1 - On ajoute un élément bottom à l'ensemble des entiers naturels, et
l'on considère l'ordre plat tel que bottom est plus petit que tous les 
nombres et deux nombres différents sont incomparables.  On considère
également l'ordre induit sur les fonctions de type

   V -> int_bot

comparer, pour cet ordre, les fonctions suivante:

\sigma_\emptyset   (== \lambda v.bottom)

\sigma_1 = \sigma_\emptyset[x <- 1][y<-2]

\sigma_2 = \sigma_\emptyset[x <- 1]

\sigma_3 = \sigma_\emptyset[y <- 2]

\sigma_4 = \sigma_\emptyset[x <- 3]

\sigma_5 \sigma_\emptyset[x <- 3][y <- 2]



2 - On ajoute un élément bottom à l'ensemble des fonctions de type

   V -> int_bot

et l'on considère l'ordre plat tel que bottom est plus petit que
toutes les fonctions et deux fonctions différentes sont incomparables.
On considère également l'ordre induit sur les fonctions de type

(V -> int_bot) -> (V -> int_bot)_bot

comparer pour cet ordre les fonctions suivantes:

f_0 = \lambda \sigma. bottom

f_1 = \lambda \sigma. si \sigma(y)=bottom ou \sigma(x)=bottom 
                       alors bottom sinon
      si \sigma(y) > \sigma(x) alors bottom sinon \sigma

f_2 = \lambda \sigma. si \sigma(y)=bottom ou \sigma(x)=bottom
                       alors bottom sinon
      si \sigma(y) > \sigma(x) alors \sigma[x <- \sigma(x)+1]
      sinon \sigma

f_3 = \lambda \sigma. si \sigma(y)=bottom ou \sigma(x)=bottom
                       alors bottom sinon
      si \sigma(y) > \sigma(x) alors
          si \sigma(y) > \sigma(x) + 1 alors bottom
          sinon sigma[x <- \sigma(x) + 1]
      sinon \sigma

f_4 = \lambda \sigma. si \sigma(y)=bottom ou \sigma(x)=bottom
                       alors bottom sinon
      si \sigma(y) > \sigma(x) alors sigma[x<-\sigma(y)] sinon \sigma


3 - On considère l'ensemble des parties de NxN (l'ensemble des couples
de nombres naturels) munis de l'ordre de l'inclusion.  Ceci constitue
un ordre partiel complet.

a - montrer que la fonction de l'ensemble F définie par:

   F(Y) = {(n,n) | n elt de N} union {(n,m+1) | (n,m) elnt de Y}

est une fonction monotone.

b - calculer les ensembles suivants:

   F(\emptyset)

   F(F(\emptyset))

   F^3(\emptyset)

c - montrer que F est continue.

d - décrire l'ensemble qui est le plus petit point fixe de F.