Pappus
Geogebra sheet
Coq statement
Lemma Pappus forall A B C A1 B1 C1 P Q S:point,
X A = 0 -> Y A = 0 -> Y B = 0 -> Y C = 0 ->
collinear A1 B1 C1 ->
collinear A B1 P -> collinear A1 B P ->
collinear A C1 Q -> collinear A1 C Q ->
collinear B C1 S -> collinear B1 C S ->
collinear P Q S
\/ (Y A1 - Y B1)^2=0 \/ (X A = X B1)
\/ (X A1 = X C) \/ (X C = X B1)
\/ parallel A B1 A1 B \/ parallel A C1 A1 C \/ parallel B C1 B1 C.
Proof.
geo_begin.
tzRpv 0%Z (X B::X A1::Y A1::X B1::Y B1::X C::Y C1::nil)
(X B
:: X A1
:: Y A1
:: X B1
:: Y B1
:: X C
:: Y C1
:: X C1 :: Y P :: X P :: Y Q :: X Q :: Y S :: X S :: nil).
Qed.
Algebraic version
p:= (((((-1)*u2^2+u1*u2)*u3)*u4^2)*u5^4+(u2*u3^2*u4^3+((2*u2^2+(-2)*u1*u2)*u3^2)*u4^2)*u5^3+((-2)*u2*u3^3*u4^3+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3^3)*u4^2)*u5^2+u2*u3^4*u4^3*u5+((((u1+(-1)*u2)*u3)*u4)*u5^4+(u3^2*u4^2+(((-2)*u1+2*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+((-2)*u3^3*u4^2+((u1+(-1)*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+u3^4*u4^2*u5)*u6^2+(((((-1)*u1+u2)*u3)*u4^2+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3)*u4)*u5^4+((-1)*u3^2*u4^3+((2*u1+(-3)*u2)*u3^2)*u4^2+(((-2)*u2^2+2*u1*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+(2*u3^3*u4^3+(((-1)*u1+3*u2)*u3^3)*u4^2+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+((-1)*u3^4*u4^3+(-1)*u2*u3^4*u4^2)*u5)*u6) *h^2*j*k + ((((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3)*u4^2)*u5^4+((-1)*u2*u3^2*u4^3+(((-2)*u2^2+2*u1*u2)*u3^2)*u4^2)*u5^3+(2*u2*u3^3*u4^3+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3^3)*u4^2)*u5^2+(-1)*u2*u3^4*u4^3*u5+(((((-1)*u1+u2)*u3)*u4)*u5^4+((-1)*u3^2*u4^2+((2*u1+(-2)*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+(2*u3^3*u4^2+(((-1)*u1+u2)*u3^3)*u4)*u5^2+(-1)*u3^4*u4^2*u5)*u6^2+((((u1+(-1)*u2)*u3)*u4^2+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3)*u4)*u5^4+(u3^2*u4^3+(((-2)*u1+3*u2)*u3^2)*u4^2+((2*u2^2+(-2)*u1*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+((-2)*u3^3*u4^3+((u1+(-3)*u2)*u3^3)*u4^2+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+(u3^4*u4^3+u2*u3^4*u4^2)*u5)*u6) *h^2*i*l + ((((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3)*u4^2)*u5^4+((-1)*u2*u3^2*u4^3+(((-2)*u2^2+2*u1*u2)*u3^2)*u4^2)*u5^3+(2*u2*u3^3*u4^3+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3^3)*u4^2)*u5^2+(-1)*u2*u3^4*u4^3*u5+(((((-1)*u1+u2)*u3)*u4)*u5^4+((-1)*u3^2*u4^2+((2*u1+(-2)*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+(2*u3^3*u4^2+(((-1)*u1+u2)*u3^3)*u4)*u5^2+(-1)*u3^4*u4^2*u5)*u6^2+((((u1+(-1)*u2)*u3)*u4^2+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3)*u4)*u5^4+(u3^2*u4^3+(((-2)*u1+3*u2)*u3^2)*u4^2+((2*u2^2+(-2)*u1*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+((-2)*u3^3*u4^3+((u1+(-3)*u2)*u3^3)*u4^2+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+(u3^4*u4^3+u2*u3^4*u4^2)*u5)*u6) *h^2*j*m + (((((-1)*u2^2+u1*u2)*u3)*u4^2)*u5^4+(u2*u3^2*u4^3+((2*u2^2+(-2)*u1*u2)*u3^2)*u4^2)*u5^3+((-2)*u2*u3^3*u4^3+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3^3)*u4^2)*u5^2+u2*u3^4*u4^3*u5+((((u1+(-1)*u2)*u3)*u4)*u5^4+(u3^2*u4^2+(((-2)*u1+2*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+((-2)*u3^3*u4^2+((u1+(-1)*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+u3^4*u4^2*u5)*u6^2+(((((-1)*u1+u2)*u3)*u4^2+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3)*u4)*u5^4+((-1)*u3^2*u4^3+((2*u1+(-3)*u2)*u3^2)*u4^2+(((-2)*u2^2+2*u1*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+(2*u3^3*u4^3+(((-1)*u1+3*u2)*u3^3)*u4^2+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+((-1)*u3^4*u4^3+(-1)*u2*u3^4*u4^2)*u5)*u6) *h^2*l*m + (((((-1)*u2^2+u1*u2)*u3)*u4^2)*u5^4+(u2*u3^2*u4^3+((2*u2^2+(-2)*u1*u2)*u3^2)*u4^2)*u5^3+((-2)*u2*u3^3*u4^3+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3^3)*u4^2)*u5^2+u2*u3^4*u4^3*u5+((((u1+(-1)*u2)*u3)*u4)*u5^4+(u3^2*u4^2+(((-2)*u1+2*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+((-2)*u3^3*u4^2+((u1+(-1)*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+u3^4*u4^2*u5)*u6^2+(((((-1)*u1+u2)*u3)*u4^2+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3)*u4)*u5^4+((-1)*u3^2*u4^3+((2*u1+(-3)*u2)*u3^2)*u4^2+(((-2)*u2^2+2*u1*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+(2*u3^3*u4^3+(((-1)*u1+3*u2)*u3^3)*u4^2+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+((-1)*u3^4*u4^3+(-1)*u2*u3^4*u4^2)*u5)*u6) *h^2*i*n + ((((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3)*u4^2)*u5^4+((-1)*u2*u3^2*u4^3+(((-2)*u2^2+2*u1*u2)*u3^2)*u4^2)*u5^3+(2*u2*u3^3*u4^3+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3^3)*u4^2)*u5^2+(-1)*u2*u3^4*u4^3*u5+(((((-1)*u1+u2)*u3)*u4)*u5^4+((-1)*u3^2*u4^2+((2*u1+(-2)*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+(2*u3^3*u4^2+(((-1)*u1+u2)*u3^3)*u4)*u5^2+(-1)*u3^4*u4^2*u5)*u6^2+((((u1+(-1)*u2)*u3)*u4^2+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3)*u4)*u5^4+(u3^2*u4^3+(((-2)*u1+3*u2)*u3^2)*u4^2+((2*u2^2+(-2)*u1*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+((-2)*u3^3*u4^3+((u1+(-3)*u2)*u3^3)*u4^2+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+(u3^4*u4^3+u2*u3^4*u4^2)*u5)*u6) *h^2*k*n + ((((u1*u2^2+(-1)*u1^2*u2)*u3)*u4^2)*u5^4+((-1)*u1*u2*u3^2*u4^3+(((-2)*u1*u2^2+2*u1^2*u2)*u3^2)*u4^2)*u5^3+(2*u1*u2*u3^3*u4^3+((u1*u2^2+(-1)*u1^2*u2)*u3^3)*u4^2)*u5^2+(-1)*u1*u2*u3^4*u4^3*u5+(((((-1)*u1^2+u1*u2)*u3)*u4)*u5^4+((-1)*u1*u3^2*u4^2+((2*u1^2+(-2)*u1*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+(2*u1*u3^3*u4^2+(((-1)*u1^2+u1*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+(-1)*u1*u3^4*u4^2*u5)*u6^2+((((u1^2+(-1)*u1*u2)*u3)*u4^2+(((-1)*u1*u2^2+u1^2*u2)*u3)*u4)*u5^4+(u1*u3^2*u4^3+(((-2)*u1^2+3*u1*u2)*u3^2)*u4^2+((2*u1*u2^2+(-2)*u1^2*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+((-2)*u1*u3^3*u4^3+((u1^2+(-3)*u1*u2)*u3^3)*u4^2+(((-1)*u1*u2^2+u1^2*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+(u1*u3^4*u4^3+u1*u2*u3^4*u4^2)*u5)*u6+((-1)*u2*u3^4*u4^4+((u2^3+(-1)*u1*u2^2)*u4^2)*u5^4+((-1)*u1*u2*u3*u4^3+(((-2)*u2^3+2*u1*u2^2)*u3)*u4^2)*u5^3+((-1)*u2*u3^2*u4^4+2*u1*u2*u3^2*u4^3+((u2^3+(-1)*u1*u2^2)*u3^2)*u4^2)*u5^2+(2*u2*u3^3*u4^4+(-1)*u1*u2*u3^3*u4^3)*u5+(u3^4*u4^2+((u1+(-1)*u2)*u4)*u5^4+(u3*u4^2+(((-1)*u1+u2)*u3)*u4)*u5^3+((-1)*u3^2*u4^2+(((-1)*u1+u2)*u3^2)*u4)*u5^2+((-1)*u3^3*u4^2+((u1+(-1)*u2)*u3^3)*u4)*u5)*u6^3+((-2)*u3^4*u4^3+(-1)*u2*u3^4*u4^2+(((-1)*u1+u2)*u4^2+(2*u2^2+(-2)*u1*u2)*u4)*u5^4+((-1)*u3*u4^3+(-2)*u2*u3*u4^2+(((-3)*u2^2+3*u1*u2)*u3)*u4)*u5^3+3*u1*u3^2*u4^2*u5^2+(3*u3^3*u4^3+(((-2)*u1+2*u2)*u3^3)*u4^2+((u2^2+(-1)*u1*u2)*u3^3)*u4)*u5)*u6^2+(u3^4*u4^4+2*u2*u3^4*u4^3+(((-2)*u2^2+2*u1*u2)*u4^2+((-1)*u2^3+u1*u2^2)*u4)*u5^4+(((u1+u2)*u3)*u4^3+((3*u2^2+(-2)*u1*u2)*u3)*u4^2+((2*u2^3+(-2)*u1*u2^2)*u3)*u4)*u5^3+(u3^2*u4^4+(-2)*u1*u3^2*u4^3+(-2)*u1*u2*u3^2*u4^2+(((-1)*u2^3+u1*u2^2)*u3^2)*u4)*u5^2+((-2)*u3^3*u4^4+((u1+(-3)*u2)*u3^3)*u4^3+(((-1)*u2^2+2*u1*u2)*u3^3)*u4^2)*u5)*u6)*u7) *h*j*k + (((((-1)*u1*u2^2+u1^2*u2)*u3)*u4^2)*u5^4+(u1*u2*u3^2*u4^3+((2*u1*u2^2+(-2)*u1^2*u2)*u3^2)*u4^2)*u5^3+((-2)*u1*u2*u3^3*u4^3+(((-1)*u1*u2^2+u1^2*u2)*u3^3)*u4^2)*u5^2+u1*u2*u3^4*u4^3*u5+((((u1^2+(-1)*u1*u2)*u3)*u4)*u5^4+(u1*u3^2*u4^2+(((-2)*u1^2+2*u1*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+((-2)*u1*u3^3*u4^2+((u1^2+(-1)*u1*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+u1*u3^4*u4^2*u5)*u6^2+(((((-1)*u1^2+u1*u2)*u3)*u4^2+((u1*u2^2+(-1)*u1^2*u2)*u3)*u4)*u5^4+((-1)*u1*u3^2*u4^3+((2*u1^2+(-3)*u1*u2)*u3^2)*u4^2+(((-2)*u1*u2^2+2*u1^2*u2)*u3^2)*u4)*u5^3+(2*u1*u3^3*u4^3+(((-1)*u1^2+3*u1*u2)*u3^3)*u4^2+((u1*u2^2+(-1)*u1^2*u2)*u3^3)*u4)*u5^2+((-1)*u1*u3^4*u4^3+(-1)*u1*u2*u3^4*u4^2)*u5)*u6+(u2*u3^4*u4^4+(((-1)*u2^3+u1*u2^2)*u4^2)*u5^4+(u1*u2*u3*u4^3+((2*u2^3+(-2)*u1*u2^2)*u3)*u4^2)*u5^3+(u2*u3^2*u4^4+(-2)*u1*u2*u3^2*u4^3+(((-1)*u2^3+u1*u2^2)*u3^2)*u4^2)*u5^2+((-2)*u2*u3^3*u4^4+u1*u2*u3^3*u4^3)*u5+((-1)*u3^4*u4^2+(((-1)*u1+u2)*u4)*u5^4+((-1)*u3*u4^2+((u1+(-1)*u2)*u3)*u4)*u5^3+(u3^2*u4^2+((u1+(-1)*u2)*u3^2)*u4)*u5^2+(u3^3*u4^2+(((-1)*u1+u2)*u3^3)*u4)*u5)*u6^3+(2*u3^4*u4^3+u2*u3^4*u4^2+((u1+(-1)*u2)*u4^2+((-2)*u2^2+2*u1*u2)*u4)*u5^4+(u3*u4^3+2*u2*u3*u4^2+((3*u2^2+(-3)*u1*u2)*u3)*u4)*u5^3+(-3)*u1*u3^2*u4^2*u5^2+((-3)*u3^3*u4^3+((2*u1+(-2)*u2)*u3^3)*u4^2+(((-1)*u2^2+u1*u2)*u3^3)*u4)*u5)*u6^2+((-1)*u3^4*u4^4+(-2)*u2*u3^4*u4^3+((2*u2^2+(-2)*u1*u2)*u4^2+(u2^3+(-1)*u1*u2^2)*u4)*u5^4+((((-1)*u1+(-1)*u2)*u3)*u4^3+(((-3)*u2^2+2*u1*u2)*u3)*u4^2+(((-2)*u2^3+2*u1*u2^2)*u3)*u4)*u5^3+((-1)*u3^2*u4^4+2*u1*u3^2*u4^3+2*u1*u2*u3^2*u4^2+((u2^3+(-1)*u1*u2^2)*u3^2)*u4)*u5^2+(2*u3^3*u4^4+(((-1)*u1+3*u2)*u3^3)*u4^3+((u2^2+(-2)*u1*u2)*u3^3)*u4^2)*u5)*u6)*u7) *h*i*l + 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*h*j*m + 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*l*m + 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*k*n
F:= [
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((-1)) *h*m + (u1) *m + (u7) *n + ((-1)*u1*u7) ;
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];
Certificate
CR:=[
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