Compacité forte dans L^{p}

On dispose aussi d’un critère permettant de déterminer si une suite donnée est fortement compacte dans L^{p} valable pour toute valeur de 1 ≤ p < ∞. Ce critère est du essentiellement à M. Riesz (1933) puis A. Weil (1951) ; on l’appelle parfois théorèm e de Weil-Kolmogorov-Fréchet.

Théorème 9 Soit 1 ≤ p < ∞ et Ω ⊂ IR^{N} (borné ou non). Un ensemble F de L^{p}(Ω) est fortement compact dans L^{p}(Ω) si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

• F est bornée

sup_{F} ∫_{Ω} | f |^{p} dx < ∞

• Pour tout ε > 0, il existe K_{ε} ⊂ Ω, compact tel que

sup_{F} ∫_{Ω\Kε} | f |^{p} dx < ε

• Pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que si | h |< η alors

sup_{F} ∫_{Ω} | f(x + h) − f(x) |^{p} dx < ε

Le second point est un contrôle à l’infini ; le dernier point est une condition d’équicontinuité au sens L^{p} : le critère de Weil s’interpréte comme une version L^{p} du théorème d’Ascoli. Notons que dans le cas p = 2, on dispose d’un critère équivalent en terme de transformée de Fourier ^{3}.

Théorème 10 Soit Ω un ouvert de IR^{N}. Une suite bornée f_{n} de L^{2}(Ω) est fortement compacte dans L_{loc}^{2}(Ω) si et seulement si pour tout ϕ ∈ C_{0}^{∞}(Ω), on a

lim_{R→∞} sup_{n} ∫_{|ξ|>R} |F(ϕf_{n})(ξ)|^{2}dξ = 0.

Preuve. Supposons que la condition du Théorème soit satisfaite. On remarque que

F(ϕf_{n}(· + h))(ξ) = ∫ e^{−ix·ξ}ϕf_{n}(x + h)dx = ∫ e^{−iy·ξ}e^{ih·ξ}ϕf_{n}(y)dy = e^{ih·ξ}F(ϕf_{n})(ξ).

La formule de Parseval donne donc

∫ |ϕf_{n}(x + h) − ϕf_{n}(x)|^{2}dx = c ∫ |F(ϕf_{n}(· + h))(ξ) − F(ϕf_{n})(ξ)|^{2}dξ

= c ∫ |(1 − e^{ih·ξ})F(ϕf_{n})(ξ)|^{2}dξ.

3qu’on définit ici par F(ϕ)(ξ) = ∫ e^{−ix·ξ}ϕ(x)dxt.

Il est donc facile de voir, en appliquant le théorème de Lebesgue, que pout tout n ce terme tend vers 0 avec h ; la difficulté est d’obtenir une convergence uniforme vis-à-vis de n. On décompose cette intégrale sur les hautes et basses fréquences

∫ |(1 − e^{ih·ξ})F(ϕf_{n})(ξ)|^{2}dξ = ∫_{|ξ|<R} |(1 − e^{ih·ξ})F(ϕf_{n})(ξ)|^{2}dξ

+ ∫_{|ξ|>R} |(1 − e^{ih·ξ})F(ϕf_{n})(ξ)|^{2}dξ = I_{n}(h, R) + J_{n}(h, R).

Tout d’abord, on a

sup_{n} J_{n}(h, R) ≤ 4 sup_{n} ∫_{|ξ|>R} |F(ϕf_{n})(ξ)|^{2}dξ

où, par hypothèse, le majorant tend vers 0 quand R → ∞. Par ailleurs, on majore I_{n}(h, R) par

∥F(ϕf_{n})∥2_{L^{∞}} ∫_{|ξ|<R} |1 − e^{ih·ξ}|^{2}dξ ≤ ∥ϕf_{n}∥2_{L^{1}} ∫_{|ξ|<R} |1 − e^{ih·ξ}|^{2}dξ

≤ C_{ϕ}∥f_{n}∥2_{L^{2}} ∫_{|ξ|<R} |1 − e^{ih·ξ}|^{2}dξ ≤ C ∫_{|ξ|<R} |1 − e^{ih·ξ}|^{2}dξ,

en utilisant la borne L^{2} sur f_{n} et la propriété de support compact de ϕ. Par le théorème de Lebesgue, on obtient immédiatement que, pour R fixé, cette intégrale tend vers 0 quand h → 0. On obtient donc un résulat du type

sup_{n}(I_{n}(h, R) + J_{n}(h, R)) ≤ δ_{R}(h) + g(R)

avec lim_{R→∞} g(R) = 0 et lim_{h→0} δ_{R}(h) = 0 qui permet de conclure que ϕf_{n} vérifie les condi-

tions du théorème . Réciproquement, si f_{n} est fortement compacte dans L_{loc}^{2}(Ω_{x}), alors pour ϕ ∈ C_{0}^{∞}(Ω), F(ϕf_{n}) est fortement compacte dans L^{2}(IR_{ξ}^{N}) et vérifie donc la condition du théorème qui n’est autre que le second point du critère de Weil appliqué à F(ϕf_{n}).

Une conséquence immédiate de ce résultat est le célèbre théorème de compacité de Rellich.

Corollaire 3 Soit s ∈ IR. On note

H^{s}(IR^{N}) = \{ϕ ∈ S′(IR^{N}), (1 + |ξ|^{2})^{\frac{s}{2}} |ϕ̂(ξ)| ∈ L^{2}(IR^{N})\}

l’espace de Sobolev d’ordre s. Alors, pour s > t, l’injection H^{s}(IR^{N}) ⊂ H_{loc}^{t}(IR^{N}) est compacte.

Preuve. Soit ϕ ∈ C_{0}^{∞}(IR^{N}). On montre seulement que l’application f ⟼ ϕf est compacte de H^{s}(IR^{N}) dans L^{2}(IR^{N}) pour s > 0 En effet, on a

∫_{|ξ|>R} |F(ϕf)(ξ)|^{2}dξ ≤ (1 + R^{2})^{−s} ∫_{|ξ|>R} (1 + ξ^{2})^{s}|F(ϕf)(ξ)|^{2}dξ ≤ C(ϕ)(1 + R^{2})^{−s}∥f∥_{H^{s}}

qui tend clairement vers 0 quand R → ∞.

Ce dernier critère est à l’origine de l’introduction dans [20] du ”front d’onde de compacité” W F_{c}(f_{n}) d’une suite f_{n} bornée dans L^{2}(Ω).

Définition 3 On dit un point (x_{0}, ξ_{0}) ∈ Ω × IR^{N} n’appartient pas à W F_{c}(f_{n}) s’il existe une fonction ϕ ∈ C_{0}^{∞}(Ω), non nulle en x_{0} et un voisinage conique V_{0} de ξ_{0} tels que

lim_{R→∞} sup_{n} ∫_{|ξ|>R,ξ∈V_{0}} |F(ϕf_{n})(ξ)|^{2}dξ = 0.

Comme le front d’onde classique, voir [2], permet de repèrer les défauts de régularité, ce front d’onde de compacité permet de repérer les défaut de compacité.

4 Une suite bornée de L^{1} est ”presque” faiblement compacte

Dans cette section, on suppose pour simplifier que Ω est un ouvert borné de IR^{N}. On a vu qu’une suite bornée de L^{1} est faiblement ∗ compacte dans l’espace de mesures M^{1}, mais pas en général dans L^{1}. Le défaut de compacité est alors imputable à des phénomènes de concentration des oscillations. On peut préciser cette idée par le résultat suivant (du à Chacon [10], voir aussi [1] [4], [5]) : une suite bornée de L^{1}(Ω) est faiblement compacte dans L^{1} hors d’ensembles de mesure petite qu’il faut ”grignoter” sur l’ouvert Ω.

Théorème 11 (”bitting lemma” ou ”lemme qui mord” de Chacon) Soit Ω un ouvert borné de IR^{N} et f_{n} une suite bornée de L^{1}(Ω). Alors, il existe

• f ∈ L^{1}(Ω)

• une sous-suite f_{n_{k}}

• une suite d’ensembles mesurables E_{j} ⊂ Ω avec

E_{j+1} ⊂ E_{j} ; lim_{j→∞} | E_{j} |= 0

tels que pour tout j ∈ IN,

f_{n_{k}} ⇀ f dans L^{1}(Ω\E_{j}).

On dit alors que f_{n_{k}} converge vers f au sens de Chacon (ou ”weak-weak converge”).

Remarque 6 Il serait tentant d’affirmer que pour toute suite f_{n} bornée dans L^{1} et tout ε > 0, il existe un mesurable E ⊂ Ω tel que mes(E) < ε et f_{n} converge faiblement dans L^{1}(Ω\E). Cet énoncé est faux : le lemme de Chacon ne donne la convergence faible que pour une sous-suite.

On peut extraire de f_{n} bornée dans L^{1} une sous-suite telle que

f_{n_{k}} converge faiblement ∗ vers μ dans M^{1}

et

f_{n_{k}} converge faiblement au sens de Chacon vers f dans L^{1}

Il est naturel de chercher à comparer f et μ. Malheureusement, il n’y a pas en général de lien entre f et μ. En particulier, les ensembles E_{j} ne sont que des mesurables et ne sont pas en général fermés : on ne peut pas définir de fonctions tests ϕ continues à support compact dans Ω\E_{j} (qui n’est pas un ouvert) pour étudier lim_{k→∞}⟨f_{n_{k}}, ϕ⟩. Toutefois, si f_{n} ≥ 0, alors on peut montrer, au sens des mesures, que

dμ ≥ f dx.

La différence entre f et μ mesure le défaut de compacité du aux effets des concentrations (voir une autre approche dans [14], [15]).

Remarque 7 Tous les résultats qui précédent, théorème de Dunford-Pettis, lemme de Chacon notamment peuvent s’énoncer de manière générale pour des fonctions définies sur un espace mesuré (Ω, dμ) à valeurs dans un espace de Banach réflexif X et telles que

∫_{Ω} ∥ f ∥_{X} dμ < ∞.

Le lecteur intéressé pourra trouver un autre critère de compacité faible dans [16].

5 Applications

5.1 Amélioration de la convergence faible

Lorsque x_{n} est une suite d’un espace de Hilbert H pour laquelle on arrive à montrer à la fois que x_{n} converge faiblement vers x et que la norme ∥ x_{n} ∥_{H} converge vers ∥ x ∥_{H}, alors il est bien connu qu’en fait x_{n} converge fortement vers x. Il est naturel de chercher quel type d’information supplémentaire sur une suite qui converge faiblement dans L^{1} assure la convergence forte. En fait, il suffit d’avoir en plus la convergence pp. Pour montrer ce résultat, on rappelle d’abord le théorème d’Egoroff.

Théorème 12 Soit Ω un ouvert de mesure finie de IR^{N}. Soit f_{n} une suite de fonctions qui converge pp vers f. Alors, pour tout ε > 0, il existe un mesurable E ⊂ Ω avec mes(E^{c}) < ε tel que f_{n} converge vers f uniformèment sur E.

Le résultat suivant est une conséquence du théorème d’Egoroff et du critère de Dunford-Pettis.

Théorème 13 Soit Ω un ouvert (quelconque) de IR^{N} et f_{n} une suite de fonctions de Ω dans IR. On suppose que f_{n} est faiblement compacte dans L^{1}(Ω) et que ppx ∈ Ω, f_{n}(x) converge vers f(x). Alors, f_{n} converge fortement vers f dans L^{1}(Ω).

En effet, on a pour tout R > 0, η > 0, convergence uniforme de f_{n} vers f sur E ⊂ {| x |≤ R} avec mes(E^{c}) < η. On écrit

∫_{Ω} | f_{n} − f | dx = ∫_{E} | f_{n} − f | dx + ∫_{|x|>R} | f_{n} − f | dx + ∫_{E^{c},|x|<R} | f_{n} − f | dx

≤∥ f_{n} − f ∥_{L^{∞}(E)} mes(B(0, R)) + sup_{n} ∫_{|x|>R} | f_{n} | dx + ∫_{|x|>R} | f | dx

+ sup_{n} ∫_{E^{c}} | f_{n} | dx + ∫_{E^{c}} | f | dx.

Soit ε > 0. Comme f ∈ L^{1}(Ω) et f_{n} est faiblement compacte, on peut prendre R_{ε} et η_{ε} tels que les intégrales sur {| x |> R_{ε}} et E^{c} soient ≤ ε. Enfin la convergence uniforme sur E permet de terminer la preuve.

On obtient encore la convergence forte si on arrive à obtenir des informations sur une suite Φ(f_{n}).

Lemme 2 Soit Φ une fonction de IR dans IR strictement concave. On suppose que f_{n} converge faiblement vers f dans L^{1} et Φ(f_{n}) converge faiblement vers Φ(f) dans L^{1}. Alors f_{n} converge fortement vers f dans L^{1}.

Preuve. On remarque que \frac{f_{n}+f}{2} ⇀ f dans L^{1}. Alors, comme la concavité de Φ assure une propriété de faible semi-continuté supérieure

lim_{n→∞} ∫ Φ(\frac{f_{n} + f}{2} )dx ≤ ∫ Φ(f)dx.

Mais, Φ est strictement concave, donc ∀M > 0, ∃ν_{M} > 0 tel que

Φ(\frac{f_{n} + f}{2} ) ≥ \frac{1}{2}Φ(f_{n}) + \frac{1}{2}Φ(f) + ν_{M} | f_{n} − f | χ_{|fn|<M} χ_{|f|<M} .

Alors, il vient

∫ | f_{n} − f | dx ≤ ∫ | f_{n} − f | χ_{|fn|<M} χ_{|f|<M} dx + ∫ | f_{n} − f | (χ_{|fn|≥M} + χ_{|f|≥M})dx

On majore la première intégrale par

\frac{1}{ν_{M}} ∫ Φ(\frac{f_{n} + f}{2} )dx − \frac{1}{2ν_{M}} ∫ (Φ(f_{n}) + Φ(f))dx.

Lorsque n ⟶ ∞, on obtient en utilisant l’inégalité de semi-continuité et l’hypothèse Φ(f_{n}) ⇀ Φ(f) une majoration par

\frac{1}{ν_{M}} ∫ Φ(f)dx − \frac{1}{2ν_{M}} ∫ (Φ(f) + Φ(f))dx = 0.

Alors, on en déduit

0 ≤ \underline{lim}_{n→∞} ∫ | f_{n} − f | dx ≤ \overline{lim_{n→∞}} ∫ | f_{n} − f | dx

≤ \overline{lim_{n→∞}} ∫ | f_{n} − f | (χ_{|fn|>M} + χ_{|f|>M})dx

≤ sup_{n} ∫ | f_{n} | (χ_{|fn|>M} + χ_{|f|>M})dx + sup_{n} ∫ | f | χ_{|fn|>M} + χ_{|f|>M} dx = G(M)

Or, mes(\{| f_{n}(x) |> M\} ≤ \frac{1}{M} sup_{n} ∥ f_{n} ∥_{L^{1}}. On en déduit par le théorème de Lebesgue pour f et par équi-intégrabilité (voir remarque 3) pour f_{n} que lim_{M→∞} G(M) = 0.

Remarque 8 On peut trouver des applications de lemmes de ce type dans [24] (avec Φ(s) = ln(1 + s)). Bien entendu, il n’est pas du tout évident que la limite faible de Φ(f_{n}) soit Φ(f) (voir section 3).

Le résultat suivant permet de passer de la convergence de Chacon à la convergence faible.

Lemme 3 Soit f_{n} une suite de fonctions positives telle que f_{n} ⇀^{Ch} f Alors f_{n} converge faiblement vers f si et seulement si

\overline{lim_{n→∞}} ∫_{Ω} f_{n}dx ≤ ∫_{Ω} fdx.

L’implication est immédiate et pour la réciproque on suppose que f_{n} ne vérifie pas Dunford-Pettis, alors l’inégalité ne peut être satisfaite.

5.2 Convergence faible et produits

On a vu dans le chapitre 1 qu’on ne pouvait passer à la limite dans le produit ⟨λ_{n}, x_{n}⟩_{E′,E} que si l’une des suite converge fortement. Pourtant, dans de nombreuses applications, on doit étudier le comportement de α_{n}f_{n} où α_{n} est une suite bornée de L^{∞} et f_{n} converge faiblement vers f dans L^{1}. Si α_{n} converge fortement vers α dans L^{∞} (i.e. converge uniformèment) alors il est facile de montrer que α_{n}f_{n} converge faiblement dans L^{1} vers αf. Par contre, ce résultat n’est plus vrai si on a seulement α_{n} ⇀^{∗} α dans L^{∞}. Un cas intermédiaire est donné par le lemme suivant.

Lemme 4 Soit f_{n} une suite qui converge faiblement vers f dans L^{1} et α_{n} une suite bornée de L^{∞} qui converge pp vers α. Alors α_{n}f_{n} converge faiblement dans L^{1} vers αf.

La preuve est une conséquence des théorèmes de Egoroff et Dunford-Pettis. On a pour tout ϕ ∈ L^{∞}(Ω) et avec les notations du théorème 8

| ∫_{Ω} (α_{n}f_{n}ϕ − αfϕ)dx |≤ ∫_{Ω} | α_{n} − α || f_{n}ϕ | dx+ | ∫_{Ω} (f_{n} − f)αϕdx |

≤∥ α_{n} − α ∥_{L^{∞}(E)}∥ ϕ ∥_{∞} sup_{n} ∫_{Ω} | f_{n} | dx

+(sup_{n} ∥ α_{n} ∥_{∞} + ∥ α ∥_{∞}) ∥ ϕ ∥_{∞} sup_{n} ∫_{E^{c},|x|>R} | f_{n} | dx+ | ⟨f_{n} − f, αϕ⟩_{L^{1},L^{∞}} | .

Où l’ensemble de Egoroff E et R sont pris de manière à contrôler le deuxième terme. Le premier terme tend vers 0 par convergence uniforme sur E et le dernier terme tend vers 0 par convergence faible de f_{n} vers f.

Remarque 9 Lorsqu’on ne dispose que de la converge faible ∗ pour α_{n}, la complexité de la situation peut être décrite par l’exemple suivant. On suppose que f_{n}(x, v) ⇀ f(x, v) dans L^{1}(X × V) et α_{n}(x) ⇀^{∗} α(x) dans L^{∞} (f_{n} et f dépendent de x ∈ X et de v ∈ V alors que α_{n} et α ne dépendent que de x ∈ X). Il est clair que g_{n}(x, v) = α_{n}(x)f_{n}(x, v) vérifie les hypothèses du thérèreme de Dunford-Pettis ; on peut donc supposer que g_{n}(x, v) ⇀ g(x, v). Mais en général le passage à la limite mélange les oscillations c’est-à-dire qu’on ne peut pas écrire la limite faible g(x, v) sous la forme h(x)f(x, v) où f est la limite faible de f_{n} et h ne dépend que de la variable x.

5.3 Convergence faible et non-linéarités

Soit Φ une fonction continue. On s’intéresse à la suite Φ(f_{n}). Si f_{n} converge en norme L^{p}, alors, au moins pour une sous-suite, il y a convergence pp. qui permet d’étudier le passage à la limite dans Φ(f_{n}). Par contre, le comportement de la convergence faible vis-à-vis des non-linéarités est mauvais. On ne dispose guère que de propriétés de semi-continuité lorsque Φ est convexe.

Lemme 5 Soit Φ une fonction convexe de IR dans IR, avec ∀s ∈ IR, | Φ(s) |≤ C | s |. On suppose que f_{n} ⇀ f et Φ(f_{n}) ⇀ \overline{Φ} dans L^{p} (pour 1 ≤ p < ∞ ou ⇀^{∗} pour p = ∞). Alors

Φ(f) ≤ \overline{Φ} ppΩ.

En général \overline{Φ} ≠ Φ(f). Un outil permettant de caractériser \overline{Φ} est la notion de mesure de Young ([27], [28], adaptée à la convergence au sens de Chacon par [4], [5]).

Proposition 1 Soit f_{n} une suite bornée de L^{p}(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ et mes(Ω) < ∞. Alors, il existe une sous-suite, toujours notée f_{n}, telle que f_{n} converge faiblement vers f dans L^{p}(Ω) (pour 1 < p < ∞, respectivement faiblement ∗ pour p = ∞ ou faiblement-Chacon pour p = 1) et il existe une famille de mesures de probabilités, paramétrée par x ∈ Ω, notée ν_{x}(dλ) telle que pour toute fonction continue Φ avec | Φ(s) |≤ C | s |, la limite faible de Φ(f_{n}) (respectivement faible ∗ ou au sens de Chacon) est donnée par

\overline{Φ}(x) = ⟨ν_{x}(dλ), Φ(λ)⟩.

Remarque 10 Comme les mesures de Young ν_{x}(dλ) sont des mesures de probabilités (i.e. ⟨ν_{x}(dλ), 1⟩ = 1), l’inégalité de semi-continuité pour Φ convexe s’interpréte ici comme une application du lemme de Jensen. On remarque aussi que la limite de f_{n} est donnée par

f(x) = ⟨ν_{x}(dλ), λ⟩.

De tels outils (Chacon-convergence, mesures de Young,...) ont été utilisés pour étudier certains problèmes de calcul des variations. Par exemple pour minimiser la quantité

I(u) = ∫_{Ω} f(x, u(x), ∇u(x))dx

avec | f(x, ξ, ζ) |≤ C(| ξ |^{p} + | ζ |^{p}), Ω borné régulier et u ∈ W^{1,p} = {u ∈ L^{p}, ∂_{i}u ∈ L^{p}}. On se réferera pour de telles applications à [6], [25], [23].

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