24.1 Singularités de robots parallèles

Posture du robot: définie par les coordonnées $x,y,z$ de $C$ et 3 angles de rotation $\psi$, $\theta$, $\phi$

Équilibre mécanique du robot:

• ${\cal F}$: forces/moments exercés sur la plate-forme
• ${\bf\tau}$: forces dans les jambes
• ${\cal F}= J^{-T}(x,y,z,\psi,\theta, \phi){\bf\tau}$, $J$: matrice jacobienne du robot

Singularités: si $\vert J^{-1}\vert=0$

Problème:
Déterminer l'absence de singularités pour un robot donné quelque soit sa posture dans un espace de travail donné

Espace de travail:

• $x \in X, y \in Y,\ldots$ (espace cartésien)
• $\{x,y,z,\psi,\theta, \phi\}$ tel que $F_i(x,y,z,\psi,\theta, \phi) \le 0$

$$J^{-1}_i = (( \frac{A_iB_i}{\rho_i}~~~\frac{ CB_i \times A_iB_i}{\rho_i}))$$

soit

$$M_i = (( A_iB_i~~~ CB_i \times A_iB_i))$$

si $\vert J^{-1}\vert$=0 $\Leftrightarrow$ $\vert M\vert$=0

$$\hspace*{-2cm}\vert M\vert= \sum a_i x^{j_1} y^{j_2} z^{j_3}... ...{j_6}(\theta)cos^{j_7}(\theta)\sin^{j_8}(\phi)\cos^{j_9}(\phi)$$

• les coefficients $a_i$ sont constants pour un robot de géométrie donnée
• mais ils peuvent être définis par des intervalles de largeur faible (erreur de fabrication)
• les coefficients $j_k$ sont constants
• on peut supposer que l'on connaît un point $U$ dans l'espace de travail et calculer le signe de $\vert M(U)\vert$ en ce point (on supposera ici que $\vert M(U)\vert >0$

L'important dans le problème est de prouver l'existence ou l'absence de singularités MAIS pas de localiser une singularité

• si l'on peut trouver une posture $V$ où $\vert M(V)\vert <0$ alors il existe une singularité entre $U, V$
• s'il n'existe pas de posture où $\vert M(V)\vert <0$, alors il n'y a pas de singularité dans l'espace de travail

• on peut facilement prendre en compte les contraintes: si $\underline{F_i}>0$ suppression de la boîte
• on peut gérer les incertitudes du modèle