\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{fullpage,epsf,latexsym,amssymb,makeidx,french,html}

\title{Simulation :\\
       De la loi uniforme aux \'equations diff\'erentielles
       stochastiques}

\author{Fabien Campillo, Fr\'ed\'eric C\'erou, David Miglior}

\date{\htmladdnormallink{SYSDYS}{http://www.inria.fr/mefisto/sysdys-fra.html}}

%\makeindex

\begin{document}

\input macros
\input f-macros

\maketitle

%\tableofcontents

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Avertissement}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Les noms pr\'ec\'ed\'es du signe ``$\blacktriangleright$'' sont des
pointeurs vers la base de donn\'ees sur l'histoire des math\'ematiques,
\htmladdnormallink{MacTutor}{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/\~{}history/index.html},
de l'\htmladdnormallink{Universit\'e de St
Andrews}{http://www.st-and.ac.uk/}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Le but de ce ``petit cours'' est de tenter de sensibiliser les communaut\'es
scientifiques et les \'etudiants \`a certaines m\'ethodes num\'eriques
dites ``probabilistes''.

Nous avons tent\'e, dans la mesure du possible, d'illustrer notre
propos \`a l'aide de simulations interactives fond\'ees sur Java (Sun
Microsystem). 

\medskip

Il faut distinguer deux probl\`emes~: celui des algorithmes de
g\'en\'eration de nombres pseudo al\'eatoires et celui des m\'ethodes
num\'eriques, que nous qualifierons de ``probabilistes'',  faisant
appel \`a ces algorithmes. 

%____________________________________________________________________________
\subsection{G\'en\'eration de nombres pseudo--al\'eatoires}


Nous n'aborderons pas ici le probl\`eme (difficile) de la ``nature''
al\'eatoire d'une suite de nombres. L'article de vulgarisation
Chaitin~\cite{chaitin96a} propose un expos\'e int\'eressant et
relativement abordable du sujet.

\medskip


%____________________________________________________________________________
\subsection{M\'ethodes num\'eriques probabilistes}



Nous citerons quelques exemples o\`u des m\'ethodes de ``simulation''
de variables al\'eatoires o\`u de processus stochastiques sont
pr\'esent\'ees/utilis\'ees~: 
\begin{itemize}
\item m\'ethodes num\'eriques pour les processus stochastiques~:
      Bouleau--L\'epingle \cite{bouleau94a}
\item m\'ethodes de Monte--Carlo~: Lapeyre--Pardoux--Sentis
      \cite{lapeyre??a},
\item simulation d'\'equations diff\'erentielles stochastiques~:
      Kloeden--Platen \cite{kloeden92a},
\item simulation g\'eostatistique : Deutsch--Journel
\cite{deutsch92b}.
\end{itemize}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Variables al\'eatoires}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

On consid\`ere un espace de probabilit\'e $(\Omega,\FF,P)$ et $X$ une
variable al\'eatoire (\`a valeurs dans $\R$, $\R^2$...). La simulation
de pseudo--r\'ealisations de cette variable est un probl\`eme complexe
qui trouve de nombreuses applications.

\medskip

En effet, beaucoup de m\'ethodes num\'eriques utilises de tels
outils. On pensera en premier aux m\'ethodes de Monte--Carlo. Mais
d'autres algorithmes sont apparus~: recuit simul\'e et algorithmes
g\'en\'etiques en optimisation combinatoire~; algorithmes
stochastiques comme le gradient stochastique.


%__________________________________________________________________________
\subsection{Loi uniforme}\index{loi!uniforme}

Soit $X$  une variable al\'eatoire de loi uniforme $U[0,1]$.
\begin{displaymath}
\law(X) = \indic_{[0,1]}(x)\,dx\,.
\end{displaymath}


\paragraph{Applet : Densit\'e empirique d'un \'echantillon d'une loi uniforme
$U[0,1]$}

\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/loiuniforme" code="loiuniforme.class" width=360 height=260><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\begin{quote}
Les projectiles sont lanc\'es de fa\c con \`a retomber sur le sol en
suivant un loi uniforme sur un intervalle. Les histogrammes
repr\'esentent la densit\'e empirique du point d'impact~: sur chaque
sous-intervalle la hauteur est \'egale au nombre d'impacts sur
celui-ci divis\'e par le nombre total de jets. On v\'erifie que sur un
grand nombre de jets, l'histogramme converge vers une constante.
Le g\'en\'erateur utilis\'e, comme dans toute la suite, est le 
g\'en\'erateur fourni par Java. La barre de contr\^ole r\`egle le
nombre de sous-intervalles utilis\'es pour les histogrammes.
\end{quote} 
\end{center}

\paragraph{Applet : Pile ou face}


\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/pileface" code="pileface.class"  width=350 height=200><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\begin{quote}
Cette applet simule le jet d'une pi\`ece. Les deux barres \`a gauche
et \`a droite de la pi\`ece indiquent respectivement la proportion de
``piles'' et de ``faces''. On v\'erifie que sur un grand nombre de
tirages les deux s'\'equilibrent \`a $1/2$.
\end{quote}
\end{center}

\paragraph{Applet : loi uniforme sur le carr\'e unit\'e}

\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/uniforme2d" code="uniforme2d.class" width=300 height=200><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\begin{quote}
L'applet ci-dessus montre des tirages pseudo-al\'eatoire d'une
variable uniforme dans le carr\'e unit\'e, et la fa\c con dont elle
``remplit'' uniform\'ement le carr\'e. La barre de contr\^ole
selectionne le nombre de tirages entre deux images.
\end{quote}
\end{center}

%__________________________________________________________________________
\subsection{Loi normale}\index{loi!normale}

Soit $X$  une variable al\'eatoire de loi normale $N(0,1)$
\'egalement appel\'ee loi gaussienne (cf. $\blacktriangleright$\htmladdnormallink{Johann Carl
Friedrich Gauss}
{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/\~{}history/Mathematicians/Gauss.html}\index{math\'ematiciens!Gauss, Johann Carl Friedrich}).
\begin{displaymath}
\law(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \,\exp\left[-\frac{x^2}{2}\right]\,dx\,.
\end{displaymath}

\paragraph{Applet : La planche de Galton}
\index{math\'ematiciens!Galton, Francis}
\index{loi!binomiale}

La ``planche de $\blacktriangleright$\htmladdnormallink{Francis
Galton}{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/\~{}history/Mathematicians/Galton.html}''
illustre le fait que  loi de la loi binomiale
$B(1/2,\, n)$ soit une approximation de la loi gaussienne $N(n/2,\, n/4)$. 
En d'autres termes, si pour tout $n$, $X_n$ suit une loi $B(1/2,\, n)$, alors
\begin{displaymath}
2\,\frac{X_n-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}}
\end{displaymath}
converge en loi vers la gaussienne centr\'ee r\'eduite $N(0,1)$ lorque
$n$ tend vers $+\infty$.
Il s'agit d'un r\'esultat du
th\'eor\`eme central limite (d\'esign\'e ainsi par le math\'ematicien
hongrois, $\blacktriangleright$\htmladdnormallink{George Pólya}
{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/\~{}history/Mathematicians/Polya.html}\index{math\'ematiciens!Pólya, George}).

\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/pyramide5" code="pyramide2.class" width=400 height=420><param name="nombre_rangee" value=8><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\begin{quote}
Planche de Galton~: Illustre la converge de la
binomiale $B(1/2,n)$ (i.e. $n$ tirages ind\'ependants d'une pi\`ece
de monnaie non biais\'ee) vers une loi normale. Le
param\`etre $n$, ici limit\'e \`a 16, se r\`egle \`a l'aide du
curseur.
\end{quote}
\end{center}

%_________________________________________________________________________
\subsection{Algorithmes}

\subsubsection{Deux m\'ethodes pour calculer $\pi$}
\index{algorithmes!Monte-Carlo}

Les deux applets ci-dessous montrent comment calculer une quantit\'e,
ici le nombre $\pi$, en utilisant deux m\'ethodes de Monte-Carlo
diff\'erentes. Par m\'ethode de Monte-Carlo on entend l'approximation
d'une expression du type
\begin{displaymath}
E\left[ X \right],
\end{displaymath} 
o\`u $X\,$ est une variable al\'eatoire que l'on sait simuler, par la
moyenne empirique
\begin{displaymath}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i,
\end{displaymath} 
o\`u les $X_i\,$ forment une suite i.i.d. de variables al\'eatoires de
m\^eme loi que $X\,$.

\paragraph{Applet : L'Aiguille de Buffon}
\index{math\'ematiciens!Buffon, Georges Louis Leclerc Comte de}

Il s'agit d'un probl\`eme de probabilit\'es g\'eom\'etriques pos\'e
(et r\'esolu) par 
$\blacktriangleright$\htmladdnormallink{Buffon}{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/\~{}history/Mathematicians/Buffon.html}.
Sur un parquet compos\'e de planches parall\`eles, toutes de m\^eme
largeur, on jette des
aiguilles au hasard, et on cherche la probabilit\'e pour qu'une
aiguille tombe \`a cheval sur deux planches. Soit $c$ la largeur des
planches, et $d$ la longueur de l'aiguille. Pour simplifier, on
suppose que $d\leq c$. On note $r$ la distance entre le centre de
l'aiguille et la jointure de deux planches la plus proche, et $\theta$
l'angle de l'aiguille avec la jointure. Il est alors facile de
v\'erifier que l'aiguille intersecte une jointure si et seulement si
\begin{displaymath}
\frac{d}{2}\sin \theta > r.
\end{displaymath} 
Si on suppose, ce qui para\^{\i}t raisonnable, que les jets sont faits
de sorte que les lois de $r$ et $\theta$ sont uniformes sur
respectivement $[0,c\, /2]$ et $[0,\pi/2]$, la probabilit\'e de tomber
sur une rainure du parquet est donc de 
\begin{displaymath}
\frac{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d}{2} \sin \theta\, d\theta}
     {\frac{\pi}{2} \times \frac{c}{2}}
=\frac{2d}{\pi c}.
\end{displaymath} 
Ainsi, sur un grand nombre d'exp\'eriences, en estimant de fa\c con
empirique cette probabilit\'e, on en d\'eduit une estimation
 $\blacktriangleright$\htmladdnormallink{du nombre}
{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\~{}history/HistTopics/Pi\_through\_the\_ages.html} $\pi$.\index{$\pi$}


\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/buffon" code="buffon.class"  width=400 height=400><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\end{center} 

%______
\paragraph{Applet : Calcul de $\pi$ par m\'ethode de Monte--Carlo}

Voici une autre fa\c con relativement simple, bien que certainement 
pas la plus efficace, de calculer \htmladdnormallink{le nombre
}{http://www.cecm.sfu.ca/pi/pi.html} $\pi$.\index{$\pi$}

\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/pi" code="montecarlo.class" width=300 height=400><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\begin{quote}
Si on tire selon une loi uniforme un point sur le carr\'e, il est
facile de voir que la probabilit\'e de tomber dans le cercle est de
$\pi$ $/ 4$. Donc sur un grand nombre de r\'ealisations, en multipliant
par $4$ la fr\'equence empirique des points int\'erieurs au cercle, on
doit retrouver approximativement $\pi$. Notons que cette m\'ethode
peut s'appliquer au calcul d'une aire quelconque, pourvu que l'on
sache d\'ecider facilement si un point donn\'e est \`a l'int\'erieur
ou \`a l'ext\'erieur de la surface consid\'er\'ee.
\end{quote} 
\end{center}

\subsubsection{Recuit simul\'e}
\index{algorithmes!recuit simul\'e}

Il est clair que pour minimiser une fonction $F$ non convexe un algorithme
de type gradient peut donner de tr\`es mauvais r\'esultats~: si la
fonction comporte beaucoup de minima locaux, on est \`a peu pr\`es
certain de rester bloqu\'e sur l'un d'eux. La strat\'egie des
algorithmes de recuit consiste, en effectuant une exploration
al\'eatoire de l'espace d'\'etat, \`a favoriser les descentes, mais sans
interdire tout \`a fait les remont\'ees. Plus pr\'ecis\'ement, on se
donne une chaine de Markov sur l'espace d'\'etat, et on accepte ou on
refuse une transition avec une probabilit\'e $1$ si $F$
d\'ecro\^{\i}t, et une probabilit\'e \'egale \`a 
\begin{displaymath}
\exp\left[ - \frac{\Delta F}{T} \right]
\end{displaymath} 
si $F$ cro\^{\i}t. Ici $T$ est un param\`etre, appel\'e temp\'erature
par analogie avec la m\'ecanique statistique. Il est clair que plus la
temp\'erature est grande, plus seront facilit\'ees les transitions
ascendantes. En revanche, \`a la limite $T=0$, on obtient un
algorithme de descente. Tout au long de l'algorithme, on va donc faire
d\'ecro\^{\i}tre $T$, ni trop vite pour ne pas rester bloqu\'e autour d'un
minimum local, ni trop lentement si on veut avoir un r\'esultat en un
temps raisonnable.


\paragraph{Applet : Recuit simul\'e}
\mbox{}

\noindent Cr\'edit : Cette Applet est due \`a
\htmladdnormallink{Matthew
Chalwell}{http://docker.library.uwa.edu.au/matt/} de \htmladdnormallink{l'University Of Western Australia}{http://docker.library.uwa.edu.au}

\bigskip

Cette Applet r\'esout un probl\`eme d'optimisation (non combinatoire) mais fait
appara\^{\i}tre tous  les param\`etres de strat\'egie de recuit.

\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/IMPORTED/recuit" code="annealing.class" width=550 height=400><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\end{center}


\paragraph{Applet : Probl\`eme du voyageur de commerce}

%R\'esolution du probl\`eme du voyageur de commerce par recuit
%simul\'e.

Etant donn\'e un ensemble de villes (des points dans le plan), il
s'agit de trouver le plus court chemin ferm\'e passant une fois et une seule
par chacun des points. La difficult\'e du probl\`eme vient de
l'explosion combinatoire des chemins \`a explorer lorque l'on
accro\^{\i}t le nombre de villes \`a visiter. 

\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/voyageur" code="voyageur2.class" width=400 height=600><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\begin{quote}
Ici, la fonction \`a minimiser $F$ est donc la longueur du chemin. 
L'exploration al\'eatoire de l'espace d'\'etat consiste \`a
choisir al\'eatoirement deux villes et \`a intervertir leur place dans
le chemin courant. La temp\'erature initiale une fois choisie
(entr\'ee ``temp\'erature''), elle reste constante sur des paliers
(dont la longueur est choisie par l'entr\'ee ``palier''), et d'un
palier \`a l'autre la d\'ecroissance est g\'eom\'etrique (coefficient
``d\'ecroissance''). M\^eme si tel quel l'algorithme est encore
quelque peu ``rustique'', il est int\'eressant de comparer le nombre
de transitions n\'ecessaires pour avoir une solution raisonnable avec
le nombre total de chemins possibles.
\end{quote} 
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Processus stochastiques}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%___________________________________________________________________________
\subsection{Marche al\'eatoire}

\index{processus stochastiques!marche al\'eatoire}
Le terme de ``marche al\'eatoire'' d\'esigne le plus souvent un
processus stochastique en temps discret \`a valeur dans $\Z^d$. 
Un cas simple est celui du processus $X_n$ \`a valeur dans $\Z^2$ qui,
lorsqu'il se trouve \`a l'instant $n$ au point $(i,j)$, d\'ecide de
passer \`a l'un de ses plus proche voisin~:
\begin{displaymath}
  (i+1,j)\,,\ (i-1,j)\,,\ (i,j+1)\,,\ (i+1,j-1)\,,
\end{displaymath}
avec une probabilit\'e $1/4$ (ind\'ependemment des positions
pass\'ees). Naturellement il s'agit d'un processus 
de Markov [$\blacktriangleright$\htmladdnormallink{Andrei Andreyevich Markov}
{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/\~{}history/Mathematicians/Markov.html}]
il est de plus \`a accroissement ind\'ependant.
\index{math\'ematiciens!Markov, Andrei Andreyevich}

On peut imaginer des marches al\'eatoires sur des espaces et/ou
combin\'e \`a un syst\`eme de voisinage plus complexes.

\bigskip

La simulation d'un tel processus est triviale.


\paragraph{Applet : marche au hasard}

\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/point" code="point.class" width=350 height=250><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\begin{quote}
Le stylet trace une marche al\'eatoire simple. Apr\`es avoir lanc\'e
la premi\`ere marche par ``start'', on peut en lancer d'autres en
cliquant sur la fen\`etre graphique. La barre de contr\^ole r\`egle le
nombre de pas \`a effectuer.
\end{quote}
\end{center}

%____________________________________________________________________________
\subsection{Mouvement brownien}

\subsubsection{D\'efinition}

\index{processus stochastiques!mouvement brownien}
Le mouvement brownien ou procesus de Wiener d\'ecrit un ph\'enom\`ene
observ\'e en 1827 par le botaniste \'ecossais Robert Brown. Il observa
que des grains de pollens en suspension dans l'eau suivaient un
mouvement rapide et d\'esordonn\'e. 

En 1905, Albert Einstien
[$\blacktriangleright$\htmladdnormallink{Albert
Einstein}{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/\~{}history/Mathematicians/Einstein.html}]
\index{math\'ematiciens!Einstein, Albert}
developpa cette th\'eorie par une approche de type m\'ecanique statistique.

\`A partir de 1920, Nobert Wiener \index{math\'ematiciens!Wiener, Norbert}
[$\blacktriangleright$\htmladdnormallink{Norbert Wiener}{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/\~{}history/Mathematicians/Wiener\_Norbert.html}]
proposa une d\'efinition math\'ematique de ce ph\'enom\`ene.


\begin{itemize}
\item $B_0=0$
\item pour tout $0\leq s\leq t$, $B_t-B_s$ est une variable gaussienne
$N(0,t-s)$ ind\'ependante de la tribu engendr\'ee par $\{B_u\,;\,u\leq s\}$.
\end{itemize}



\subsubsection{Approximation}

La simulation la plus simple du mouvement brownien consiste \`a se
donner un pas de discr\'etrisation en temps $\delta>0$ fixe et \`a
poser~: $t_n=n\,\delta$. Le mouvement brownien standard
unidimensionnel $B_t$ est donn\'e aux instants $t_n$ par~:
\begin{displaymath}
  B_{t_n}
  =
  \sum_{k< n} \xi_k
\end{displaymath}
avec $\bar B_0=0$ et o\`u
\begin{displaymath}
  \xi_k = B_{t_{k+1}}-B_{t_k}\,.
\end{displaymath}
Par d\'efinition du mouvement brownien, $\xi_k$ est une suite
i.i.d. de variables gaussienne $N(0,\delta)$.


\paragraph{Applet : Mouvement brownien dans le carr\'e unit\'e}

\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/pointbrownien" code="pointbrownien.class"
width=300 height=200><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\begin{quote}
Clicker sur ``start'' ou sur le carr\'e unit\'e pour lancer une
simulation d'une trajectoire d'un mouvement brownien standard. On peut
ensuite clicker plusieurs fois sur le carr\'e et lancer ainsi des 
trajectoires diff\'erentes. $n$ est le nombre de pas de
l'approximation du mouvement brownien.
\end{quote}
\end{center}


\paragraph{Applet : Mouvement brownien, aspect fractal}
\mbox{}

\noindent Cr\'edit : cette Applet est due \`a
\htmladdnormallink{Charle (Charlie)
Geyer}{http://www.stat.umn.edu/\~{}charlie/} 
de \htmladdnormallink{l'Universit\'e du
Minnesota}{http://www.stat.umn.edu/} (cf. \htmladdnormallink{page
originale}{http://www.stat.umn.edu/\~{}charlie/Stoch/brown.html}).

\bigskip

Cette Applet pr\'esente un mouvement brownien  1$d$.
Le mouvement brownien est auto--similaire en loi, donc toutes les
images zoom\'ees ont le m\^eme ``aspect''. Plus pr\'ecis\'ement, si
\begin{displaymath} 
\{ B_t,\, t\geq 0\}
\end{displaymath} 
est un mouvement brownien, alors pour tout $c>0$
\begin{displaymath} 
\left\{ \frac{1}{c} B_{c^2 t},\, t\geq 0\right\}
\end{displaymath} 
 est aussi un mouvement brownien.


\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet  codebase="../site/IMPORTED/fractalbm" code="BrownianMotionApplet.class" width=500 height=300>
<param name="zoom" value="1.02">
<param name="delay" value="50">
<font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\centerline{Clicker sur la fen\^etre pour lancer le zoom. Clicker \`a nouveau pour arr\^eter.}
\end{center}


%____________________________________________________________________________
\subsection{Processus d'Ornstein-Uhlenbeck}

\paragraph{D\'efinition}

\index{processus stochastiques!Ornstein-Uhlenbeck}
On appelle processus d'Ornstein-Uhlenbeck [$\blacktriangleright$\htmladdnormallink{George Eugene Uhlenbeck}
{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/\~{}history/Mathematicians/Uhlenbeck.html}
\index{math\'ematiciens!Uhlenbeck, George Eugene}]
la solution de l'\'equation diff\'erentielle stochastique~:
\begin{displaymath}
dX_t = A\, X_t \, dt + \sigma	\, dB_t,
\end{displaymath} 
o\`u $X$ est \`a valeurs dans $\R^d$, $A$ est une matrice $d\times d$,
$B$ est un brownien dans $\R^n$, et $\sigma$ une matrice $n\times
d$. $X_0$ est suppos\'e de loi $P_0$. 

\paragraph{Applet : processus  d'Ornstein-Uhlenbeck 2D}

\begin{center}
\begin{rawhtml}
<center>
<applet codebase="../site/ornstein-uhlenbeck" code="RANDou2d.class"  width=550 height=450><font color=red>Sorry, you need a Java compatible browser to view this demo.</font></applet>
</center>
\end{rawhtml}
\begin{quote}
Simulation d'un processus d'Ornstein-Uhlenbeck bi-dimensionnel. Tous
les param\`etres peuvent \^etre modifi\'es en cours de calcul (ne pas
oublier le retour chariot pour qu'ils soient pris en compte). 
\end{quote} 
\end{center} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Quelques liens}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{itemize}
\item 
L'\htmladdnormallink{Institut de Statistiques et des Sciences de la
D\'ecision}{http://www.stat.duke.edu/} de l'Universit\'e de Duke
propose un \htmladdnormallink{site d'applets Java}{http://www.stat.duke.edu/sites/java.html} dans le domaine des probabilit\'es et des statistiques.

\item 
Un des sites les plus importants proposant des applications Java est
celui de \htmladdnormallink{Gamelan}{http://www.gamelan.com}.

\end{itemize}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Cr\'edits}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{itemize}
\item David Miglior (Java)
\item Fr\'ed\'eric C\'erou (Conception, Java, Math\'ematiques)
\item Fabien Campillo (Conception, Math\'ematiques)
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{mefisto}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\listoffigures
\printindex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}





$\blacktriangleright$\htmladdnormallink{Paul Pierre Lévy}
{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/\~{}history/Mathematicians/Levy\_Paul.html}

probl\`eme du voyageur de commerce par Kohonen
http://www.tinet.ch/~patol/java/TSP/index.html
