Démonstration de la propriété 5.2

Soit $G(x_G,y_G)$ l'isobarycentre de l'ensemble des points $\{ P_1, \ldots, P_n \}$.
On a $\forall k \in \llbracket 1,n \rrbracket$ , $P_kG^2 = (x_G - x_k)^2 + (y_G - y_k)^2$.
De plus, d'après la définition 5.1 on a : $x_G = \frac{\sum_{i=1}^{i=n}x_i}{n}$ et $y_G = \frac{\sum_{i=1}^{i=n}y_i}{n}$

D'où $P_kG^2$	$=$	$\frac{1}{n^2} \left( \sum_{i=1}^{i=n}x_i - nx_k \right)^2 + \frac{1}{n^2} \left( \sum_{i=1}^{i=n}y_i - ny_k \right)^2$
	$=$	$\frac{1}{n^2} \left(\sum_{i=1}^{i=n}(x_i - x_k) \right)^2 + \frac{1}{n^2} \left(\sum_{i=1}^{i=n}(y_i - y_k) \right)^2$
	$=$	$\frac{1}{n^2} \left[ \sum_{i=1}^{i=n}(x_i - x_k)^2 + 2\sum_{i,j=1}^{i,j=n}(x_i-x_k)(x_j-x_k)\right.$
		$\left. + \sum_{i=1}^{i=n}(y_i - y_k)^2 + 2\sum_{i,j=1}^{i,j=n}(y_i-y_k)(y_j-y_k) \right]$
Or $\sum_{i,j=1}^{i,j=n}(x_i - x_j)^2$	$=$	$\sum_{i,j=1}^{i,j=n}\left((x_i - x_k) - (x_j - x_k)\right)^2$
	$=$	$2\sum_{i=1}^{i=n}(x_i - x_k)^2 - 2\sum_{i,j=1}^{i,j=n}(x_i - x_k)(x_j - x_k)$
Donc $P_kG^2$	$=$	$\frac{1}{n^2} \left[ \sum_{i=1}^{i=n}(x_i - x_k)^2 + 2\sum_{i=1}^{i=n}(x_i - x_k)^2 - \sum_{i,j=1}^{i,j=n}(x_i-x_j)^2 \right.$
		$\left. + \sum_{i=1}^{i=n}(y_i - y_k)^2 + 2\sum_{i=1}^{i=n}(y_i - y_k)^2 - \sum_{i,j=1}^{i,j=n}(y_i-y_j)^2 \right]$
	$=$	$\frac{1}{n^2} \left( 3\sum_{i=1}^{i=n}P_iP_k - \sum_{i,j=1}^{i,j=n}P_iP_j \right)$

Finalement on peut simplifier l'écriture et $\forall k \in \llbracket 1,n \rrbracket$ on a :

$$P_kG^2 = \frac{1}{n^2} \left( 2\sum_{i=1}^{i=n}{P_iP_k^2}-\sum_{i,j=1;i,j \neq k}^{i,j=n}{P_iP_j^2} \right)$$

$\square$.