Expected Cost
|
+- [f]
|    0
|
+- [Program]
|    x1 :~ {1 : n}
|    0:While(x1 ≥ 1)
|        r :~ {1/4 : -2;1/4 : -1;1/4 : 0;1/4 : 1}
|        x1 :~ {1 : r + x1}
|        Tick(1)
|        x2 :~ {1 : n}
|        1:While(x2 ≥ 1)
|            r :~ {1/4 : -2;1/4 : -1;1/4 : 0;1/4 : 1}
|            x2 :~ {1 : r + x2}
|            Tick(1)
|            x3 :~ {1 : n}
|            2:While(x3 ≥ 1)
|                r :~ {1/4 : -2;1/4 : -1;1/4 : 0;1/4 : 1}
|                x3 :~ {1 : r + x3}
|                Tick(1)
|
+- While.step
|  |
|  +- [Problem]
|  |    0:While(x1 ≥ 1)
|  |        r :~ {1/4 : -2;1/4 : -1;1/4 : 0;1/4 : 1}
|  |        x1 :~ {1 : r + x1}
|  |        Tick(1)
|  |        x2 :~ {1 : n}
|  |        1:While(x2 ≥ 1)
|  |            r :~ {1/4 : -2;1/4 : -1;1/4 : 0;1/4 : 1}
|  |            x2 :~ {1 : r + x2}
|  |            Tick(1)
|  |            x3 :~ {1 : n}
|  |            2:While(x3 ≥ 1)
|  |                r :~ {1/4 : -2;1/4 : -1;1/4 : 0;1/4 : 1}
|  |                x3 :~ {1 : r + x3}
|  |                Tick(1)
|  |
|  +- [f]
|  |    0
|  |
|  +- Expected Cost Body
|  |  |
|  |  +- While.step
|  |  |  |
|  |  |  +- [Problem]
|  |  |  |    1:While(x2 ≥ 1)
|  |  |  |        r :~ {1/4 : -2;1/4 : -1;1/4 : 0;1/4 : 1}
|  |  |  |        x2 :~ {1 : r + x2}
|  |  |  |        Tick(1)
|  |  |  |        x3 :~ {1 : n}
|  |  |  |        2:While(x3 ≥ 1)
|  |  |  |            r :~ {1/4 : -2;1/4 : -1;1/4 : 0;1/4 : 1}
|  |  |  |            x3 :~ {1 : r + x3}
|  |  |  |            Tick(1)
|  |  |  |
|  |  |  +- [f]
|  |  |  |    0
|  |  |  |
|  |  |  +- Expected Cost Body
|  |  |  |  |
|  |  |  |  +- While.step
|  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  +- [Problem]
|  |  |  |  |  |    2:While(x3 ≥ 1)
|  |  |  |  |  |        r :~ {1/4 : -2;1/4 : -1;1/4 : 0;1/4 : 1}
|  |  |  |  |  |        x3 :~ {1 : r + x3}
|  |  |  |  |  |        Tick(1)
|  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  +- [f]
|  |  |  |  |  |    0
|  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  +- Expected Cost Body
|  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  `- [1 | ⊤]
|  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  +- linear-template
|  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  `- 1 + [x3 | x3 ≥ 0]
|  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  +- [Norms]
|  |  |  |  |  |    [[1 | ⊤],[x3 | x3 ≥ 0]]
|  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  +- [Invariant]
|  |  |  |  |  |    x3 ≥ 1 ==> [1 | ⊤] + h([1 | ⊤],1/4·[-2 + x3 | -2 + x3 ≥ 0] + 1/4·[-1 + x3 | -1 + x3 ≥ 0] + 1/4·[x3 | x3 ≥ 0] + 1/4·[1 + x3 | 1 + x3 ≥ 0]) ≼ h([1 | ⊤],[x3 | x3 ≥ 0])
|  |  |  |  |  |    1 ≥ 1 + x3 ==> 0 ≼ h([1 | ⊤],[x3 | x3 ≥ 0])
|  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  `- 4·[x3 | x3 ≥ 0]
|  |  |  |  |
|  |  |  |  `- 1/4 + [n | n ≥ 0] + 1/4 + [n | n ≥ 0] + 1/4 + [n | n ≥ 0] + 1/4 + [n | n ≥ 0]
|  |  |  |
|  |  |  +- mixed-lin-template
|  |  |  |  |
|  |  |  |  `- 1 + 4·([n | n ≥ 0]) + 4·([n | n ≥ 0]·[x2 | x2 ≥ 0]) + 2·([x2 | x2 ≥ 0]) + [x2 | x2 ≥ 0]^2
|  |  |  |
|  |  |  +- [Norms]
|  |  |  |    [[1 | ⊤],[n | n ≥ 0],[n·x2 | n ≥ 0 ∧  x2 ≥ 0],[x2 | x2 ≥ 0],[x2^2 | x2 ≥ 0]]
|  |  |  |
|  |  |  +- [Invariant]
|  |  |  |    x2 ≥ 1 ==> 1/4 + [n | n ≥ 0] + 1/4 + [n | n ≥ 0] + 1/4 + [n | n ≥ 0] + 1/4 + [n | n ≥ 0] + h([1 | ⊤],[n | n ≥ 0],1/4·[-2·(n) + n·x2 | -2 + x2 ≥ 0 ∧  n ≥ 0] + 1/4·[-n + n·x2 | -1 + x2 ≥ 0 ∧  n ≥ 0] + 1/4·[n·x2 | n ≥ 0 ∧  x2 ≥ 0] + 1/4·[n + n·x2 | 1 + x2 ≥ 0 ∧  n ≥ 0],1/4·[-2 + x2 | -2 + x2 ≥ 0] + 1/4·[-1 + x2 | -1 + x2 ≥ 0] + 1/4·[x2 | x2 ≥ 0] + 1/4·[1 + x2 | 1 + x2 ≥ 0],1/4·[4 + -4·(x2) + x2^2 | -2 + x2 ≥ 0] + 1/4·[1 + -2·(x2) + x2^2 | -1 + x2 ≥ 0] + 1/4·[x2^2 | x2 ≥ 0] + 1/4·[1 + 2·(x2) + x2^2 | 1 + x2 ≥ 0]) ≼ h([1 | ⊤],[n | n ≥ 0],[n·x2 | n ≥ 0 ∧  x2 ≥ 0],[x2 | x2 ≥ 0],[x2^2 | x2 ≥ 0])
|  |  |  |    1 ≥ 1 + x2 ==> 0 ≼ h([1 | ⊤],[n | n ≥ 0],[n·x2 | n ≥ 0 ∧  x2 ≥ 0],[x2 | x2 ≥ 0],[x2^2 | x2 ≥ 0])
|  |  |  |
|  |  |  `- 16·[n·x2 | n ≥ 0 ∧  x2 ≥ 0] + 4·[x2 | x2 ≥ 0]
|  |  |
|  |  `- 1/4 + 4·[n^2 | n ≥ 0] + [n | n ≥ 0] + 1/4 + 4·[n^2 | n ≥ 0] + [n | n ≥ 0] + 1/4 + 4·[n^2 | n ≥ 0] + [n | n ≥ 0] + 1/4 + 4·[n^2 | n ≥ 0] + [n | n ≥ 0]
|  |
|  +- square-shift-max-template
|  |  |
|  |  `- 2 + [2 + x1 | 2 + x1 ≥ 0] + 12·([n | n ≥ 0]) + 32·([n | n ≥ 0]·[n^2 | n ≥ 0]) + 8·([n | n ≥ 0]·[x1 | x1 ≥ 0]) + 16·([n | n ≥ 0]^2) + 8·([n^2 | n ≥ 0]) + 8·([n^2 | n ≥ 0]·[x1 | x1 ≥ 0]) + 16·([n^2 | n ≥ 0]^2) + 4·([n^2 | n^2 ≥ 0]) + 2·([x1 | x1 ≥ 0]) + [x1 | x1 ≥ 0]^2
|  |
|  +- [Norms]
|  |    [[1 | ⊤],[2 + x1 | 2 + x1 ≥ 0],[n | n ≥ 0],[n^3 | n ≥ 0],[n·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0],[n^2 | n ≥ 0],[n^2·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0],[n^4 | n ≥ 0],[n^2 | n^2 ≥ 0],[x1 | x1 ≥ 0],[x1^2 | x1 ≥ 0]]
|  |
|  +- [Invariant]
|  |    x1 ≥ 1 ==> 1/4 + 4·[n^2 | n ≥ 0] + [n | n ≥ 0] + 1/4 + 4·[n^2 | n ≥ 0] + [n | n ≥ 0] + 1/4 + 4·[n^2 | n ≥ 0] + [n | n ≥ 0] + 1/4 + 4·[n^2 | n ≥ 0] + [n | n ≥ 0] + h([1 | ⊤],1/4·[x1 | x1 ≥ 0] + 1/4·[1 + x1 | 1 + x1 ≥ 0] + 1/4·[2 + x1 | 2 + x1 ≥ 0] + 1/4·[3 + x1 | 3 + x1 ≥ 0],[n | n ≥ 0],[n^3 | n ≥ 0],1/4·[-2·(n) + n·x1 | -2 + x1 ≥ 0 ∧  n ≥ 0] + 1/4·[-n + n·x1 | -1 + x1 ≥ 0 ∧  n ≥ 0] + 1/4·[n·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0] + 1/4·[n + n·x1 | 1 + x1 ≥ 0 ∧  n ≥ 0],[n^2 | n ≥ 0],1/4·[-2·(n^2) + n^2·x1 | -2 + x1 ≥ 0 ∧  n ≥ 0] + 1/4·[-n^2 + n^2·x1 | -1 + x1 ≥ 0 ∧  n ≥ 0] + 1/4·[n^2·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0] + 1/4·[n^2 + n^2·x1 | 1 + x1 ≥ 0 ∧  n ≥ 0],[n^4 | n ≥ 0],[n^2 | n^2 ≥ 0],1/4·[-2 + x1 | -2 + x1 ≥ 0] + 1/4·[-1 + x1 | -1 + x1 ≥ 0] + 1/4·[x1 | x1 ≥ 0] + 1/4·[1 + x1 | 1 + x1 ≥ 0],1/4·[4 + -4·(x1) + x1^2 | -2 + x1 ≥ 0] + 1/4·[1 + -2·(x1) + x1^2 | -1 + x1 ≥ 0] + 1/4·[x1^2 | x1 ≥ 0] + 1/4·[1 + 2·(x1) + x1^2 | 1 + x1 ≥ 0]) ≼ h([1 | ⊤],[2 + x1 | 2 + x1 ≥ 0],[n | n ≥ 0],[n^3 | n ≥ 0],[n·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0],[n^2 | n ≥ 0],[n^2·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0],[n^4 | n ≥ 0],[n^2 | n^2 ≥ 0],[x1 | x1 ≥ 0],[x1^2 | x1 ≥ 0])
|  |    1 ≥ 1 + x1 ==> 0 ≼ h([1 | ⊤],[2 + x1 | 2 + x1 ≥ 0],[n | n ≥ 0],[n^3 | n ≥ 0],[n·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0],[n^2 | n ≥ 0],[n^2·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0],[n^4 | n ≥ 0],[n^2 | n^2 ≥ 0],[x1 | x1 ≥ 0],[x1^2 | x1 ≥ 0])
|  |
|  `- 2·[2 + x1 | 2 + x1 ≥ 0] + 16·[n·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0] + 64·[n^2·x1 | n ≥ 0 ∧  x1 ≥ 0]
|
`- 2·[2 + n | 2 + n ≥ 0] + 16·[n^2 | n ≥ 0] + 64·[n^3 | n ≥ 0]