Hyperbolic section
from P. Olver, Pick invariant, in preparation.
| fr > | Section:=[x=0,y=0,u[0,0]=0,u[1,0]=0,u[0,1]=0,u[1,1]=0,u[2,0]=1,u[0,2]=-1,u[0,3]=0,u[2,1]=0, u[1,2]=u[3,0]]:stair(Section); |
| fr > | C, Invariantizations :=dmf(LieAlg,Section, fr, [op(1..10,Section), u[3,0]=Pk,u[4,0]=e-3*c,u[3,1]=d,u[2,2]=c,u[1,3]=-12*Pk*S1-3*d,u[0,4]=12*Pk*S2-3*c],'COM'): |
"Section :"
![[u[0, 3] = 0, u[1, 2] = u[3, 0], u[2, 1] = 0, u[0, 2] = -1, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 1] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 0] = 0, y = 0, x = 0]](images/dmf_72.gif){kind=small}
![[u[0, 3] = 0, u[1, 2] = u[3, 0], u[2, 1] = 0, u[0, 2] = -1, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 1] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 0] = 0, y = 0, x = 0]](images/dmf_73.gif){kind=small}
"Transversality condition :" -u[3 0]
"Invariantizations:"
![x = 0, y = 0, u[0, 0] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 1] = 0, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 2] = -1, u[0, 3] = 0, u[2, 1] = 0, u[3, 0] = Pk, u[4, 0] = e-3*c, u[3, 1] = d, u[2, 2] = c, u[1, 3] = -12*Pk*S1-3*d,...](images/dmf_74.gif){kind=small}
![x = 0, y = 0, u[0, 0] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 1] = 0, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 2] = -1, u[0, 3] = 0, u[2, 1] = 0, u[3, 0] = Pk, u[4, 0] = e-3*c, u[3, 1] = d, u[2, 2] = c, u[1, 3] = -12*Pk*S1-3*d,...](images/dmf_75.gif){kind=small}
![x = 0, y = 0, u[0, 0] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 1] = 0, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 2] = -1, u[0, 3] = 0, u[2, 1] = 0, u[3, 0] = Pk, u[4, 0] = e-3*c, u[3, 1] = d, u[2, 2] = c, u[1, 3] = -12*Pk*S1-3*d,...](images/dmf_76.gif){kind=small}
"Commutation rules"
![[D1, D2] = -1/12*(3*u[3, 1]+u[1, 3])*D1/u[3, 0]-1/12*(-u[0, 4]-3*u[2, 2])*D2/u[3, 0]](images/dmf_77.gif)
"Syzygies"
![[-36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-9*Pk[0, 0]*d[0, 0]-4*d[0, 0]*S2[0, 0]-e[0, 0]*S1[0, 0]-e[0, 1]+3*c[0, 1]+d[1, 0], -S2[0, 0]*e[0, 0]-6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+4*d[0, 0]*S1[0, 0]+24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*...](images/dmf_78.gif){kind=small}
![[-36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-9*Pk[0, 0]*d[0, 0]-4*d[0, 0]*S2[0, 0]-e[0, 0]*S1[0, 0]-e[0, 1]+3*c[0, 1]+d[1, 0], -S2[0, 0]*e[0, 0]-6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+4*d[0, 0]*S1[0, 0]+24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*...](images/dmf_79.gif){kind=small}
![[-36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-9*Pk[0, 0]*d[0, 0]-4*d[0, 0]*S2[0, 0]-e[0, 0]*S1[0, 0]-e[0, 1]+3*c[0, 1]+d[1, 0], -S2[0, 0]*e[0, 0]-6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+4*d[0, 0]*S1[0, 0]+24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*...](images/dmf_80.gif){kind=small}
![[-36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-9*Pk[0, 0]*d[0, 0]-4*d[0, 0]*S2[0, 0]-e[0, 0]*S1[0, 0]-e[0, 1]+3*c[0, 1]+d[1, 0], -S2[0, 0]*e[0, 0]-6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+4*d[0, 0]*S1[0, 0]+24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*...](images/dmf_81.gif){kind=small}
![[-36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-9*Pk[0, 0]*d[0, 0]-4*d[0, 0]*S2[0, 0]-e[0, 0]*S1[0, 0]-e[0, 1]+3*c[0, 1]+d[1, 0], -S2[0, 0]*e[0, 0]-6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+4*d[0, 0]*S1[0, 0]+24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*...](images/dmf_82.gif){kind=small}
![[-36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-9*Pk[0, 0]*d[0, 0]-4*d[0, 0]*S2[0, 0]-e[0, 0]*S1[0, 0]-e[0, 1]+3*c[0, 1]+d[1, 0], -S2[0, 0]*e[0, 0]-6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+4*d[0, 0]*S1[0, 0]+24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*...](images/dmf_83.gif){kind=small}
![[-36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-9*Pk[0, 0]*d[0, 0]-4*d[0, 0]*S2[0, 0]-e[0, 0]*S1[0, 0]-e[0, 1]+3*c[0, 1]+d[1, 0], -S2[0, 0]*e[0, 0]-6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+4*d[0, 0]*S1[0, 0]+24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*...](images/dmf_84.gif){kind=small}
![[-36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-9*Pk[0, 0]*d[0, 0]-4*d[0, 0]*S2[0, 0]-e[0, 0]*S1[0, 0]-e[0, 1]+3*c[0, 1]+d[1, 0], -S2[0, 0]*e[0, 0]-6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+4*d[0, 0]*S1[0, 0]+24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*...](images/dmf_85.gif){kind=small}
"Syzygies with attempt to eliminate the y's"
![y0[0, 0] = -1/Pk[0, 0]](images/dmf_86.gif){kind=small}
![y1[0, 0] = Pk[0, 0]](images/dmf_87.gif){kind=small}
![d[1, 0] = 36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+9*Pk[0, 0]*d[0, 0]+4*d[0, 0]*S2[0, 0]+e[0, 0]*S1[0, 0]+e[0, 1]-3*c[0, 1]](images/dmf_88.gif){kind=small}
![d[1, 0] = 36*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+9*Pk[0, 0]*d[0, 0]+4*d[0, 0]*S2[0, 0]+e[0, 0]*S1[0, 0]+e[0, 1]-3*c[0, 1]](images/dmf_89.gif){kind=small}
![c[1, 0] = S2[0, 0]*e[0, 0]+6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-4*d[0, 0]*S1[0, 0]-24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*c[0, 0]+d[0, 1]](images/dmf_90.gif){kind=small}
![c[1, 0] = S2[0, 0]*e[0, 0]+6*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-4*d[0, 0]*S1[0, 0]-24*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*c[0, 0]+d[0, 1]](images/dmf_91.gif){kind=small}
![Pk[1, 0] = 1/4*e[0, 0]](images/dmf_92.gif){kind=small}
![S1[1, 0] = 1/12*(-8*d[0, 0]*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-24*Pk[0, 0]*d[0, 0]+12*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]+8*c[0, 1]-6*e[0, 0]*S1[0, 0]-3*e[0, 1])/Pk[0, 0]](images/dmf_93.gif){kind=small}
![S1[1, 0] = 1/12*(-8*d[0, 0]*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-24*Pk[0, 0]*d[0, 0]+12*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]+8*c[0, 1]-6*e[0, 0]*S1[0, 0]-3*e[0, 1])/Pk[0, 0]](images/dmf_94.gif){kind=small}
![S2[1, 0] = -c[0, 0]+S2[0, 0]^2+3/2*Pk[0, 0]*S2[0, 0]-S1[0, 0]^2+1/8*e[0, 0]-S1[0, 1]](images/dmf_95.gif){kind=small}
![Pk[0, 1] = -2*d[0, 0]-9*Pk[0, 0]*S1[0, 0]](images/dmf_96.gif){kind=small}
| fr > | COM; |
![[[y, x] = [-S1[0, 0], -S2[0, 0]]]](images/dmf_97.gif){kind=small}
We can express [c,d,e], the invariantization of ![[u[2, 2], u[3, 1], u[4, 0]]](images/dmf_98.gif){kind=small}
in terms of ![[S1, S2, Pk]](images/dmf_99.gif){kind=small}
the invariantizations of
| > | R := differential_ring(ranking=[[y0,y1],[c,d,e],[S2,S1,Pk]], derivations=[x,y],
commutations=COM,notation=vjet); CC := Rosenfeld_Groebner(equations(C[1]), [Pk[0,0]], R); for g in rewrite_rules(CC[1]) do print(g); od; |
![(Typesetting:-mprintslash)([R := differential_polynomial_ring], [differential_polynomial_ring])](images/dmf_101.gif){kind=small}
![(Typesetting:-mprintslash)([CC := [characterisable]], [[characterisable]])](images/dmf_102.gif){kind=small}
![y0[0, 0] = -1/Pk[0, 0]](images/dmf_103.gif){kind=small}
![y1[0, 0] = Pk[0, 0]](images/dmf_104.gif){kind=small}
![c[0, 0] = S2[0, 0]^2+3/2*Pk[0, 0]*S2[0, 0]-S1[0, 0]^2+1/2*Pk[1, 0]-S1[0, 1]-S2[1, 0]](images/dmf_105.gif){kind=small}
![d[0, 0] = -1/2*Pk[0, 1]-9/2*Pk[0, 0]*S1[0, 0]](images/dmf_106.gif){kind=small}
![e[0, 0] = 4*Pk[1, 0]](images/dmf_107.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = -1/3*Pk[0, 3]+3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+8/3*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+4*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]-2*Pk[0, 2]*S1[0, 0]-8/3*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/3*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*S1[0, 2]-S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5*S2...](images/dmf_108.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = -1/3*Pk[0, 3]+3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+8/3*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+4*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]-2*Pk[0, 2]*S1[0, 0]-8/3*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/3*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*S1[0, 2]-S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5*S2...](images/dmf_109.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = -1/3*Pk[0, 3]+3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+8/3*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+4*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]-2*Pk[0, 2]*S1[0, 0]-8/3*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/3*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*S1[0, 2]-S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5*S2...](images/dmf_110.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = -1/3*Pk[0, 3]+3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+8/3*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+4*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]-2*Pk[0, 2]*S1[0, 0]-8/3*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/3*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*S1[0, 2]-S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5*S2...](images/dmf_111.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = -1/3*Pk[0, 3]+3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+8/3*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+4*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]-2*Pk[0, 2]*S1[0, 0]-8/3*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/3*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*S1[0, 2]-S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5*S2...](images/dmf_112.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = -1/3*Pk[0, 3]+3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+8/3*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+4*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]-2*Pk[0, 2]*S1[0, 0]-8/3*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/3*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*S1[0, 2]-S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5*S2...](images/dmf_113.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = -1/3*Pk[0, 3]+3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+8/3*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+4*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]-2*Pk[0, 2]*S1[0, 0]-8/3*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/3*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*S1[0, 2]-S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5*S2...](images/dmf_114.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = -1/3*Pk[0, 3]+3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+8/3*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+4*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]-2*Pk[0, 2]*S1[0, 0]-8/3*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/3*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*S1[0, 2]-S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5*S2...](images/dmf_115.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = -1/3*Pk[0, 3]+3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+8/3*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+4*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]-2*Pk[0, 2]*S1[0, 0]-8/3*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/3*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*S1[0, 2]-S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5*S2...](images/dmf_116.gif){kind=small}
![S2[2, 0] = -5/2*Pk[1, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+5/2*Pk[0, 1]*S1[0, 0]+3*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*S2[0, 0]^2+3/2*Pk[0, 0]*Pk[1, 0]+3/2*Pk[0, 0]*S1[0, 1]-3/2*Pk[0, 0]*S2[1, 0]+1/2*Pk[0, ...](images/dmf_117.gif){kind=small}
![S2[2, 0] = -5/2*Pk[1, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+5/2*Pk[0, 1]*S1[0, 0]+3*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*S2[0, 0]^2+3/2*Pk[0, 0]*Pk[1, 0]+3/2*Pk[0, 0]*S1[0, 1]-3/2*Pk[0, 0]*S2[1, 0]+1/2*Pk[0, ...](images/dmf_118.gif){kind=small}
![S2[2, 0] = -5/2*Pk[1, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+5/2*Pk[0, 1]*S1[0, 0]+3*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*S2[0, 0]^2+3/2*Pk[0, 0]*Pk[1, 0]+3/2*Pk[0, 0]*S1[0, 1]-3/2*Pk[0, 0]*S2[1, 0]+1/2*Pk[0, ...](images/dmf_119.gif){kind=small}
![S2[2, 0] = -5/2*Pk[1, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+5/2*Pk[0, 1]*S1[0, 0]+3*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+3*Pk[0, 0]*S2[0, 0]^2+3/2*Pk[0, 0]*Pk[1, 0]+3/2*Pk[0, 0]*S1[0, 1]-3/2*Pk[0, 0]*S2[1, 0]+1/2*Pk[0, ...](images/dmf_120.gif){kind=small}
![S2[1, 1] = 3*Pk[0, 1]*S2[0, 0]+6*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]+3/2*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+3/2*Pk[0, 0]*Pk[0, 1]+3*S2[0, 0]*S2[0, 1]+3/2*Pk[0, 0]*S2[0, 1]-2*S1[0, 0]*S1[0, 1]-Pk[1, 1]-2*Pk[1, 0]*S1[0, 0]-S1[...](images/dmf_121.gif){kind=small}
![S2[1, 1] = 3*Pk[0, 1]*S2[0, 0]+6*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]+3/2*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+3/2*Pk[0, 0]*Pk[0, 1]+3*S2[0, 0]*S2[0, 1]+3/2*Pk[0, 0]*S2[0, 1]-2*S1[0, 0]*S1[0, 1]-Pk[1, 1]-2*Pk[1, 0]*S1[0, 0]-S1[...](images/dmf_122.gif){kind=small}
![S2[1, 1] = 3*Pk[0, 1]*S2[0, 0]+6*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]+3/2*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+3/2*Pk[0, 0]*Pk[0, 1]+3*S2[0, 0]*S2[0, 1]+3/2*Pk[0, 0]*S2[0, 1]-2*S1[0, 0]*S1[0, 1]-Pk[1, 1]-2*Pk[1, 0]*S1[0, 0]-S1[...](images/dmf_123.gif){kind=small}
![S2[1, 1] = 3*Pk[0, 1]*S2[0, 0]+6*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]+3/2*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+3/2*Pk[0, 0]*Pk[0, 1]+3*S2[0, 0]*S2[0, 1]+3/2*Pk[0, 0]*S2[0, 1]-2*S1[0, 0]*S1[0, 1]-Pk[1, 1]-2*Pk[1, 0]*S1[0, 0]-S1[...](images/dmf_124.gif){kind=small}
We can use an alternative choice of 4th order differential invariants
| fr > | [u[3,0]=Pk, R1=u[4,0]+3*u[2,2],R2=u[3,1]+3*u[1,3], Pk*S1=3*u[3,1]+u[1,3], Pk*S2=3*u[2,2]+u[0,4], u[4,0]=Q0];
|
![[u[3, 0] = Pk, R1 = u[4, 0]+3*u[2, 2], R2 = u[3, 1]+3*u[1, 3], Pk*S1 = 3*u[3, 1]+u[1, 3], Pk*S2 = 3*u[2, 2]+u[0, 4], u[4, 0] = Q0]](images/dmf_125.gif){kind=small}
![[u[3, 0] = Pk, R1 = u[4, 0]+3*u[2, 2], R2 = u[3, 1]+3*u[1, 3], Pk*S1 = 3*u[3, 1]+u[1, 3], Pk*S2 = 3*u[2, 2]+u[0, 4], u[4, 0] = Q0]](images/dmf_126.gif){kind=small}
| fr > | C, Morphism :=dmf(LieAlg,Section, fr, [op(1..10,Section), u[3,0]=Pk, u[4, 0] = Q0, u[1, 3] = -1/8*Pk*S1+3/8*R2, u[2, 2] = 1/3*R1-1/3*Q0, u[3, 1] = -1/8*R2+3/8*Pk*S1, u[0, 4] = Pk*S2-R1+Q0], 'COM'): |
"Section :"
![[u[0, 3] = 0, u[1, 2] = u[3, 0], u[2, 1] = 0, u[0, 2] = -1, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 1] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 0] = 0, y = 0, x = 0]](images/dmf_127.gif){kind=small}
![[u[0, 3] = 0, u[1, 2] = u[3, 0], u[2, 1] = 0, u[0, 2] = -1, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 1] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 0] = 0, y = 0, x = 0]](images/dmf_128.gif){kind=small}
"Transversality condition :" -u[3 0]
"Invariantizations:"
![x = 0, y = 0, u[0, 0] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 1] = 0, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 2] = -1, u[0, 3] = 0, u[2, 1] = 0, u[3, 0] = Pk, u[4, 0] = Q0, u[1, 3] = -1/8*Pk*S1+3/8*R2, u[2, 2] = 1/3*R1-1/3*Q0,...](images/dmf_129.gif){kind=small}
![x = 0, y = 0, u[0, 0] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 1] = 0, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 2] = -1, u[0, 3] = 0, u[2, 1] = 0, u[3, 0] = Pk, u[4, 0] = Q0, u[1, 3] = -1/8*Pk*S1+3/8*R2, u[2, 2] = 1/3*R1-1/3*Q0,...](images/dmf_130.gif){kind=small}
![x = 0, y = 0, u[0, 0] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 1] = 0, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 2] = -1, u[0, 3] = 0, u[2, 1] = 0, u[3, 0] = Pk, u[4, 0] = Q0, u[1, 3] = -1/8*Pk*S1+3/8*R2, u[2, 2] = 1/3*R1-1/3*Q0,...](images/dmf_131.gif){kind=small}
![x = 0, y = 0, u[0, 0] = 0, u[1, 0] = 0, u[0, 1] = 0, u[1, 1] = 0, u[2, 0] = 1, u[0, 2] = -1, u[0, 3] = 0, u[2, 1] = 0, u[3, 0] = Pk, u[4, 0] = Q0, u[1, 3] = -1/8*Pk*S1+3/8*R2, u[2, 2] = 1/3*R1-1/3*Q0,...](images/dmf_132.gif){kind=small}
"Commutation rules"
![[D1, D2] = -1/12*(3*u[3, 1]+u[1, 3])*D1/u[3, 0]-1/12*(-u[0, 4]-3*u[2, 2])*D2/u[3, 0]](images/dmf_133.gif)
"Syzygies"
![[-R2[0, 0]*S2[0, 0]+S1[0, 0]*R1[0, 0]+12*R2[1, 0]-12*R1[0, 1], 8*S2[0, 0]*R1[0, 0]+48*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]*R1[0, 0]+5*R2[0, 0]*S1[0, 0]-4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+96*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]-12*R2[0, 1...](images/dmf_134.gif){kind=small}
![[-R2[0, 0]*S2[0, 0]+S1[0, 0]*R1[0, 0]+12*R2[1, 0]-12*R1[0, 1], 8*S2[0, 0]*R1[0, 0]+48*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]*R1[0, 0]+5*R2[0, 0]*S1[0, 0]-4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+96*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]-12*R2[0, 1...](images/dmf_135.gif){kind=small}
![[-R2[0, 0]*S2[0, 0]+S1[0, 0]*R1[0, 0]+12*R2[1, 0]-12*R1[0, 1], 8*S2[0, 0]*R1[0, 0]+48*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]*R1[0, 0]+5*R2[0, 0]*S1[0, 0]-4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+96*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]-12*R2[0, 1...](images/dmf_136.gif){kind=small}
![[-R2[0, 0]*S2[0, 0]+S1[0, 0]*R1[0, 0]+12*R2[1, 0]-12*R1[0, 1], 8*S2[0, 0]*R1[0, 0]+48*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]*R1[0, 0]+5*R2[0, 0]*S1[0, 0]-4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+96*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]-12*R2[0, 1...](images/dmf_137.gif){kind=small}
![[-R2[0, 0]*S2[0, 0]+S1[0, 0]*R1[0, 0]+12*R2[1, 0]-12*R1[0, 1], 8*S2[0, 0]*R1[0, 0]+48*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]*R1[0, 0]+5*R2[0, 0]*S1[0, 0]-4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+96*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]-12*R2[0, 1...](images/dmf_138.gif){kind=small}
![[-R2[0, 0]*S2[0, 0]+S1[0, 0]*R1[0, 0]+12*R2[1, 0]-12*R1[0, 1], 8*S2[0, 0]*R1[0, 0]+48*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]*R1[0, 0]+5*R2[0, 0]*S1[0, 0]-4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+96*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]-12*R2[0, 1...](images/dmf_139.gif){kind=small}
![[-R2[0, 0]*S2[0, 0]+S1[0, 0]*R1[0, 0]+12*R2[1, 0]-12*R1[0, 1], 8*S2[0, 0]*R1[0, 0]+48*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]*R1[0, 0]+5*R2[0, 0]*S1[0, 0]-4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+96*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]-12*R2[0, 1...](images/dmf_140.gif){kind=small}
![[-R2[0, 0]*S2[0, 0]+S1[0, 0]*R1[0, 0]+12*R2[1, 0]-12*R1[0, 1], 8*S2[0, 0]*R1[0, 0]+48*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]*R1[0, 0]+5*R2[0, 0]*S1[0, 0]-4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+96*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]-12*R2[0, 1...](images/dmf_141.gif){kind=small}
![[-R2[0, 0]*S2[0, 0]+S1[0, 0]*R1[0, 0]+12*R2[1, 0]-12*R1[0, 1], 8*S2[0, 0]*R1[0, 0]+48*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]-96*Pk[0, 0]*R1[0, 0]+5*R2[0, 0]*S1[0, 0]-4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2+96*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]-12*R2[0, 1...](images/dmf_142.gif){kind=small}
"Syzygies with attempt to eliminate the y's"
![y0[0, 0] = -1/Pk[0, 0]](images/dmf_143.gif){kind=small}
![y1[0, 0] = Pk[0, 0]](images/dmf_144.gif){kind=small}
![R2[1, 0] = 1/12*R2[0, 0]*S2[0, 0]-1/12*S1[0, 0]*R1[0, 0]+R1[0, 1]](images/dmf_145.gif){kind=small}
![Q0[1, 0] = -1/4*S2[0, 0]*R1[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+3*Pk[0, 0]*R1[0, 0]-5/32*R2[0, 0]*S1[0, 0]+1/8*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]+3/8*R2[0, 1]-9/8*Pk[0, 0]*S1[0, 1]+R1[1, 0]](images/dmf_146.gif){kind=small}
![Q0[1, 0] = -1/4*S2[0, 0]*R1[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+3*Pk[0, 0]*R1[0, 0]-5/32*R2[0, 0]*S1[0, 0]+1/8*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]+3/8*R2[0, 1]-9/8*Pk[0, 0]*S1[0, 1]+R1[1, 0]](images/dmf_147.gif){kind=small}
![Q0[1, 0] = -1/4*S2[0, 0]*R1[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+3*Pk[0, 0]*R1[0, 0]-5/32*R2[0, 0]*S1[0, 0]+1/8*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2-3*Pk[0, 0]*Q0[0, 0]+3/8*R2[0, 1]-9/8*Pk[0, 0]*S1[0, 1]+R1[1, 0]](images/dmf_148.gif){kind=small}
![Pk[1, 0] = 1/4*R1[0, 0]](images/dmf_149.gif){kind=small}
![S1[1, 0] = 1/12*(-R2[0, 0]*S2[0, 0]+4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]+12*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-36*Pk[0, 0]*R2[0, 0]+4*R1[0, 1]+32*Q0[0, 1]-6*S1[0, 0]*R1[0, 0])/Pk[0, 0]](images/dmf_150.gif){kind=small}
![S1[1, 0] = 1/12*(-R2[0, 0]*S2[0, 0]+4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]+12*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-36*Pk[0, 0]*R2[0, 0]+4*R1[0, 1]+32*Q0[0, 1]-6*S1[0, 0]*R1[0, 0])/Pk[0, 0]](images/dmf_151.gif){kind=small}
![S1[1, 0] = 1/12*(-R2[0, 0]*S2[0, 0]+4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]+12*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]-36*Pk[0, 0]*R2[0, 0]+4*R1[0, 1]+32*Q0[0, 1]-6*S1[0, 0]*R1[0, 0])/Pk[0, 0]](images/dmf_152.gif){kind=small}
![S2[1, 0] = 3/2*Pk[0, 0]*S2[0, 0]-5/2*R1[0, 0]+4*Q0[0, 0]-1/12*S1[0, 0]^2+1/12*S2[0, 0]^2+S1[0, 1]](images/dmf_153.gif){kind=small}
![S2[1, 0] = 3/2*Pk[0, 0]*S2[0, 0]-5/2*R1[0, 0]+4*Q0[0, 0]-1/12*S1[0, 0]^2+1/12*S2[0, 0]^2+S1[0, 1]](images/dmf_154.gif){kind=small}
![Pk[0, 1] = 1/4*R2[0, 0]](images/dmf_155.gif){kind=small}
and obtain the following rewriting:
| fr > | COM; |
![[[y, x] = [1/12*S1[0, 0], -1/12*S2[0, 0]]]](images/dmf_156.gif){kind=small}
| fr > | R := differential_ring(ranking=[[y0,y1],[Q0,R1,R2],[S1,S2,Pk]], derivations=[x,y],
commutations=COM,notation=vjet); CC := Rosenfeld_Groebner(equations(C[1]), [Pk[0,0]], R); for g in rewrite_rules(CC[1]) do print(g); od; |
![(Typesetting:-mprintslash)([R := differential_polynomial_ring], [differential_polynomial_ring])](images/dmf_157.gif){kind=small}
![(Typesetting:-mprintslash)([CC := [characterisable]], [[characterisable]])](images/dmf_158.gif){kind=small}
![y0[0, 0] = -1/Pk[0, 0]](images/dmf_159.gif){kind=small}
![y1[0, 0] = Pk[0, 0]](images/dmf_160.gif){kind=small}
![Q0[0, 0] = 1/4*S2[1, 0]-3/8*Pk[0, 0]*S2[0, 0]+5/2*Pk[1, 0]+1/48*S1[0, 0]^2-1/48*S2[0, 0]^2-1/4*S1[0, 1]](images/dmf_161.gif){kind=small}
![Q0[0, 0] = 1/4*S2[1, 0]-3/8*Pk[0, 0]*S2[0, 0]+5/2*Pk[1, 0]+1/48*S1[0, 0]^2-1/48*S2[0, 0]^2-1/4*S1[0, 1]](images/dmf_162.gif){kind=small}
![R1[0, 0] = 4*Pk[1, 0]](images/dmf_163.gif){kind=small}
![R2[0, 0] = 4*Pk[0, 1]](images/dmf_164.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = 3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+2/9*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+1/3*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]+1/6*Pk[0, 2]*S1[0, 0]+2/9*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/432*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 2]+1/12*S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5/12*...](images/dmf_165.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = 3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+2/9*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+1/3*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]+1/6*Pk[0, 2]*S1[0, 0]+2/9*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/432*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 2]+1/12*S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5/12*...](images/dmf_166.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = 3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+2/9*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+1/3*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]+1/6*Pk[0, 2]*S1[0, 0]+2/9*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/432*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 2]+1/12*S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5/12*...](images/dmf_167.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = 3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+2/9*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+1/3*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]+1/6*Pk[0, 2]*S1[0, 0]+2/9*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/432*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 2]+1/12*S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5/12*...](images/dmf_168.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = 3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+2/9*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+1/3*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]+1/6*Pk[0, 2]*S1[0, 0]+2/9*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/432*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 2]+1/12*S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5/12*...](images/dmf_169.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = 3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+2/9*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+1/3*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]+1/6*Pk[0, 2]*S1[0, 0]+2/9*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/432*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 2]+1/12*S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5/12*...](images/dmf_170.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = 3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+2/9*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+1/3*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]+1/6*Pk[0, 2]*S1[0, 0]+2/9*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/432*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 2]+1/12*S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5/12*...](images/dmf_171.gif){kind=small}
![Pk[2, 1] = 3*Pk[0, 0]^2*Pk[0, 1]+2/9*Pk[1, 0]*S2[0, 1]+1/3*Pk[0, 0]^2*S2[0, 1]+1/6*Pk[0, 2]*S1[0, 0]+2/9*Pk[0, 1]*S1[0, 1]-11/432*Pk[0, 1]*S1[0, 0]^2+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 2]+1/12*S1[0, 0]*Pk[2, 0]+5/12*...](images/dmf_172.gif){kind=small}
![S2[2, 0] = -5/2*Pk[1, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+18*Pk[0, 0]*Pk[1, 0]-5/2*Pk[0, 1]*S1[0, 0]+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2-3/2*Pk[0, 0]*S2[1, 0]+1/4*Pk[0, 0]*S2[0, 0]^2-3/2*Pk[0, 0]*S1[0, 1]+6*Pk[0,...](images/dmf_173.gif){kind=small}
![S2[2, 0] = -5/2*Pk[1, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+18*Pk[0, 0]*Pk[1, 0]-5/2*Pk[0, 1]*S1[0, 0]+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2-3/2*Pk[0, 0]*S2[1, 0]+1/4*Pk[0, 0]*S2[0, 0]^2-3/2*Pk[0, 0]*S1[0, 1]+6*Pk[0,...](images/dmf_174.gif){kind=small}
![S2[2, 0] = -5/2*Pk[1, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+18*Pk[0, 0]*Pk[1, 0]-5/2*Pk[0, 1]*S1[0, 0]+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2-3/2*Pk[0, 0]*S2[1, 0]+1/4*Pk[0, 0]*S2[0, 0]^2-3/2*Pk[0, 0]*S1[0, 1]+6*Pk[0,...](images/dmf_175.gif){kind=small}
![S2[2, 0] = -5/2*Pk[1, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S2[0, 0]+18*Pk[0, 0]*Pk[1, 0]-5/2*Pk[0, 1]*S1[0, 0]+1/4*Pk[0, 0]*S1[0, 0]^2-3/2*Pk[0, 0]*S2[1, 0]+1/4*Pk[0, 0]*S2[0, 0]^2-3/2*Pk[0, 0]*S1[0, 1]+6*Pk[0,...](images/dmf_176.gif){kind=small}
![S2[1, 1] = 3*Pk[0, 1]*S2[0, 0]-1/2*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+18*Pk[0, 0]*Pk[0, 1]-12*Pk[1, 1]+2*Pk[1, 0]*S1[0, 0]-1/6*S1[0, 0]*S1[0, 1]-1/12*S1[0, 0]*S2[1, 0]+1/4*S2[0, 0]*S2[...](images/dmf_177.gif){kind=small}
![S2[1, 1] = 3*Pk[0, 1]*S2[0, 0]-1/2*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+18*Pk[0, 0]*Pk[0, 1]-12*Pk[1, 1]+2*Pk[1, 0]*S1[0, 0]-1/6*S1[0, 0]*S1[0, 1]-1/12*S1[0, 0]*S2[1, 0]+1/4*S2[0, 0]*S2[...](images/dmf_178.gif){kind=small}
![S2[1, 1] = 3*Pk[0, 1]*S2[0, 0]-1/2*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+18*Pk[0, 0]*Pk[0, 1]-12*Pk[1, 1]+2*Pk[1, 0]*S1[0, 0]-1/6*S1[0, 0]*S1[0, 1]-1/12*S1[0, 0]*S2[1, 0]+1/4*S2[0, 0]*S2[...](images/dmf_179.gif){kind=small}
![S2[1, 1] = 3*Pk[0, 1]*S2[0, 0]-1/2*Pk[0, 0]*S1[0, 0]*S2[0, 0]-3/2*Pk[0, 0]^2*S1[0, 0]+18*Pk[0, 0]*Pk[0, 1]-12*Pk[1, 1]+2*Pk[1, 0]*S1[0, 0]-1/6*S1[0, 0]*S1[0, 1]-1/12*S1[0, 0]*S2[1, 0]+1/4*S2[0, 0]*S2[...](images/dmf_180.gif){kind=small}