Méthodes mathématiques pour les neurosciences

Mathematical Methods for Neurosciences

ENS - Master MVA (2009-2010)

Olivier Faugeras

Gregory Faye, Mathieu Galtier, Geoffroy Hermann

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Articles à lire pour le contrôle des connaissances.

Presentation du cours

Nous présentons dans ce cours quelques outils mathématiques qui interviennent de manière systématique dans de nombreux problèmes de modélisation en neurosciences. Les prérequis sont une bonne connaissance du calcul différentiel et du calcul des probabilités dans le cadre de la théorie de la mesure. Sans trahir la rigueur mathématique, le cours s'efforcera de mettre en valeur l'applicabilité aux neurosciences des concepts présentés. Le cours sera complété par des séances d'exercices.

We present a number of mathematical tools that are central to modeling in neuroscience. The prerequisites to the course are a good knowledge of differential calculus and probability theory from the viewpoint of measure theory. The thrust of the lectures is to show the applicability to neuroscience of the mathematical concepts without giving up mathematical rigor. The concepts presented in the lectures will be illustrated by exercise sessions.

Electrophysiologie des neurones : modèles à conductances et leurs réductions, modèles intègre et tire.
Electrophysiology of neurons: conductance models and their reductions, integrate and fire models.
Introduction aux systèmes dynamiques : orbites et portraits de phases, variétés invariantes, équivalence de systèmes dynamiques, classification topologique des équilibres, bifurcations et leurs formes normales topologiques, stabilité structurelle.
Introduction to dynamic systems: orbits and phase portraits, invariant manifolds, equivalence of dynamic systems, topological classification of equilibria, bifurcations and their topological normal forms, structural stability.
Bifurcations : déploiement universel et codimension, le pli, la bifurcation de Hopf, la bifurcation pli d'un cycle limite, la bifurcation de Bogdanov-Takens, la bifurcation de Bautin, la fronce.
Bifurcations: universal unfolding and codimension, the fold, Andronov-Hopf bifurcation, fold bifurcation of limit cycles, Bogdanov-Takens bifurcation, the Bautin bifurcation, the cusp.
Application à l'excitabilité neuronale : neurones de classes 1, 2 et 3, neurones intégrateurs et neurones résonateurs, modulation lente.
Application to neuronal excitability: classes1, 2 and 3 of neurons, integrators versus resonators, slow modulation.
Le bruit blanc et le mouvement brownien : construction du mouvement brownien, régularité des trajectoires, propriété de Markov. Application à la modélisation du bruit synaptique.
White noise and Brownian motion: construction of the Brownian motion, regularity of the trajectories, Markov property. Application to synaptic noise modeling.
Intégrale stochastique : l'intégrale d'Itô, la formule d'Itô.
The stochastic integral: Itô integral, Itô's formula.
Equations différentielles stochastiques : définitions, existence et unicité de la solution, équations linéaires. Application aux modèles de neurones intègre et tire.
Stochastic differential equations: definitions, existence and uniqueness of the solution, linear equations. Application to integrate and fire models.
Compléments : temps d'arrêts et formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck. Application à la description de l'évolution du potentiel de membrane neuronal et des statistiques de trains d'impulsions nerveuses.
Complements: stopping times and Feynman-Kac formulae, Fokker-Planck equation. Application to the time evolution of the membrane potential and the statisctics of spike trains.

Bibliographie sommaire :
A few references:

Wulfram Gerstner et W. Kistler, Spiking neuron models, Cambridge University Press, 2002.
Yuri A. Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory.
Eugène Izhikevich, Dynamical systems in neuroscience: the geometry of excitability and bursting, MIT Press, 2006.
Jean-Pierre Françoise, Oscillations en biologie, Springer, 2000.
Lawrence C. Evans, An introduction to stochastic differential equations, http://math.berkeley.edu/~evans/SDE.course.pdf
Jean-François Le Gall, Mouvement brownien et calcul stochastique, http://www.dma.ens.fr/~legall/DEA96.pdf

Date et lieu des cours et des TPs :
When and where:

Les cours et les TPs ont lieu à l'Ecole Normale Supérieure, 45 rue d'Ulm, Paris Vème, salle W.
Lectures and problem sessions will be given at Ecole Normale Supérieure, 45 rue d'Ulm, Paris Vème, salle W.

14/10 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
21/10 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
28/10 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
4/11 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
18/11 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
25/11 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
2/12 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
9/12 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45

Leçon 1 : Activité électrique des neurones
                Electrical activity of neurons

                 Equations différentielles ordinaires
                Ordinary differential equations

TD1 and answers to TD1
Problems session 1

Leçon 2 : Introduction aux systèmes dynamiques
Introduction to dynamical systems

Equivalence topologique, bifurcations
Topological equivalence, bifurcations

TD2 and answers to TD2

Leçon 3 :
                Bifurcations d'équilibres continus
                Bifurcations d'équilibres discrets
                Théorèmes de la variété centrale
                Bifurcations de codimension 2

TD3 et corrigé

Leçon 4 :

Exemples de bifurcations dans des modèles de neurones
Excitabilité neuronale

Leçon 5 :
Rappels de probabilités
Mouvement brownien

TD5 et corrigé

Leçon 6 :
Intégrale stochastique, formule d'Itô

TD6 et corrigé pages 1, 2, 3 et 4