Processus stochastiques en temps continu pour la modélisation en écologie

Ce cours du Master de BioStatistique (Universités de Montpellier II & I, et SupAgro Montpellier) a été donné de 2009 à 2015. De 2009 à 2012, il a été donné en collaboration avec Marc Joannides (Université de Montpellier II). Ce cours vise à introduire quelques outils des processus stochastiques en temps continu pour la modélisation en biologie et en écologie notamment en dynamique des populations hormis les modèles d’évolution qui ne seront pas traité ici.

 

Le support de cours

Support de cours ici.
Rappels de probabilités ici.
Sources R tp sous R.
Quelques exercices.
Enoncés des examens des années précédentes: 2010, 2011, 2012

 

Mini-projet

Ce mini-projet se fera par binômes, il tournera autour du modèle de Lotka-Volterra:

  • comprendre le modèle et le décrire.
  • simuler en R le modèle de Lotka-Volterra sous forme du système d’équations différentielles : avec le schéma par défaut mais aussi avec le schéma d’Euler (voir cours), commenter.
  • écrire/commenter le modèle sous forme de processus de naissance et mort, le simuler sous R à l’aide de l’algorithme de Gillespie : dans le cours cette démarche est décrite avec un seul paramètre de changement d’échelle (commun aux proies et aux prédateurs), il faut refaire le même travail avec des paramètres de changement d’échelle différents (1 pour les proies et 1 pour les prédateurs). Pour cela vous pouvez vous inspirer sur ce qui est fait dans le cours pour le chémostat (où il y a plusieurs paramètres d’échelle).
  • On peut donc proposer plusieurs asymptotiques : soit l’approximation diffusion sur les deux composantes (EDS pour les proies et les prédateurs), soit une EDO pour les proies et une EDS pour les prédateurs, soit – mais c’est plus compliqué à simuler – une EDO pour les proies et un processus de naissance et mort pour les prédateurs.
  • simuler le modèle d’équations différentielles stochastiques à l’aide du schéma d’Euler-Maruyama
  • analyser les différences entre le modèle déterministe et les modèles stochastiques, notamment en terme d’extinction.

Chaque binôme rendra soit un rapport soit une série de transparents et fera un exposé de 40 minutes (chaque membre du binôme fera une partie de l’exposé).

 

Séances 2014/2015 (UM2 – salle TD 9.01)

  • séance 1: jeudi 4 décembre 2014 / 13:15- 16:30
  • séance 2: mercredi 10 décembre 2014, 8:00-11:15
  • séance 3: mercredi 17 décembre 2014, 8:00-11:15
  • séance 4: mercredi 7 janvier 2015, 9:00-12:15
    • séance sur ordinateur : simuler des processus
  • séance 5: mercredi 14 janvier 2015, 9:00-12:15
  • séance 6: mercredi 21 janvier 2015, 9:00-12:15
  • séance 7: mercredi 28 janvier 2015, 9:00-12:15
  • examen: mercredi 11 février 2015, 9:00-11:30

 

Références

  • Allen, L. J. (2003). An Introduction to Stochastic Processes with Biology Applications. Prentice Hall.
  • Chafaï, D. and Malrieu, F. (2007). Modèles markoviens en biologie. Master 2 Recherche en Mathématiques Appliquées Universités de Rennes I et de Toulouse III. [voir site ici et pdf là]
  • Comets, F. and Meyre, T. (2006). Calcul stochastique et modèles de diffusions. Dunod.
  • Jacod, J. and Protter, P. (2003). L’essentiel en théorie des probabilités. Cassini.
  • Klebaner, F. C. (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press, 2nd edition.
  • Norris, J. R. (1998). Markov chains. Cambridge University Press.
  • culture générale: Fabien Campillo “Modélisation en dynamique des populations”, TDC 1062.

 

Quelques liens