Simson
Geogebra sheet
Coq statement
Lemma Simson: forall A B C O D E F G:point,
X A = 0 -> Y A = 0 ->
equaldistance O A O B ->
equaldistance O A O C ->
equaldistance O A O D ->
orthogonal E D B C ->
collinear B C E ->
orthogonal F D A C ->
collinear A C F ->
orthogonal G D A B ->
collinear A B G ->
collinear E F G
\/ Y C = 0 \/ (X B)^2 = 0 \/ (Y B)^2 = 0 \/ (Y C - Y B)^2 = 0
\/ equal3 B A
\/ equal3 A C \/ (X C - X B)^2 = 0
\/ equal3 B C.
Proof.
geo_begin.
tzRp (X B::Y B::X C::Y C::Y D::nil).
Qed.
Algebraic version
p:= ((u1^4*u2^4+u1^6*u2^2+(u1^2*u2^4+u1^4*u2^2)*u3^2+((-2)*u1^3*u2^4+(-2)*u1^5*u2^2)*u3)*u4^7+((-4)*u1^4*u2^5+(-4)*u1^6*u2^3+((-4)*u1^2*u2^5+(-4)*u1^4*u2^3)*u3^2+(8*u1^3*u2^5+8*u1^5*u2^3)*u3)*u4^6+(6*u1^4*u2^6+7*u1^6*u2^4+u1^8*u2^2+(2*u1^2*u2^4+2*u1^4*u2^2)*u3^4+((-6)*u1^3*u2^4+(-6)*u1^5*u2^2)*u3^3+(6*u1^2*u2^6+13*u1^4*u2^4+7*u1^6*u2^2)*u3^2+((-12)*u1^3*u2^6+(-16)*u1^5*u2^4+(-4)*u1^7*u2^2)*u3)*u4^5+((-4)*u1^4*u2^7+(-6)*u1^6*u2^5+(-2)*u1^8*u2^3+((-6)*u1^2*u2^5+(-6)*u1^4*u2^3)*u3^4+(16*u1^3*u2^5+16*u1^5*u2^3)*u3^3+((-4)*u1^2*u2^7+(-20)*u1^4*u2^5+(-16)*u1^6*u2^3)*u3^2+(8*u1^3*u2^7+16*u1^5*u2^5+8*u1^7*u2^3)*u3)*u4^4+(u1^4*u2^8+2*u1^6*u2^6+u1^8*u2^4+(u1^2*u2^4+u1^4*u2^2)*u3^6+((-4)*u1^3*u2^4+(-4)*u1^5*u2^2)*u3^5+(7*u1^2*u2^6+13*u1^4*u2^4+6*u1^6*u2^2)*u3^4+((-16)*u1^3*u2^6+(-20)*u1^5*u2^4+(-4)*u1^7*u2^2)*u3^3+(u1^2*u2^8+13*u1^4*u2^6+13*u1^6*u2^4+u1^8*u2^2)*u3^2+((-2)*u1^3*u2^8+(-6)*u1^5*u2^6+(-4)*u1^7*u2^4)*u3)*u4^3+(((-2)*u1^2*u2^5+(-2)*u1^4*u2^3)*u3^6+(8*u1^3*u2^5+8*u1^5*u2^3)*u3^5+((-4)*u1^2*u2^7+(-16)*u1^4*u2^5+(-12)*u1^6*u2^3)*u3^4+(8*u1^3*u2^7+16*u1^5*u2^5+8*u1^7*u2^3)*u3^3+((-4)*u1^4*u2^7+(-6)*u1^6*u2^5+(-2)*u1^8*u2^3)*u3^2)*u4^2+((u1^2*u2^6+u1^4*u2^4)*u3^6+((-4)*u1^3*u2^6+(-4)*u1^5*u2^4)*u3^5+(u1^2*u2^8+7*u1^4*u2^6+6*u1^6*u2^4)*u3^4+((-2)*u1^3*u2^8+(-6)*u1^5*u2^6+(-4)*u1^7*u2^4)*u3^3+(u1^4*u2^8+2*u1^6*u2^6+u1^8*u2^4)*u3^2)*u4) *g*h + (((-1)*u1^4*u2^4+(-1)*u1^6*u2^2+((-1)*u1^2*u2^4+(-1)*u1^4*u2^2)*u3^2+(2*u1^3*u2^4+2*u1^5*u2^2)*u3)*u4^7+(4*u1^4*u2^5+4*u1^6*u2^3+(4*u1^2*u2^5+4*u1^4*u2^3)*u3^2+((-8)*u1^3*u2^5+(-8)*u1^5*u2^3)*u3)*u4^6+((-6)*u1^4*u2^6+(-7)*u1^6*u2^4+(-1)*u1^8*u2^2+((-2)*u1^2*u2^4+(-2)*u1^4*u2^2)*u3^4+(6*u1^3*u2^4+6*u1^5*u2^2)*u3^3+((-6)*u1^2*u2^6+(-13)*u1^4*u2^4+(-7)*u1^6*u2^2)*u3^2+(12*u1^3*u2^6+16*u1^5*u2^4+4*u1^7*u2^2)*u3)*u4^5+(4*u1^4*u2^7+6*u1^6*u2^5+2*u1^8*u2^3+(6*u1^2*u2^5+6*u1^4*u2^3)*u3^4+((-16)*u1^3*u2^5+(-16)*u1^5*u2^3)*u3^3+(4*u1^2*u2^7+20*u1^4*u2^5+16*u1^6*u2^3)*u3^2+((-8)*u1^3*u2^7+(-16)*u1^5*u2^5+(-8)*u1^7*u2^3)*u3)*u4^4+((-1)*u1^4*u2^8+(-2)*u1^6*u2^6+(-1)*u1^8*u2^4+((-1)*u1^2*u2^4+(-1)*u1^4*u2^2)*u3^6+(4*u1^3*u2^4+4*u1^5*u2^2)*u3^5+((-7)*u1^2*u2^6+(-13)*u1^4*u2^4+(-6)*u1^6*u2^2)*u3^4+(16*u1^3*u2^6+20*u1^5*u2^4+4*u1^7*u2^2)*u3^3+((-1)*u1^2*u2^8+(-13)*u1^4*u2^6+(-13)*u1^6*u2^4+(-1)*u1^8*u2^2)*u3^2+(2*u1^3*u2^8+6*u1^5*u2^6+4*u1^7*u2^4)*u3)*u4^3+((2*u1^2*u2^5+2*u1^4*u2^3)*u3^6+((-8)*u1^3*u2^5+(-8)*u1^5*u2^3)*u3^5+(4*u1^2*u2^7+16*u1^4*u2^5+12*u1^6*u2^3)*u3^4+((-8)*u1^3*u2^7+(-16)*u1^5*u2^5+(-8)*u1^7*u2^3)*u3^3+(4*u1^4*u2^7+6*u1^6*u2^5+2*u1^8*u2^3)*u3^2)*u4^2+(((-1)*u1^2*u2^6+(-1)*u1^4*u2^4)*u3^6+(4*u1^3*u2^6+4*u1^5*u2^4)*u3^5+((-1)*u1^2*u2^8+(-7)*u1^4*u2^6+(-6)*u1^6*u2^4)*u3^4+(2*u1^3*u2^8+6*u1^5*u2^6+4*u1^7*u2^4)*u3^3+((-1)*u1^4*u2^8+(-2)*u1^6*u2^6+(-1)*u1^8*u2^4)*u3^2)*u4) *f*i + (((-1)*u1^4*u2^4+(-1)*u1^6*u2^2+((-1)*u1^2*u2^4+(-1)*u1^4*u2^2)*u3^2+(2*u1^3*u2^4+2*u1^5*u2^2)*u3)*u4^7+(4*u1^4*u2^5+4*u1^6*u2^3+(4*u1^2*u2^5+4*u1^4*u2^3)*u3^2+((-8)*u1^3*u2^5+(-8)*u1^5*u2^3)*u3)*u4^6+((-6)*u1^4*u2^6+(-7)*u1^6*u2^4+(-1)*u1^8*u2^2+((-2)*u1^2*u2^4+(-2)*u1^4*u2^2)*u3^4+(6*u1^3*u2^4+6*u1^5*u2^2)*u3^3+((-6)*u1^2*u2^6+(-13)*u1^4*u2^4+(-7)*u1^6*u2^2)*u3^2+(12*u1^3*u2^6+16*u1^5*u2^4+4*u1^7*u2^2)*u3)*u4^5+(4*u1^4*u2^7+6*u1^6*u2^5+2*u1^8*u2^3+(6*u1^2*u2^5+6*u1^4*u2^3)*u3^4+((-16)*u1^3*u2^5+(-16)*u1^5*u2^3)*u3^3+(4*u1^2*u2^7+20*u1^4*u2^5+16*u1^6*u2^3)*u3^2+((-8)*u1^3*u2^7+(-16)*u1^5*u2^5+(-8)*u1^7*u2^3)*u3)*u4^4+((-1)*u1^4*u2^8+(-2)*u1^6*u2^6+(-1)*u1^8*u2^4+((-1)*u1^2*u2^4+(-1)*u1^4*u2^2)*u3^6+(4*u1^3*u2^4+4*u1^5*u2^2)*u3^5+((-7)*u1^2*u2^6+(-13)*u1^4*u2^4+(-6)*u1^6*u2^2)*u3^4+(16*u1^3*u2^6+20*u1^5*u2^4+4*u1^7*u2^2)*u3^3+((-1)*u1^2*u2^8+(-13)*u1^4*u2^6+(-13)*u1^6*u2^4+(-1)*u1^8*u2^2)*u3^2+(2*u1^3*u2^8+6*u1^5*u2^6+4*u1^7*u2^4)*u3)*u4^3+((2*u1^2*u2^5+2*u1^4*u2^3)*u3^6+((-8)*u1^3*u2^5+(-8)*u1^5*u2^3)*u3^5+(4*u1^2*u2^7+16*u1^4*u2^5+12*u1^6*u2^3)*u3^4+((-8)*u1^3*u2^7+(-16)*u1^5*u2^5+(-8)*u1^7*u2^3)*u3^3+(4*u1^4*u2^7+6*u1^6*u2^5+2*u1^8*u2^3)*u3^2)*u4^2+(((-1)*u1^2*u2^6+(-1)*u1^4*u2^4)*u3^6+(4*u1^3*u2^6+4*u1^5*u2^4)*u3^5+((-1)*u1^2*u2^8+(-7)*u1^4*u2^6+(-6)*u1^6*u2^4)*u3^4+(2*u1^3*u2^8+6*u1^5*u2^6+4*u1^7*u2^4)*u3^3+((-1)*u1^4*u2^8+(-2)*u1^6*u2^6+(-1)*u1^8*u2^4)*u3^2)*u4) *g*j + ((u1^4*u2^4+u1^6*u2^2+(u1^2*u2^4+u1^4*u2^2)*u3^2+((-2)*u1^3*u2^4+(-2)*u1^5*u2^2)*u3)*u4^7+((-4)*u1^4*u2^5+(-4)*u1^6*u2^3+((-4)*u1^2*u2^5+(-4)*u1^4*u2^3)*u3^2+(8*u1^3*u2^5+8*u1^5*u2^3)*u3)*u4^6+(6*u1^4*u2^6+7*u1^6*u2^4+u1^8*u2^2+(2*u1^2*u2^4+2*u1^4*u2^2)*u3^4+((-6)*u1^3*u2^4+(-6)*u1^5*u2^2)*u3^3+(6*u1^2*u2^6+13*u1^4*u2^4+7*u1^6*u2^2)*u3^2+((-12)*u1^3*u2^6+(-16)*u1^5*u2^4+(-4)*u1^7*u2^2)*u3)*u4^5+((-4)*u1^4*u2^7+(-6)*u1^6*u2^5+(-2)*u1^8*u2^3+((-6)*u1^2*u2^5+(-6)*u1^4*u2^3)*u3^4+(16*u1^3*u2^5+16*u1^5*u2^3)*u3^3+((-4)*u1^2*u2^7+(-20)*u1^4*u2^5+(-16)*u1^6*u2^3)*u3^2+(8*u1^3*u2^7+16*u1^5*u2^5+8*u1^7*u2^3)*u3)*u4^4+(u1^4*u2^8+2*u1^6*u2^6+u1^8*u2^4+(u1^2*u2^4+u1^4*u2^2)*u3^6+((-4)*u1^3*u2^4+(-4)*u1^5*u2^2)*u3^5+(7*u1^2*u2^6+13*u1^4*u2^4+6*u1^6*u2^2)*u3^4+((-16)*u1^3*u2^6+(-20)*u1^5*u2^4+(-4)*u1^7*u2^2)*u3^3+(u1^2*u2^8+13*u1^4*u2^6+13*u1^6*u2^4+u1^8*u2^2)*u3^2+((-2)*u1^3*u2^8+(-6)*u1^5*u2^6+(-4)*u1^7*u2^4)*u3)*u4^3+(((-2)*u1^2*u2^5+(-2)*u1^4*u2^3)*u3^6+(8*u1^3*u2^5+8*u1^5*u2^3)*u3^5+((-4)*u1^2*u2^7+(-16)*u1^4*u2^5+(-12)*u1^6*u2^3)*u3^4+(8*u1^3*u2^7+16*u1^5*u2^5+8*u1^7*u2^3)*u3^3+((-4)*u1^4*u2^7+(-6)*u1^6*u2^5+(-2)*u1^8*u2^3)*u3^2)*u4^2+((u1^2*u2^6+u1^4*u2^4)*u3^6+((-4)*u1^3*u2^6+(-4)*u1^5*u2^4)*u3^5+(u1^2*u2^8+7*u1^4*u2^6+6*u1^6*u2^4)*u3^4+((-2)*u1^3*u2^8+(-6)*u1^5*u2^6+(-4)*u1^7*u2^4)*u3^3+(u1^4*u2^8+2*u1^6*u2^6+u1^8*u2^4)*u3^2)*u4) *i*j + ((u1^4*u2^4+u1^6*u2^2+(u1^2*u2^4+u1^4*u2^2)*u3^2+((-2)*u1^3*u2^4+(-2)*u1^5*u2^2)*u3)*u4^7+((-4)*u1^4*u2^5+(-4)*u1^6*u2^3+((-4)*u1^2*u2^5+(-4)*u1^4*u2^3)*u3^2+(8*u1^3*u2^5+8*u1^5*u2^3)*u3)*u4^6+(6*u1^4*u2^6+7*u1^6*u2^4+u1^8*u2^2+(2*u1^2*u2^4+2*u1^4*u2^2)*u3^4+((-6)*u1^3*u2^4+(-6)*u1^5*u2^2)*u3^3+(6*u1^2*u2^6+13*u1^4*u2^4+7*u1^6*u2^2)*u3^2+((-12)*u1^3*u2^6+(-16)*u1^5*u2^4+(-4)*u1^7*u2^2)*u3)*u4^5+((-4)*u1^4*u2^7+(-6)*u1^6*u2^5+(-2)*u1^8*u2^3+((-6)*u1^2*u2^5+(-6)*u1^4*u2^3)*u3^4+(16*u1^3*u2^5+16*u1^5*u2^3)*u3^3+((-4)*u1^2*u2^7+(-20)*u1^4*u2^5+(-16)*u1^6*u2^3)*u3^2+(8*u1^3*u2^7+16*u1^5*u2^5+8*u1^7*u2^3)*u3)*u4^4+(u1^4*u2^8+2*u1^6*u2^6+u1^8*u2^4+(u1^2*u2^4+u1^4*u2^2)*u3^6+((-4)*u1^3*u2^4+(-4)*u1^5*u2^2)*u3^5+(7*u1^2*u2^6+13*u1^4*u2^4+6*u1^6*u2^2)*u3^4+((-16)*u1^3*u2^6+(-20)*u1^5*u2^4+(-4)*u1^7*u2^2)*u3^3+(u1^2*u2^8+13*u1^4*u2^6+13*u1^6*u2^4+u1^8*u2^2)*u3^2+((-2)*u1^3*u2^8+(-6)*u1^5*u2^6+(-4)*u1^7*u2^4)*u3)*u4^3+(((-2)*u1^2*u2^5+(-2)*u1^4*u2^3)*u3^6+(8*u1^3*u2^5+8*u1^5*u2^3)*u3^5+((-4)*u1^2*u2^7+(-16)*u1^4*u2^5+(-12)*u1^6*u2^3)*u3^4+(8*u1^3*u2^7+16*u1^5*u2^5+8*u1^7*u2^3)*u3^3+((-4)*u1^4*u2^7+(-6)*u1^6*u2^5+(-2)*u1^8*u2^3)*u3^2)*u4^2+((u1^2*u2^6+u1^4*u2^4)*u3^6+((-4)*u1^3*u2^6+(-4)*u1^5*u2^4)*u3^5+(u1^2*u2^8+7*u1^4*u2^6+6*u1^6*u2^4)*u3^4+((-2)*u1^3*u2^8+(-6)*u1^5*u2^6+(-4)*u1^7*u2^4)*u3^3+(u1^4*u2^8+2*u1^6*u2^6+u1^8*u2^4)*u3^2)*u4) *f*k + (((-1)*u1^4*u2^4+(-1)*u1^6*u2^2+((-1)*u1^2*u2^4+(-1)*u1^4*u2^2)*u3^2+(2*u1^3*u2^4+2*u1^5*u2^2)*u3)*u4^7+(4*u1^4*u2^5+4*u1^6*u2^3+(4*u1^2*u2^5+4*u1^4*u2^3)*u3^2+((-8)*u1^3*u2^5+(-8)*u1^5*u2^3)*u3)*u4^6+((-6)*u1^4*u2^6+(-7)*u1^6*u2^4+(-1)*u1^8*u2^2+((-2)*u1^2*u2^4+(-2)*u1^4*u2^2)*u3^4+(6*u1^3*u2^4+6*u1^5*u2^2)*u3^3+((-6)*u1^2*u2^6+(-13)*u1^4*u2^4+(-7)*u1^6*u2^2)*u3^2+(12*u1^3*u2^6+16*u1^5*u2^4+4*u1^7*u2^2)*u3)*u4^5+(4*u1^4*u2^7+6*u1^6*u2^5+2*u1^8*u2^3+(6*u1^2*u2^5+6*u1^4*u2^3)*u3^4+((-16)*u1^3*u2^5+(-16)*u1^5*u2^3)*u3^3+(4*u1^2*u2^7+20*u1^4*u2^5+16*u1^6*u2^3)*u3^2+((-8)*u1^3*u2^7+(-16)*u1^5*u2^5+(-8)*u1^7*u2^3)*u3)*u4^4+((-1)*u1^4*u2^8+(-2)*u1^6*u2^6+(-1)*u1^8*u2^4+((-1)*u1^2*u2^4+(-1)*u1^4*u2^2)*u3^6+(4*u1^3*u2^4+4*u1^5*u2^2)*u3^5+((-7)*u1^2*u2^6+(-13)*u1^4*u2^4+(-6)*u1^6*u2^2)*u3^4+(16*u1^3*u2^6+20*u1^5*u2^4+4*u1^7*u2^2)*u3^3+((-1)*u1^2*u2^8+(-13)*u1^4*u2^6+(-13)*u1^6*u2^4+(-1)*u1^8*u2^2)*u3^2+(2*u1^3*u2^8+6*u1^5*u2^6+4*u1^7*u2^4)*u3)*u4^3+((2*u1^2*u2^5+2*u1^4*u2^3)*u3^6+((-8)*u1^3*u2^5+(-8)*u1^5*u2^3)*u3^5+(4*u1^2*u2^7+16*u1^4*u2^5+12*u1^6*u2^3)*u3^4+((-8)*u1^3*u2^7+(-16)*u1^5*u2^5+(-8)*u1^7*u2^3)*u3^3+(4*u1^4*u2^7+6*u1^6*u2^5+2*u1^8*u2^3)*u3^2)*u4^2+(((-1)*u1^2*u2^6+(-1)*u1^4*u2^4)*u3^6+(4*u1^3*u2^6+4*u1^5*u2^4)*u3^5+((-1)*u1^2*u2^8+(-7)*u1^4*u2^6+(-6)*u1^6*u2^4)*u3^4+(2*u1^3*u2^8+6*u1^5*u2^6+4*u1^7*u2^4)*u3^3+((-1)*u1^4*u2^8+(-2)*u1^6*u2^6+(-1)*u1^8*u2^4)*u3^2)*u4) *h*k
F:= [
(2*u2) *m + (2*u1) *n + ((-1)*u1^2+(-1)*u2^2) ;
(2*u4) *m + (2*u3) *n + ((-1)*u3^2+(-1)*u4^2) ;
((-1)) *l^2 + (2) *l*n + (2*u5) *m + ((-1)*u5^2) ;
(u2+(-1)*u4) *j + (u1+(-1)*u3) *k + ((-1)*u1+u3) *l + (((-1)*u2+u4)*u5) ;
(u1+(-1)*u3) *j + ((-1)*u2+u4) *k + (u2*u3+(-1)*u1*u4) ;
((-1)*u4) *h + ((-1)*u3) *i + (u3) *l + (u4*u5) ;
((-1)*u3) *h + (u4) *i ;
((-1)*u2) *f + ((-1)*u1) *g + (u1) *l + (u2*u5) ;
((-1)*u1) *f + (u2) *g ;
];
Certificate
CR:=[
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