Solutions d’équilibre pour l’opérateur de Pauli^{1}.

Equilibrium solutions for the Pauli operator

Thierry Goudon

Résumé. On montre l’existence de solutions d’équilibre pour l’opérateur de Pauli des semi-conducteurs, sans supposer réalisée l’hypothèse usuelle d’équilibre en détail.

Abstract. We show the existence of equilibrium states for the Pauli operator of semi-conductors, without requiring that the usual detailed balance relation holds.

1 Introduction

La modélisation de semi-conducteurs conduit à l’équation cinétique suivante

\{ \begin{matrix}∂_{t}f + \frac{1}{ε}v(ξ) · ∇_{x}f = \frac{1}{ε^{2}} Q(f), \\ Q(f)(x, ξ) = ∫_{B}(σ(x, ξ, ξ_{∗})f(ξ_{∗})(1 − f(ξ)) − τ(x, ξ, ξ_{∗})f(ξ)(1 − f(ξ_{∗})) dμ(ξ_{∗}), \end{matrix}  (1)

qui décrit l’évolution de la densité f(t, x, ξ) de particules (électron ou ion) occupant, à l’instant t ≥ 0, la position x ∈ ℝ^{N} et ayant le vecteur d’onde ξ. Cette dernière variable vit dans la zone de Brillouin qui peut être vue comme un ensemble compact B de ℝ^{N} munit de la mesure de Lebesgue normalisée dμ(ξ)

∫_{B} dμ(ξ) = 1.  (2)

La vitesse v(ξ) des particules est dérivée à partir d’une fonctionnelle énergie : v(ξ) = ∇_{ξ}E(ξ). L’opérateur de Pauli Q(f) décrit comment le vecteur d’onde des particules est modifié par divers phénomènes d’interaction dans le semi-conducteur. Le paramètre ε > 0 est lié au libre parcours moyen des particules ; lorsqu’il tend vers 0, on obtient une description macroscopique du dispositif, qui prend la forme d’une équation de diffusion pour la charge ρ(t, x) = ∫_{B} f dμ(ξ). Ce problème de perturbation singulière est maintenant classique, depuis les travaux de Larsen-Keller [12], Bensoussan-Lions-Papanicolaou [5], et des résultats complets ont été obtenus pour des situations physiques et mathématiques fort variées : modèles linéaires et non-linéaires de transfert radiatif ou de neutronique, vitesses discrètes, prise en compte d’effets d’homogénéisation... [1], [2], [3], [4], [9], [11], [13],...

La détermination des fonctions d’équilibre F qui annulent l’opérateur de collisions est primordiale dans ces problèmes : ces fonctions correspondent au premier terme dans un développement de f en puissance de ε. Pour l’opérateur de Pauli qui apparaît dans (1), on fait généralement l’hypothèse suivante, dite d’équilibre en détail,

σ(x, ξ, ξ_{∗}) = b(x, ξ, ξ_{∗}) exp(−E(ξ)) = τ(x, ξ_{∗}, ξ),

1Comptes Rendus Académie des Sciences, 330 (2000), no. 11, 1035–1038

où b(x, ξ, ξ_{∗}) = b(x, ξ_{∗}, ξ). Dans ce cas, les états d’équilibre sont donnés par les distributions de Fermi-Dirac F (ν, ξ) = (1 + exp(E(ξ) − ν))^{−1}, ν ∈ \overline{ℝ}. On se réfère à F. Poupaud [15] pour ce résultat, ainsi qu’un Théorème H (qui traduit des propriétés de dissipation de l’opérateur Q) et l’existence-unicité des solutions du problème (1). L’approximation par la diffusion correspondante a été étudiée par F. Golse-F. Poupaud [10]. Ici, on souhaite s’affranchir de l’hypothèse d’équilibre en détail en supposant seulement que l’opérateur est conservatif, c’est-à-dire vérifie, pour toute fonction de distribution f,

∫_{B} Q(f) dμ(ξ) = 0,

ce qui conduit à la relation

τ(x, ξ, ξ_{∗}) = σ(x, ξ_{∗}, ξ).  (3)

L’objet de cette Note est de prouver dans ce cadre l’existence de solutions d’équilibre ainsi qu’une propriété de dissipation de type Théorème H. Pour un opérateur de Boltzmann linéaire, il a été montré dans [6] que l’on pouvait en effet se passer de l’hypothèse d’équilibre en détail (ou micro-réversibilité) : en définitive, seules sont cruciales l’existence d’un état d’équilibre normalisé et la propriété de conservation, pour établir la dissipativité de l’opérateur de collisions et l’unicité de la fonction d’équilibre de densité macroscopique ρ ≥ 0 donnée. Dans [6], la dépendance en espace des fonctions d’équilibre induit un terme de dérive dans l’équation limite. Pour la limite hydrodynamique de l’équation de Pauli (1), on renvoie au travail de A. Mellet [14].

2 Etats d’équilibre

Comme mentionné plus haut, sous l’hypothèse de micro-réversibilité, les états d’équilibre sont donnés par les distributions de Fermi-Dirac. Dans le cas général, on ne peut espérer disposer d’une relation explicite pour les fonctions d’équilibre et leur existence même est une difficulté. Dans ce travail, on va supposer que le noyau σ vérifie les propriétés suivantes :

(A1) σ est une fonction mesurable de B × B dans ℝ telle que pour presque tous ξ, ξ_{∗}, on a
0 < σ(ξ, ξ_{∗}),
(A2) Il existe une constante \overline{σ} > 0 telle que
sup_{ξ∈B} ∫_{B} σ(ξ, ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}) ≤ \overline{σ},  sup_{ξ∈B} ∫_{B} σ(ξ_{∗}, ξ) dμ(ξ_{∗}) ≤ \overline{σ},
(A3) A tout ensemble mesurable A ⊂ B tel que mes(A) > 0, on associe les quantités
\underline{Σ}(A) = inf_{ξ∈B} ∫_{A} σ(ξ, ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}),  \overline{Σ}(A) = sup_{ξ∈B} ∫_{A} σ(ξ, ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}),
\underline{Σ}_{∗}(A) = inf_{ξ∈B} ∫_{A} σ(ξ_{∗}, ξ) dμ(ξ_{∗}),  \overline{Σ}_{∗}(A) = sup_{ξ∈B} ∫_{A} σ(ξ_{∗}, ξ) dμ(ξ_{∗}).

Alors, il existe une constante \underline{σ} > 0 vérifiant pour tout tel ensemble A,

\underline{Σ}_{∗}(A)/\overline{Σ}(A) ≥ \underline{σ}, \underline{Σ}(A)/\overline{Σ}_{∗}(A) ≥ \underline{σ},

(A4) Il existe un ensemble N ⊂ B négligeable tel que les familles {σ(ξ, ·), ξ ∈ B\N} et

{σ(·, ξ), ξ ∈ B\N} sont relativement compactes dans L^{1}(B).

L’énoncé suivant assure alors l’existence de fonctions d’équilibre annulant l’opérateur de Pauli et montre qu’elles peuvent être paramétrées par la masse.

Théorème 1 Supposons (A1-A4). Alors, pour tout ρ ∈ [0, 1], il existe une unique fonction 0 ≤ F_{ρ} ≤ 1 vérifiant ∫_{B} F_{ρ} dμ(ξ) = ρ et Q(F_{ρ}) = 0.

Remarque 1 Les hypothèses faites appellent quelques commentaires:

• Comme B est de mesure finie, on a toujours L^{p}(B) ⊂ L^{1}(B), pour 1 ≤ p ≤ ∞.

• L’hypothèse (A2) entraîne que, pour tout f ∈ L^{∞}(B), Q(f) est bien défini dans L^{∞}(B) (avec ∥Q(f)∥_{∞} ≤ 2\overline{σ}∥f∥_{∞}(1 + ∥f∥_{∞})).

• L’hypothèse (A3) est une condition de non-dégénérescence des noyaux de collisions. En particulier, elle est satisfaite lorsque 0 < σ_{1} ≤ σ(ξ, ξ_{∗}) ≤ σ_{2} (avec \underline{σ} = σ_{1}/σ_{2}).

• D’après le classique critère de Weil (voir [7], Th. 4.20.1), l’hypothèse (A4) se traduit par :

Pour tout ε > 0, il existe η_{ε} > 0 tel que, pour tout h ∈ ℝ^{N} et presque tout ξ ∈ B, si |h| ≤ η_{ε}, alors

∫_{ℝ^{N}} |σ(ξ, ξ_{∗} + h) − σ(ξ, ξ_{∗})| dμ(ξ_{∗}) < ε, ∫_{ℝ^{N}} |σ(ξ_{∗} + h, ξ) − σ(ξ_{∗}, ξ)| dμ(ξ_{∗}) < ε

(4)

(où on a prolongé σ par 0 en dehors de B × B et dμ(ξ) est la mesure de Lebesgue divisée par mes(B)).

• L’hypothèse (A4) est satisfaite si on suppose que σ(ξ, ξ_{∗}) ∈ C^{0}(B_{ξ}; L^{1}(B_{ξ_{∗}}))∩C^{0}(B_{ξ_{∗}}; L^{1}(B_{ξ})). Un cas particulier où toutes les hypothèses (A1-A4) sont satisfaites est celui où σ ∈ C^{0}(B × B). Dans ce cas, les fonctions d’équilibre F_{ρ} sont continues.

L’idée de la preuve consiste à paramétrer les états d’équilibre par leur masse. On introduit l’application

\begin{aligned}Φ : & ℝ × L^{∞}(B) & ⟶ & ℝ × L^{∞}(B) \\ & ( \begin{matrix}ρ \\ f \end{matrix} ) & ⟼ & ( \begin{matrix}∫_{B} f dμ(ξ) − ρ \\ Q(f) \end{matrix} ) \end{aligned}

définie de [0, 1]×{f ∈ L^{∞}(B), 0 ≤ f ≤ 1} à valeurs dans [−1, 1]×L_{0}^{∞} où L_{0}^{∞} désigne le sous-espace

L_{0}^{∞} = {f ∈ L^{∞}(B), ∫_{B} f dμ(ξ) = 0}.

La détermination des états d’équilibre F de masse ρ revient à chercher les zéros de cette application Φ. On note déjà que Φ(0, 0) = (0, 0) = Φ(1, 1). On va alors utiliser le théorème des fonctions implicites pour construire une famille {(ρ, F_{ρ}), ρ ∈ [0, 1]} telle que

\{ \begin{matrix}F_{0} = 0,  F_{1} = 1, \\ Φ(ρ, F_{ρ}) = (0, 0) \end{matrix}

et on va montrer de plus que 0 ≤ F_{ρ} ≤ 1 (et même 0 < F_{ρ} < 1 lorsque ρ ∈ (0, 1)).

La dérivée de Φ par rapport à f s’exprime

\frac{∂Φ}{∂f}(ρ, f)(h) = ( \begin{matrix}∫_{B} h dμ(ξ) \\ D_{f}(h) \end{matrix} )

où D_{f} est l’opérateur de L^{∞}(B) dans L_{0}^{∞} défini par

\{ \begin{matrix}D_{f}(h) = K_{f}(h) − ν_{f}(ξ)h, \\ K_{f}(h) = ∫_{B} s_{f}(ξ, ξ_{∗})h(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}), \\ ν_{f}(ξ) = ∫_{B} s_{f}(ξ_{∗}, ξ) dμ(ξ_{∗}). \end{matrix}  (5)

Le noyau s_{f}, dépendant de la fonction f, est donné par

s_{f}(ξ, ξ_{∗}) = σ(ξ, ξ_{∗})(1 − f(ξ)) + σ(ξ_{∗}, ξ)f(ξ).

Notons que pour 0 ≤ f ≤ 1, s_{f} n’est rien d’autre qu’un barycentre de σ(ξ, ξ_{∗}) et de σ(ξ_{∗}, ξ). On doit prouver que l’application \frac{∂Φ}{∂f} est inversible de L^{∞}(B) dans ℝ × L_{0}^{∞}. Soit (a, q) ∈ ℝ × L_{0}^{∞}(B). On doit montrer l’existence et l’unicité de h ∈ L^{∞}(B) vérifiant

( \begin{matrix}∫_{B} h dμ(ξ) \\ D_{f}(h) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a \\ q \end{matrix} ) .

Par linéarité et en utilisant (2) et (3), le problème consiste en fait à étudier l’inversibilité de D_{f} sur L_{0}^{∞}.

Lemme 1 Pour toute fonction f vérifiant 0 ≤ f ≤ 1, l’application D_{f} : L_{0}^{∞} ⟶ L_{0}^{∞} est inversible.

La preuve de ce résultat exploite l’énoncé suivant.

Lemme 2 Soit f vérifiant 0 ≤ f ≤ 1. Alors i) Il existe des constantes \overline{ν} ≥ \underline{ν} > 0 telles que, pour presque tout ξ ∈ B,

0 < \underline{ν} ≤ ν_{f}(ξ) ≤ \overline{ν} < ∞

(et \overline{ν} ne dépend pas de f).

ii) L’opérateur intégral

T_{f}g(ξ) = ∫_{B} t_{f}(ξ, ξ_{∗})g(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}), t_{f}(ξ, ξ_{∗}) = s_{f}(ξ, ξ_{∗})/ν_{f}(ξ_{∗})

est compact sur L^{∞}(B).

Preuve du Lemme 1. Soit g(ξ) = ν_{f}(ξ)h(ξ). L’équation D_{f}(h) = K_{f}(h) − ν_{f}h = q se réécrit (T_{f} − I)g = q où T_{f} est l’opérateur intégral du Lemme 2. On déduit donc du Lemme 2-ii) que Im(T_{f} − I) = [Ker(T_{f}^{∗} − I)]^{⊥} où

T_{f}^{∗}ϕ(ξ) = ∫_{B} t_{f}(ξ_{∗}, ξ)ϕ(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}) = ∫_{B} s_{f}(ξ_{∗}, ξ) (ν_{f}(ξ))^{−1} ϕ(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}).

De plus, grâce à (A1) et Lemme 2-ii), le théorème de Krein-Rutman (voir [16], Th. 6.6) s’applique à T_{f}^{∗} : le rayon spectral r est valeur propre > 0, associée à une fonction propre > 0, le sous-espace propre associé est de dimension 1 et toute autre valeur propre est de module < r. Comme (5) donne T_{f}^{∗}(1) = 1, on obtient

Ker(T_{f}^{∗} − I) = ℝ, Im(T_{f} − I) = L_{0}^{∞}.

Ceci prouve, pour q ∈ L_{0}^{∞}, l’existence d’une solution g ∈ L^{∞}(B) (respectivement, avec Lemme 2-i), h ∈ L^{∞}(B)) de (T_{f} − I)g = q (respectivement D_{f}h = q).

Le théorème de Krein-Rutman assure aussi que le noyau de T_{f} − I est de dimension 1 et est engendré par une fonction propre normalisée G_{f} > 0. Les solutions g ∈ L^{∞}(B) de (T_{f} − I)g = q s’écrivent donc g = g_{0} + αG_{f}, α ∈ ℝ, et la condition h = g/ν_{f} ∈ L_{0}^{∞} entraîne l’unicité puisque ∫_{B} G_{f}/ν_{f} dμ(ξ) ≠ 0. L’opérateur D_{f} est donc inversible sur L_{0}^{∞}.

Preuve du Lemme 2. Pour f = 0, en utilisant (A1-A3), on a

0 < \underline{σ} \overline{Σ}(B) ≤ \underline{Σ}_{∗}(B) ≤ ν_{0}(ξ) ≤ \overline{σ}.

Un raisonnement analogue s’applique pour f = 1.

Soit 0 ≤ f ≤ 1, avec f ≠ 0, f ≠ 1. Alors, il existe δ > 0 et un mesurable A_{δ} ⊂ B tels que f(ξ_{∗}) ≥ δ sur A_{δ} et mes(A_{δ}) > 0. Il vient donc

2\overline{σ} ≥ ν_{f}(ξ) ≥ δ \underline{Σ}(A_{δ}) > 0,

toujours en exploitant (A1-A3). Ceci justifie la partie i) de l’énoncé.

Soit φ ∈ L^{∞}(B) (qui représente f ou 1 − f). On va montrer que l’opérateur intégral de noyau σ(ξ, ξ_{∗})φ(ξ)(ν_{f}(ξ_{∗}))^{−1} est compact sur L^{∞}(B). D’après la caractérisation de Eveson [8], ceci revient à établir que l’ensemble

\{\frac{σ(ξ, ξ_{∗})φ(ξ)}{ν_{f}(ξ_{∗})}, ξ ∈ B\N\},

où N ⊂ B est un négligeable, est relativement compact dans L^{1}(B). Un raisonnement analogue s’applique bien sûr pour l’opérateur de noyau σ(ξ_{∗}, ξ)φ(ξ)(ν_{f}(ξ_{∗}))^{−1}. Soit h ∈ ℝ^{N}. En prolongeant les fonctions par 0 en dehors de B, on a

∫_{ℝ^{N}} |\frac{σ(ξ, ξ_{∗} + h)φ(ξ)}{ν_{f}(ξ_{∗} + h)} − \frac{σ(ξ, ξ_{∗})φ(ξ)}{ν_{f}(ξ_{∗})}| dμ(ξ_{∗})

≤ ∥φ∥_{∞} ∫_{ℝ^{N}} |\frac{σ(ξ, ξ_{∗} + h)ν_{f}(ξ_{∗}) − σ(ξ, ξ_{∗})ν_{f}(ξ_{∗} + h)}{ν_{f}(ξ_{∗} + h) ν_{f}(ξ_{∗})}| dμ(ξ_{∗})

≤ \frac{∥φ∥_{∞}}{\underline{ν}^{2}} (I(ξ, h) + J(ξ, h))

où \underline{ν} est le minorant de ν_{f}(ξ) obtenu en i) et on a posé

\begin{matrix}I(ξ, h) = ∫_{ℝ^{N}} |σ(ξ, ξ_{∗} + h) − σ(ξ, ξ_{∗})| ν_{f}(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}), \\ J(ξ, h) = ∫_{ℝ^{N}} σ(ξ, ξ_{∗}) |ν_{f}(ξ_{∗} + h) − ν_{f}(ξ_{∗})| dμ(ξ_{∗}). \end{matrix}

Soit ε > 0. On va montrer qu’il existe η_{ε} > 0 tel que si |h| ≤ η_{ε} alors pour presque tout ξ ∈ B, I(ξ, h) ≤ ε et J(ξ, h) ≤ ε. La majoration de I est une conséquence directe de (4) car

sup_{ξ∈B} I(ξ, h) ≤ \overline{ν} sup_{ξ∈B} ∫_{ℝ^{N}} |σ(ξ, ξ_{∗} + h) − σ(ξ, ξ_{∗})| dμ(ξ_{∗}) ⟶_{|h|→0} 0.

Pour traiter J, on introduit l’ensemble E_{M}(ξ) = {ξ_{∗} ∈ ℝ^{N}, σ(ξ, ξ_{∗}) ≥ M} pour M ≥ 0. On note F_{M}(ξ) = ∁(E_{M}(ξ)) et on décompose

J(ξ, h) = ∫_{E_{M} (ξ)} ... dμ(ξ_{∗}) + ∫_{F_{M} (ξ)} ... dμ(ξ_{∗}) = K(ξ, h, M) + L(ξ, h, M).

On majore l’intégrale sur E_{M}(ξ) par

K(ξ, h, M) ≤ 2\overline{ν} ∫_{E_{M} (ξ)} σ(ξ, ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}).

L’hypothèse de compacité (A4) garantit en particulier que le critère d’équi-intégrabilité

sup_{ξ∈B} ∫_{E_{M} (ξ)} σ(ξ, ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}) ⟶_{M→∞} 0

est satisfait. Il est donc loisible de choisir M = M_{ε} assez grand pour que sup_{ξ,h} K(ξ, h, M) < ε/2. Il ne reste qu’à étudier l’intégrale sur F_{M}(ξ). Par définition de ν_{f}, avec 0 ≤ f ≤ 1, il vient

|ν_{f}(ξ_{∗} + h) − ν_{f}(ξ_{∗})|
= |∫_{B} {(σ(ξ′, ξ_{∗} + h) − σ(ξ′, ξ_{∗})) (1 − f(ξ′)) + (σ(ξ_{∗} + h, ξ′) − σ(ξ_{∗}, ξ′)) f(ξ′)} dμ(ξ′)|
≤ ∫_{B} |σ(ξ′, ξ_{∗} + h) − σ(ξ′, ξ_{∗})| dμ(ξ′) + ∫_{B} |σ(ξ_{∗} + h, ξ′) − σ(ξ_{∗}, ξ′)| dμ(ξ′).

Ainsi on obtient

L(ξ, h, M) ≤ ∫_{F_{M} (ξ)} ∫_{B} σ(ξ, ξ_{∗}) |σ(ξ′, ξ_{∗} + h) − σ(ξ′, ξ_{∗})| dμ(ξ′) dμ(ξ_{∗})

+ ∫_{F_{M} (ξ)} ∫_{B} σ(ξ, ξ_{∗}) |σ(ξ_{∗} + h, ξ′) − σ(ξ_{∗}, ξ′)| dμ(ξ′) dμ(ξ_{∗})

≤ M ∫_{B} dμ(ξ′)

× ( sup_{ξ′∈B} ∫_{ℝ^{N}} |σ(ξ′, ξ_{∗} + h) − σ(ξ′, ξ_{∗})| dμ(ξ_{∗}) + sup_{ξ′∈B} ∫_{ℝ^{N}} |σ(ξ_{∗} + h, ξ′) − σ(ξ_{∗}, ξ′)| dμ(ξ_{∗})) .

D’après (4), on peut exhiber η = η_{ε} tel que, pour |h| ≤ η_{ε}, cette quantité peut être rendue < ε/2, uniformément en ξ ∈ B. Ceci achève la preuve de ii).

En particulier, le Lemme 1 s’applique avec la function identiquement nulle f(ξ) = 0 (et aussi bien sûr avec f(ξ) = 1). Alors, le théorème des fonctions implicites jusitifie l’existence d’une application ρ ⟼ F_{ρ}, qui est de classe C^{1} sur un certain intervalle ] − ρ_{0}, ρ_{0}[, à valeurs dans L^{∞}(B), et telle que F_{ρ} satisfait

∫_{B} F_{ρ} dμ = ρ,  Q(F_{ρ}) = 0.  (6)

Il reste à montrer que cette fonction F_{ρ} vérifie bien 0 ≤ F_{ρ} ≤ 1, au moins pour les ρ ≥ 0 “assez petits”, puis, alors, qu’on peut prolonger cette fonction pour tous les ρ ∈ [0, 1]. Pour atteindre ces objectifs, on va exploiter les remarques suivantes.

Remarque 2 En dérivant (6) par rapport à ρ, on est conduit aux relations remarquables suivantes

∫_{B} F′_{ρ} dμ = 1  et  D_{F_{ρ}}(F′_{ρ}) = 0,

où F′_{ρ} = \frac{∂F_{ρ}}{∂ρ}. Ainsi, la fonction F′_{ρ}(ξ) est fonction propre normalisée de l’opérateur D_{F_{ρ}}. Les arguments de la preuve du Lemme 1, permettent d’en déduire que F′_{ρ}(ξ) > 0 pour presque tout ξ ∈ B, tant que 0 ≤ F_{ρ} ≤ 1.

Remarque 3 On introduit le potentiel chimique associé à une fonction F

Π(F) = \frac{1 − F}{F} .

Alors, la relation Q(F) = 0 conduit à

Π(F)(ξ) = \frac{∫_{B} σ(ξ_{∗}, ξ)(1 − F (ξ_{∗})) dμ(ξ_{∗})}{∫_{B} σ(ξ, ξ_{∗})F (ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗})}.  (7)

On peut maintenant compléter la preuve du Théorème 1. Par continuité de ρ ⟼ F_{ρ} à valeurs dans L^{∞}(B), avec F_{0} = 0, on a bien |F_{ρ}(ξ)| < 1 pour ρ assez petit. De plus, ρ ⟼ F_{ρ} étant C^{1}, on a F_{ρ}(ξ) = ρ(F′_{0}(ξ) + ε(ρ, ξ)), avec lim_{ρ→0} ∥ε(ρ, ·)∥_{∞} = 0. Si on parvient à montrer qu’il existe δ_{0} > 0 tel que F′_{0}(ξ) ≥ δ_{0} presque partout sur B, alors on pourra en déduire que F_{ρ}(ξ) ≥ ρδ_{0}/2 > 0 pour ρ > 0 assez petit.

Or, par définition, F′_{0} > 0 vérifie (voir la preuve du Lemme 1)

K_{0}(F′_{0})(ξ) = ν_{0}(ξ)F′_{0}(ξ) = ∫_{B} σ(ξ, ξ_{∗})F′_{0}(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}) = ∫_{B} σ(ξ_{∗}, ξ) dμ(ξ_{∗}) F′_{0}(ξ).

Supposons que pour tout δ > 0, il existe un mesurable A_{δ} ⊂ B tel que μ(A_{δ}) > 0 et 0 < F′_{0}(ξ) ≤ δ sur A_{δ}. Alors, pour ξ ∈ A_{δ}, on a

∫_{B} σ(ξ, ξ_{∗})F′_{0}(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}) ≤ δ ∫_{B} σ(ξ_{∗}, ξ) dμ(ξ_{∗}).

Intégrant cette relation sur A_{δ}, on obtient, puisque ∫_{B} F′_{0} dμ = 1,

\underline{Σ}_{∗}(A_{δ}) ≤ ∫_{B} (∫_{A_{δ}} σ(ξ, ξ_{∗}) dμ(ξ)) F′_{0}(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}) ≤ δ ∫_{B} (∫_{A_{δ}} σ(ξ_{∗}, ξ) dμ(ξ)) dμ(ξ_{∗}) ≤ δ\overline{Σ}(A_{δ}).

On est ainsi conduit à une contradiction avec (A3).

On construit ainsi, pour ρ ≥ 0 dans un voisinage de 0, F_{ρ} ∈ L^{∞}(B) résolvant (6) et vérifiant 0 ≤ F_{ρ} ≤ 1. On note aussi que ρ ⟼ F_{ρ}(ξ) est croissante (et est minoré par une constante strictement positive pour ρ > 0). De plus, tant que 0 ≤ F_{ρ} ≤ 1, on peut appliquer le théorème des fonctions implicites et prolonger l’application ρ ⟼ F_{ρ}. Soit ρ_{0} ∈ (0, 1] tel que [0, ρ_{0}] soit l’intervalle maximal sur lequel cette fonction F_{ρ} reste encadrée par 0 et 1. Pour achever la preuve, on va utiliser l’argument suivant.

Lemme 3 Si 0 ≤ F_{ρ} ≤ 1 et ρ ≠ 1, alors il existe δ > 0 tel que F_{ρ} ≤ 1 − δ presque partout sur B.

Avant de démontrer ce lemme, terminons la preuve du Théorème 1. Comme 0 ≤ F_{ρ_{0}} ≤ 1, l’opérateur D_{F_{ρ_{0}}} est inversible. On peut donc prolonger l’application ρ ⟼ F_{ρ} sur un intervalle [0, ρ_{1}) pour un certain ρ_{1} > ρ_{0}. Supposons ρ_{0} ≠ 1. La fonction ρ ⟼ Π(F_{ρ}) est C^{0}((0, ρ_{1}]; L^{∞}(B)) (et décroissante). En utilisant le Lemme 3, on vérifie que Π(F_{ρ_{0}}) ≥ \frac{δ}{1−δ} > 0. Alors, par continuité par rapport à ρ, le potentiel chimique Π(F_{ρ}) reste positif sur un intervalle ρ ∈ [ρ_{0}, ρ′_{1}], ρ_{0} < ρ′_{1} ≤ ρ_{1}. Comme F_{ρ} ≥ 0, on a donc encore F_{ρ} ≤ 1 pour ρ ∈ [0, ρ′_{1}), où ρ′_{1} > ρ_{0}, ce qui contredit la définition de ρ_{0}. On en conclut que ρ_{0} = 1 et la preuve du Théorème 1 est maintenant complète.

Preuve du Lemme 3. Supposons que pour tout δ > 0, il existe un mesurable A(δ) ⊂ B tel que mes(A(δ)) > 0 et F_{ρ}(ξ) ≥ 1 − δ pour tout ξ ∈ A(δ). Alors le terme de gauche dans (7) conduit à 0 ≤ Π(F_{ρ})(ξ) ≤ \frac{δ}{1−δ} pour ξ ∈ A(δ). Par ailleurs, en exploitant le terme de droite de (7), on obtient

0 ≤ ∫_{B} σ(ξ_{∗}, ξ)(1 − F_{ρ}(ξ_{∗})) dμ(ξ_{∗}) ≤ \frac{δ}{1 − δ} ∫_{B} σ(ξ, ξ_{∗})F_{ρ}(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}),

toujours pour ξ ∈ A(δ). Intégrons cette relation sur A(δ). Il vient

0 ≤ \underline{Σ}_{∗}(A(δ))(1 − ρ) ≤ ∫_{B} (∫_{A(δ)} σ(ξ_{∗}, ξ) dμ(ξ)) (1 − F_{ρ})(ξ_{∗})) dμ(ξ_{∗})

≤ \frac{δ}{1 − δ} ∫_{B} (∫_{A(δ)} σ(ξ, ξ_{∗}) dμ(ξ)) F_{ρ}(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗})
≤ \frac{δ}{1 − δ} \overline{Σ}(A(δ)) ρ.

Or, on suppose mes(A(δ)) > 0 ; donc l’hypothèse (A2) conduit à

0 ≤ \underline{σ}(1 − ρ) ≤ \frac{δρ}{1 − δ} .

En faisant tendre δ vers zero, on obtient ρ = 1 ce qui conclut la preuve.

3 Théorème H

On peut encore écrire Q(f) = L_{f}(f) où L_{f} est un opérateur de Boltzmann linéaire dont les coefficients dépendent de la densité f,

\{ \begin{matrix}L_{f}(g)(ξ) = ∫_{B} σ_{f}(ξ, ξ_{∗})g(ξ_{∗}) dμ(ξ_{∗}) − Λ_{f}(ξ)g(ξ), \\ σ_{f}(ξ, ξ_{∗}) = σ(ξ, ξ_{∗})(1 − f(ξ)),  Λ_{f}(ξ) = ∫_{B} σ(ξ_{∗}, ξ)(1 − f(ξ_{∗})) dμ(ξ_{∗}). \end{matrix}

Supposons σ bornée. Si 0 ≤ f < 1 presque partout, en raisonnant comme dans la section précédente avec le théorème de Krein-Rutman, on montre que Ker(L_{f}) = Vect(M_{f}), où M_{f} > 0. Lorsque f = F est un état d’équilibre, on a Q(F) = 0 = L_{F} (F) donc F ∈ Ker(L_{F}) = Vect{M_{F} } ce qui donne F = C^{ste}M_{F} : si M_{F} est normalisé, cette constante n’est rien d’autre que la masse ρ. Alors, en suivant les arguments développés dans [6], on obtient la propriété de dissipation suivante.

Proposition 1 On suppose σ bornée. Si f ∈ L^{∞}(B), 0 ≤ f < 1, est telle que f^{2}/M_{f} ∈ L^{1}(B), alors Q(f)f/M_{f} est intégrable et on a

\begin{matrix}− ∫_{B} Q(f)f/M_{f} dμ(ξ) = ∫_{B} ∫_{B} Σ_{f}(ξ, ξ_{∗})((f/M_{f})(ξ) − (f/M_{f})(ξ_{∗}))^{2} dμ(ξ_{∗}) dμ(ξ) \\ ≥ \frac{1}{2} ∫_{B} L_{f}^{2}(f)/(Λ_{f}M_{f}) dμ(ξ) ≥ 0, \end{matrix}

où on a noté Σ_{f}(ξ, ξ_{∗}) = \frac{1}{2} σ_{f}(ξ, ξ_{∗})M_{f}(ξ_{∗}) > 0 De plus cette intégrale ne s’annule que lorsque f est un état d’équilibre.

Remerciements. De fructueuses discussions avec A. Mellet et F. Poupaud sont à l’origine de la rédaction de ce résultat.

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Thierry Goudon Labo. J.A. Dieudonné, UMR 6621 Université Nice-Sophia Antipolis, Parc Valrose F-06108 Nice cedex 02

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