Thèse:
Approche effective de la théorie des invariants des groupes classiques
B. Mourrain,Centre de Mathématiques de l'École Polytechnique, Septembre 1991.
Résumé.
Aborder la géométrie par le calcul formel, c'est-à-dire
calculer avec des grandeurs intrinsèques, tel est le sujet de
cette thèse.
On montre d'abord comment cette approche,
utilisant des règles de réécriture, nous permet, en
général, de
dégager les principales propriétés topologiques et
géométriques des algèbres dans lesquelles on se place.
Nous appliquons ensuite, en étendant certains résultats concernant les
algèbres de Hodge, ces
techniques aux invariants des groupes linéaires, orthogonaux et
symplectiques, qui sont quant-à-eux munis d'une structure
combinatoire caractérisant leurs propriétés
algébriques.
Les configurations de points en géométrie projective sont
ensuite étudiées et on montre comment, à partir d'une
opération d'élimination, construire un système de
règles, manipulant des ``quantités intrinsèques'' et
permettant, par exemple, de vérifier automatiquement les
propriétés génériques.
Dans le même esprit, on aborde ensuite les
problèmes propres au calcul formel sur les matrices
représentées ici par des variables et donc indépendamment d'un
quelconque repère.
Enfin, l'aspect informatique et la mise en pratique des algorithmes
précédents, à l'aide d'outils permettant ``d'oublier'' le codage des objets,
sont développés.
Mots-clés: géométrie, algèbre, théorie des
invariants, calcul formel, algèbre de
redressement, démonstration automatique, identités
de matrices.
Abstract. This thesis is devoted to computational invariant
theory. We first show how the use of general rewriting rules, can give the
principal topological and geometrical properties of the algebra in
which we want to compute. Then, extending results on Hodge Algebras,
we apply these techniques to the invariants of the linear, orthogonal
and symplectic group, where combinatorial structures describe
their algebraic characteristics.
We concentrate then on configurations of points in projective
geometry. Constructing rules, that deal directly with intrinsic quantities,
we show how to check automatically generic properties.
Similary, symbolic computations with matrices are studied. Here,
matrices are represented by
variables, in a way which is also independent of any reference.
Finally, the informatic aspects and experimentations of the previous
algorithms, with tools that allow to forget the representation of objects,
are devellopped.
Keywords: geometry, algebra, invariant theory, symbolic computations, straightening algebra, automatic prover in geometry, matrices identities.