{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 257 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
258 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 1 14 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 262 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
263 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times
" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Warning" -1 7 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 255 1 2 
2 2 2 2 1 1 1 3 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 
256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 
0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "T
imes" 1 10 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 27 "DEUG -- MASS1 en  2002-2
003" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 33 "6\350me TP : Extrema et extrema \+
li\351s" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" 
{TEXT 256 59 "I) Fonctions r\351elles d'une variable r\351elle et leur
s extrema" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 454 "Un extremum local
 (minimum et maximum) d'une fonction y=f(x) r\351guli\350re, n'apparai
t qu'en un point d'abscisse x_0 o\371 la d\351riv\351e f' (x_0) s'annu
le. En effet dans cas la tangente au graphe de la fonction f en x_0 es
t donn\351 par (1,f'(x_0))=(1,0), c'est-\340-dire que la tangente en (
x_0,f(x_0)) est horizontale.  En un tel point, si la d\351riv\351e sec
onde n'est pas nulle, le d\351veloppement limit\351 \340 l'ordre 2 au \+
voisinage de x_0 indique s'il s'agit d'un maximum ou " }{TEXT 257 89 "
d'un minimum local. Les mod\350les locaux sont donc (apr\350s translat
ion) les fonctions y=ax^2" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 21 "restart: with(plots):" }}{PARA 7 "" 1 "" {TEXT -1 
50 "Warning, the name changecoords has been redefined\n" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "for a from -5 to 3 by 4 do plot(a*x
^2, x=-2..2, y=-10..10) od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 273 "P
our la fonction y=f(x)=x^3-x^2 -x, on indique ci-dessous les extrema l
ocaux, leur type (minimum ou maximum), le mod\350le local (le \" a \"d
e y=ax^2) et la translation qui y conduit puis on trace sur un m\352me
 graphique au voisinage de l'extrema, la courbe et son mod\350le local
.  " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "solve(diff(x^3-x^2 -
x,x),x):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "taylor(x^3-x^2-
x,x=1,3):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 114 "On translate au poi
nt (1,-1) en posant x=1+X et y=-1+Y, le mod\350le local est alors Y=2X
^2  donc ici a=2. On trace :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 38 "plot(\{x^3-x^2-x,-1+2*(x-1)^2\},x=0..2):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT 264 10 "Exercice :" }{TEXT -1 114 " faites de m\352me avec \+
l'autre extrema. Puis faites de m\352me avec les extrema de la  foncti
on y=sin(x) entre -2 et 2." }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 258 48 "M
od\350les locaux pour les fonctions de 2 variables" }}}{EXCHG {PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 386 "Nous allons g\351n\351raliser aux fonctions de 2
 variables z=f(x,y), l'\351tude pr\351c\351dente. Un extremum apparait
 quand les 2 d\351riv\351es partielles f'_x et f'_y s'annulent, on est
 alors amen\351 \340 \351tudier le mod\350le local donn\351 par le d
\351veloppement limit\351 (DL) \340 l'ordre 2. Commen\347ons par class
ifier ces mod\350les d\351finis par z=a*x^2+b*x*y+c*y^2. On calcule le
 signe de delta= b^2-4*a*c, puis celui de a." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
265 11 "Exercice : " }{TEXT -1 128 "Dans chacun des cas suivants, dite
s s'il s'agit d'un minimum, d'un maximum, d'un point col ou d'un point
 cylindrique. Expliquez." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 
"a:=1: b:=.5: c:=1: Q:= a*x^2+b*x*y+c*y^2: Delta:=b^2-4*a*c: plot3d(Q,
x=-1..1,y=-1..1):" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 88 "a:=-2: b:=.5: c:=-1: Delta:=b^2-4*a*c: Q:= a*x^2+b*x*
y+c*y^2: plot3d(Q,x=-1..1,y=-1..1):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 90 "a:=2: b:=2.5: c:=-1: Q:= a*x^2+b*x*y+c*y^2:\nDelta:=b
^2-4*a*c: plot3d(Q,x=-1..1.5,y=-1..2):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 87 "a:=-1: b:=2: c:=-1: Q:= a*x^2+b*x*y+c*y^2:\nDelta:=b^
2-4*a*c: plot3d(Q,x=-1..1,y=-1..1):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 86 "a:=-2: b:=0: c:=0: Q:= a*x^2+b*x*y+c*y^2:\nDelta:=b^2
-4*a*c: plot3d(Q,x=-1..1,y=-1..1):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 85 "a:=0: b:=0: c:=1: Q:= a*x^2+b*x*y+c*y^2:\nDelta:=b^2-
4*a*c: plot3d(Q,x=-1..1,y=-1..1):" }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 
259 20 "D\351veloppement limit\351" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 228 "Le DL d'une fonction r\351guli\350re \340 2 variables s'obtien
t par la commande mtaylor, lisez le Help l\340-dessus. Dessinez les gr
aphes de la fonction et du DL avec des couleurs diff\351rentes, puis f
aites tourner pour mieux voir le contact." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 39 "DL:=mtaylor(cos(x-y)+cos(x), [x,y], 3):" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 127 "with(plots): A:=plot3d(\{cos(x-y)+
cos(x)\},x=-3..3,y=-3..3,color=blue):\nB:=plot3d(\{DL\},x=-2..2,y=-2..
2,color=red):display(\{B,A\}):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 260 
10 "Exercice: " }{TEXT -1 269 "Adapter l'exemple pr\351c\351dent pour \+
obtenir les autres types de points sp\351ciaux vu dans le paragraphe p
r\351c\351dent.\nOn voit que pour trouver les extrema il suffit de tro
uver les points o\371 les 2 d\351riv\351es partielles de  z=f(x,y) s'a
nnulent puis d'\351tudier les DL en ces points.\n" }{TEXT 261 10 "Exer
cice :" }{TEXT -1 145 " Trouver les extrema de z=f(x,y)=cos(x-y)+cos(x
) pour x compris entre -2 et 4 et y compris entre -1 et 4 .\nVoici une
 indication pour vous aider :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 48 "f:=cos(x-y)+cos(x): fx:=diff(f,x):fy:=diff(f,y):" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 258 "On remarque ici que \{fx=0,fy=0\}\351qui
vaut \340 \{fx + fy=0,fy=0\}. Avec les intervalles impos\351s, ceci im
plique (y=x ou y=x+Pi ou y=x-Pi) et (x=0 ou x=Pi)  . D'o\371 les solut
ions (x=0,y=0) , (x=0, y=Pi) et (x=Pi, y=Pi) et (x=Pi, y=0) . Etudiez \+
le graphe en ces points." }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 262 12 "Ext
rema li\351s" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 415 "En \351conomie, \+
il est souvent int\351ressant de calculer les extrema d'une fonction d
ont les arguments sont li\351s par une relation. Nous allons examiner \+
le cas d'une fonction z=f(x,y), telle que x et y sont li\351s par la r
elation g(x,y)=0. f et g sont r\351guli\350res. Voici un exemple assez
 simple, on a d\351compos\351 la contrainte correspondant \340 la rela
tion g en deux contraintes B et C (selon le signe de y) pour mieux des
siner." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "f:= cos(x-y+1)+co
s(x): g:=x^2-x+y^2:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 173 "A:=
plot3d(\{f\},x=-1..1,y=-1..1,color=blue):\nB:=plot3d([x,sqrt(x-x^2),z]
,x=-1..2,z=-3..3,color=red):\nC:=plot3d([x,-sqrt(x-x^2),z],x=-1..2,z=-
3..3,color=red):\ndisplay(\{A,B,C\}):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT 266 10 "Expliquez " }{TEXT -1 75 "le dessin pr\351c\351dent. Voy
ez vous o\371 sont les extrema li\351s de la fonction f ?" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 277 "Pour les calculer
, il suffit de se ramener \340 une fonction d'une variable en rempla
\347ant y ,dans f(x,y), par  sqrt(-x-x^2) pour obtenir une premi\350re
 fonction F1, puis par -sqrt(-x-x^2) pour obtenir une deuxi\350me fonc
tion F2.  Ensuite, on peut proc\350der comme au premier paragraphe." }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "F1:=subs(y=sqrt(x-x^2),f):
 F2:=subs(y=-sqrt(x-x^2),f):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 74 "F1x:=diff(F1,x): F2x:=diff(F2,x): fsolve(F1x,x,-1..2): fsolve(F2
x,x,0..2):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "On calcule la d\351
riv\351e seconde pour connaitre le type de chaque extrema." }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "evalf(subs(x=.1201931088,diff(F1x,x
))):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "evalf(subs(x=.94647
17953,diff(F2x,x))):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 267 11 "Remarque
 : " }{TEXT -1 136 "On a pu effectuer le calcul pr\351c\351dent car on
 disposait d'une fa\347on d'exprimer y en fonction de x. Mais cela n'e
st pas toujours le cas.  " }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 263 10 "La
grangien" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Dans l'exemple pr\351
c\351dent, on pouvait aussi poser :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 9 "L:=f+l*g:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
29 "Lx:=diff(L,x): Ly:=diff(L,y):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
41 "Puis r\351soudre le systeme \{g=0,Lx=0,Ly=0\}." }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "fsolve(\{g=0,Lx=0,Ly=0\},\{x,y,l\}):" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Remarquez que Maple a du mal \340
 trouver les 2 solutions, aidons le un peu en lui indiquant des domain
es o\371 chercher x." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 85 "fso
lve(\{g=0,Lx=0,Ly=0\},\{x,y,l\},x=0.1..0.2): fsolve(\{g=0,Lx=0,Ly=0\},
\{x,y,l\},x=0.9..1):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 119 "Pour tro
uver le type de l'extrema, on utilise le d\351terminant de la matrice \+
bordante qui s'\351crit de la mani\350re suivante." }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg):" }}{PARA 7 "" 1 "" {TEXT -1 
80 "Warning, the protected names norm and trace have been redefined an
d unprotected\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "M:=matri
x(3,3,[Lxx,Lxy,gx,Lxy,Lyy,gy,gx,gy,0]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 50 "Lxx:=diff(Lx,x): Lxy:=diff(Lx,y): Lyy:=diff(Ly,y):" }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "gx:=diff(g,x):gy:=diff(g,y
):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "dd:=det(M):" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "evalf(subs(\{l = 1.832438861
, y = -.2250842864, x = .9464717953\},dd)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 70 "evalf(subs(\{y = .3251872160, x = .1201931088, l =
 -1.097625762\} ,dd)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "On retr
ouve le maximum et le minimum du paragraphe pr\351c\351dent." }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 268 11 "Exercice : " }{TEXT -1 258 "Calcu
lez les extrema li\351s par la m\351thode du Lagrangien pour la foncti
on \nf(x,y)=x^3-y^2+x contrainte par la relation cos(x)=cos(y) et dans
 le domaine x=-2..2,y=-5..5.\nPuis essayez d'illustrer le probl\350me \+
et le r\351sultat de cet exercice \340 l'aide de graphiques." }}}}
{MARK "0 0 0" 27 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 
2 33 1 1 }