{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" }
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{CSTYLE "" -1 296 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
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{CSTYLE "" -1 301 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
302 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 303 "" 1 10 0 
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{CSTYLE "" -1 306 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
307 "" 1 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
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" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Warning" -1 7 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 255 1 2 
2 2 2 2 1 1 1 3 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Error" -1 8 
1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 255 0 255 1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 }1 
1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 
"Times" 1 10 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 
}{PSTYLE "Normal" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 10 0 0 0 1 2 2 
2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Plot" -1 
258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 10 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 
0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "Times" 1 10 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 
0 1 }{PSTYLE "" 3 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "
" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 
0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 263 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 
0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 264 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 
265 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 
-1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 266 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "
" 0 267 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 
-1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 268 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 0 269 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 270 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 
0 }{PSTYLE "" 0 271 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 272 1 {CSTYLE "" 
-1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 
-1 0 }{PSTYLE "" 0 273 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 274 1 {CSTYLE "
" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 
0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 275 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 276 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 
0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 277 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 
278 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 
-1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 279 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "
" 0 280 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 
-1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 281 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 0 282 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 283 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 
0 }{PSTYLE "" 0 284 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 285 1 {CSTYLE "" 
-1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 
-1 0 }{PSTYLE "" 0 286 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 53 "DEUG -- MASS1 EN 2002-2003\n4EME
 TP : CALCUL MATRICIEL" }{TEXT 289 1 " " }{TEXT 307 24 "ET ALGEBRE LIN
EAIRE  I.\n" }{TEXT 290 75 "Les ; ont tous \351t\351 remplac\351s par \+
des : il vous appartient de les r\351tablir.\n" }}{SECT 0 {PARA 259 "
" 0 "" {TEXT -1 36 "I) Equations lineaires et graphiques" }}{PARA 257 
"" 0 "" {TEXT -1 151 "Une \351quation lin\351aire est une \351quation \+
de la forme ax+by+...=d. Ces \351quations sont tr\350s importantes car
 elle repr\351sente des objets g\351ometriques simples" }{TEXT 257 2 "
. " }{TEXT -1 252 "Lorsque l'\351quation n'a qu'une inconnue, elle rep
r\351sente un point de la droite des r\351els. Lorsque l'\351quation a
 deux inconnues c'est l'\351quation d'une droite dans le plan. Lorsqu'
elle en a trois, c'est l'\351quation d'un plan dans l'espace \340 troi
s dimensions" }{TEXT 258 2 ". " }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 110 "Repr
\351sentons graphiquement une \351quation lin\351aire \340 deux inconn
ues puis une \351quation lin\351aire \340 trois inconnues" }{TEXT 292 
2 ". " }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT 293 12 "Exercice 1: " }{TEXT -1 267 "
On utilise les commandes implicitplot (dans le plan) et  implicitplot3
d (dans l'espace) de Maple, regarder dans Help puis expliquer comment \+
elle agit, comment on fait apparaitre des axes de coordonn\351es et co
mment on fait tourner la figure. Illustrer avec un exemple. " }}}
{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "with(plots):implicitplot(2
*x+3*y=4, x=-10..10,y=-10..10):" }}{PARA 7 "" 1 "" {TEXT -1 50 "Warnin
g, the name changecoords has been redefined\n" }}}{EXCHG {PARA 257 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "implicitplot3d(2*x+4*y-3*z=0,x=-10..10,y=-10..
10,z=-10..10):" }}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Exercice 1 (s
uite) : " }{TEXT 259 294 "Expliquez ce qui se passe si l'on utilise im
plicitplot avec une \351quation lineaire \340 une inconnue ou bien qua
nd on utilise implicitplot3d avec une \351quation lineaire \340 deux i
nconnues (indice : voir votre cours d'alg\350bre lin\351aire sur la di
mension des espaces des solutions des syst\350mes lin\351aires)." }
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 99 "implicitplot(2*x=
4,x=-10..10,y=-10..10):\nimplicitplot3d(2*x+4*y-3=0,x=-10..10,y=-10..1
0,z=-10..10):" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 351 "La commande s
olve de Maple nous permet d'\351crire ces \351quations sous une  forme
 explicite, qui exprime la variable qui apparait en premier en fonctio
n des autres variables. On peut consid\351rer que ces autres variables
 deviennent des param\350tres de la solution et elles ne sont pas cont
raintes, ce que Maple indique en \351crivant une tautologie du genre y
=y." }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "solve(2*x=1): solve(2*x+3*
y=4): solve(y-3*x=4): solve(2*x+4*y-3*z=0):" }}{PARA 257 "" 0 "" 
{TEXT -1 179 "Seul le premier cas nous renvoit une unique solution car
 comme on l'a dit plus haut une \351quation lineaire \340 une inconnue
 est l'equation d'un seul point dont Maple donne l'abscisse" }{TEXT 
260 1 "." }{TEXT -1 165 " Par contre, une droite a une infinit\351 de \+
points, une fa\347on de les d\351crire est de les param\351trer (dans \+
exemple suivant) par l'abscisse x puis d'indiquer que y=3*x+4." }}}
{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT 294 21 "Exercice 1 (suite) : " }{TEXT 
-1 176 "Tracez les graphes correspondants avec plot ou plot3d et compa
rez  avec les resultats pr\351c\351dents. On peut aussi utiliser displ
ay pour placer deux graphes sur un m\352me graphique." }}{PARA 257 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "plot3d([-2*y+3/2*z,y,z],y=-10..10,z=-10..10):
" }}}{SECT 0 {PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 34 "II) Syst\350mes d'\351quat
ions lin\351aires" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 310 "R\351soudre un sy
st\350me d'\351quations lin\351aires c'est chercher les solutions comm
unes \340 une famille d'\351quations. G\351ometriquement, cela revient
 \340 consid\351rer l'intersection des objets g\351om\351triques d\351
finis par ces \351quations. Nous allons comprendre ce qui se passe dan
s le cas d'un syst\350me \340 deux  puis \340 trois inconnues" }{TEXT 
261 1 "." }}}{EXCHG {PARA 258 "" 1 "" {TEXT -1 79 "Regardons tout d'ab
ord un syst\350me de deux \351quations lin\351aires \340 deux inconnue
s " }{TEXT 263 2 ": " }{TEXT -1 16 "ax+by=e, cx+dy=f" }{TEXT 262 2 ". \+
" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 185 "On cherche l'intersection de deux \+
droites, trois cas se presentent alors. Nous allons comparer les r\351
solutions graphiques et les r\351solutions alg\351briques sur des exem
ples significatifs.\n" }{TEXT 295 13 "Exercice 2 : " }{TEXT -1 46 "Exp
liquez et illustrer avec d'autres exemples." }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 
"" {TEXT -1 74 "Lorsque les deux droites se coupent, le systeme admet \+
une solution unique." }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 97 "d1:=impli
citplot(x+y=2,x=-5..5,y=-5..5):\nd2:=implicitplot(x-y=2,x=-5..5,y=-5..
5): display(d1,d2):" }}}{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "so
lve(\{x+y=2,x-y=2\}):" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 134 "Si le
s deux droites ne se coupent pas, alors elles sont parall\350les ou co
nfondues. Voici un cas o\371 elles sont parall\350les et distinctes." 
}}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 104 "d3:=implicitplot(x+2*y=-2,x=-5
..5,y=-5..5):\nd4:=implicitplot(3*x+6*y=8,x=-5..5,y=-5..5): display(d3
,d4):" }}}{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "solve(\{x+2*y=2,
3*x+6*y=2\}):" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Voici un cas o
u les deux droites sont confondues" }{TEXT 264 1 "." }}{PARA 257 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 105 "d5:=implicitplot(4*x-2*y=6,x=-5..5,y=-5..5):\nd
6:=implicitplot(-2*x+y=-3,x=-5..5,y=-5..5): display(d5,d6):" }}}
{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "solve(\{4*x-2*y=6,-2*x+y=-
3\}):" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Passons maintenant aux
 syst\350mes de trois \351quations lin\351aires \340 trois inconnues (
x,y,z) :" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 104 "ax+by+cz=u ,dx+ey+fz=v , g
x+hy+iz=w, les 12 lettres a,b,c,d,e,f,g,h,i,u,v,w d\351signent des nom
bres r\351els." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 296 59 "Il y a plusieurs cas \+
\340 consid\351rer en prenant des exemples.\n" }{TEXT 297 13 "Exercice
 3 : " }{TEXT 298 86 "Expliquez ce que vous voyez, changez les \351che
lles et illustrez avec d'autres exemples." }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "
" {TEXT -1 38 "Trois plans qui se coupent en un point" }{TEXT 291 1 ".
" }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 222 "p1:=implicitplot3d(x+2*y+z=1
,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,color=blue):\np2:=implicitplot3d(2*x-y+
z=2,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,color=red):\np3:=implicitplot3d(x+y-
2*z=0,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10): display(p1,p2,p3):" }}}{EXCHG 
{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "solve(\{x+2*y+z=1,2*x-y+z=2,x+y-2
*z=0\}):" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Trois plans qui se \+
coupent selon une droite" }{TEXT 265 1 "." }}{PARA 257 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 222 "p4:=implicitplot3d(x+2*y+z=1,x=-10..10,y=-10..10,z=-
10..10,color=blue):\np5:=implicitplot3d(x-y+z=2,x=-10..10,y=-10..10,z=
-10..10,color=red):\np6:=implicitplot3d(2*x+y+2*z=3,x=-10..10,y=-10..1
0,z=-10..10): display(p4,p5,p6):" }}}{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 39 "solve(\{x+2*y+z=1,x-y+z=2,2*x+y+2*z=3\}):" }}}{EXCHG 
{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 267 0 "" }{TEXT 268 21 "Exercic
e 3 (suite) : " }{TEXT -1 84 "dessinez la droite d'intersection en uti
lisant sa param\351trisation calcul\351e par solve" }{TEXT 266 2 ". " 
}}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT 269 20 "Exercice 3 (suite) :" }{TEXT -1 49 "
 trouvez un cas ou les trois plans sont confondus" }{TEXT 271 1 "." }}
}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Maintenant regardons different
s cas de figures pour lesquels les trois plans n'ont pas d'intersectio
n commune" }{TEXT 270 1 "." }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 223 "p7
:=implicitplot3d(x+2*y+z=8,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,color=blue):
\np8:=implicitplot3d(x-y+z=4,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,color=red):
\np9:=implicitplot3d(2*x+y+2*z=-4,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10):\ndis
play(p7,p8,p9):" }}}{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 231 "p10:=
implicitplot3d(2*x+y+z=4,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,color=blue):\np
11:=implicitplot3d(-2*x-y-z=6,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,color=red)
:\np12:=implicitplot3d(x-2*y+2*z=5,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10):\ndi
splay(p10,p11,p12):" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 
273 21 "Exercice 3 (suite) : " }{TEXT -1 75 "Que se passe-t-il quand o
n prend les 12 coefficients (a,b, ...) au hasard ?" }}}{SECT 0 {PARA 
259 "" 0 "" {TEXT -1 47 "III) Matrices et syst\350mes d'\351quations l
in\351aires" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 119 "On peut repr\351senter \+
les syst\350mes d'\351quations lin\351aires avec une matrice de la man
i\350re suivante. Soit le syst\350me suivant" }{TEXT 272 5 " :   " }
{TEXT -1 8 "ax+by=e " }{TEXT 299 7 "       " }{TEXT -1 8 "cx+dy=f." }}
{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 125 "On \351crit la matrice de ce syst\350m
e M comme suit. Chaque ligne de M correspond aux coefficients de x et \+
y d'une des \351quations. " }}}{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 39 "with(linalg): M:=matrix(2,2,[a,b,c,d]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 
"" {TEXT 274 197 "On \351crit le vecteur colonne V dont les composante
s sont  x et y : puis le vecteur colonne C de coordonn\351es les secon
d membres des \351quations, on peut aussi utiliser la commande \"Vecto
r\" (voir Help)." }{TEXT -1 1 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 43 "V:=matrix(2,1,[x,y]): C:=matrix(2,1,[e,f]):" }}}
{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Effectuons maintenant le produit
 S de la matrice M par le vecteur colonne V.  " }}{PARA 257 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 15 "S:=evalm(M&*V):" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 187 "On
 constate qu'il s'agit d'un vecteur colonne ayant pour coordonn\351es \+
les premiers membres des \351quations. Ainsi r\351soudre le systeme re
vient simplement \340 resoudre l'\351quation vectorielle S=C" }{TEXT 
275 2 ". " }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Prenons un exemple
 :  x+2y=3,  3x+2y=1." }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 245 "On note M1 la
 matrice de ce systeme et C1 le vecteur des seconds membres de ce syst
\350me. On utilise la command Maple \"linsolve\" pour resoudre l'\351q
uation M1&*V=C1 ,  puis on compare avec les r\351sultats de la command
e \"solve\" appliqu\351e \340 ce syst\350me." }}{PARA 257 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 93 "M1:=matrix(2,2,[1,2,3,2]):C1:=matrix(2,1,[3,1]):\nlin
solve(M1,C1): solve(\{x+2*y=3,3*x+2*y=1\}):" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 
"" {TEXT -1 72 "V\351rifions aussi que le r\351sultat trouv\351 multip
li\351 par M1 redonne bien C1." }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 
"V1:=linsolve(M1,C1): evalm(M1&*V1):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
300 12 "Exercice 4 :" }{TEXT 306 1 " " }{TEXT -1 0 "" }{TEXT 301 167 "
Expliquez le calcul pr\351c\351dent, \340 votre avis quel est l'algori
thme utilis\351 par la commande linsolve ? puis  illustrez avec un aut
re exemple de syst\350me \340 deux variables." }{TEXT -1 0 "" }}}
{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Consid\351rons maintenant le cas
 o\371 les deux droites sont confondues." }}{PARA 257 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 93 "M2:=matrix(2,2,[1,2,3,6]):C2:=matrix(2,1,[1,3]):\nlin
solve(M2,C2): solve(\{x+2*y=1,3*x+6*y=3\}):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 169 "linsolve d\351crit un ensemble infini (une droite) de \+
solutions \340 l'aide d'un nouveau param\350tre, comme le nom de ce pa
ram\350tre est cr\351\351 automatiquement il est tr\350s bizarre !" }}
}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Puis le cas o\371 les deux droi
tes sont parall\350les et distinctes" }{TEXT 278 1 "." }}{PARA 257 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 97 "M3:=matrix(2,2,[1,2,3,6]):C3:=matrix(2,1,[1,2]
):\na=linsolve(M3,C3): b=solve(\{x+2*y=1,3*x+6*y=2\}):" }}}{EXCHG 
{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 213 "Dans les cas o\371 les deux droites on
t la m\352me direction (c'est \340 dire les 2 colonnes de la matrice M
 sont proportionnelles),  il n'y a pas de solution ou une infinit\351 \+
de solutions. Sinon il y a une solution unique." }}{PARA 257 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }{TEXT 277 21 "Exercice 4 (suite) : " }{TEXT -1 231 " Ex
pliquez pourquoi la fonction d\351terminant pour les matrices 2x2 perm
et de savoir si les 2 colonnes de la matrice M sont proportionnelles e
t donc si un syst\350me a une unique solution ou non. Voir la commande
 \"det\" pour determinant." }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "det
(M): det(M1): det(M2):" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 150 "Pour r\351su
mer, un syst\350me de deux \351quations \340 deux inconnues a une uniq
ue solution si et seulemt si le d\351terminant de sa matrice est diff
\351rent de zero." }}}{SECT 0 {PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 38 "IV) Matri
ces et applications lineaires" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 587 "On pe
ut \351galement voir toute matrice M comme repr\351sentant une applica
tion lin\351aire f:R^2 -> R^2 qui, \340 un vecteur colonne V, associe \+
le vecteur  colonne f(V)=M&*V. Ainsi r\351soudre un syst\350me revient
 \340 trouver les ant\351c\351dants par cette application lin\351aire \+
f d'un vecteur C. Comme on l'a vu plus haut, si le d\351terminant de l
a matrice est non nul, pour tout vecteur  C on trouve un unique vecteu
r colonne V tel que M&*V=C. Ceci revient alors \340 appliquer \340 C l
'application reciproque de f. Cette application reciproque est aussi d
efinie par une matrice not\351e M^(-1) et appel\351e l'inverse de M" }
{TEXT 276 1 "." }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Appliquons c
ette m\351thode aux syst\350mes du chapitre pr\351c\351dent. On utilis
e la commande Maple \"inverse\"  pour inverser la matrice." }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT 302 54 "Expliquez puis comparer avec les r\351sultats pr
\351c\351dents." }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "det(M1): M1inv
:=inverse(M1): evalm(M1inv&*C1): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 28 "det(M2):M2inv:=inverse(M2): " }}{PARA 8 "" 1 "" 
{TEXT -1 36 "Error, (in inverse) singular matrix\n" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "det(M):Minv:=inverse(M):" }}}{EXCHG {PARA 
257 "" 0 "" {TEXT -1 395 "On a vu comment une matrice M repr\351sente \+
une application lin\351aire f: R^2 -> R^2. Le produit de deux matrices
 M et N (attention l'ordre compte, on dit que ce produit n'est pas com
mutatif) correspond \340 la composition des deux applications lin\351a
ires correspondantes f et g . Voyons tout d'abord, \340 quoi ressemble
 la formule de ce produit puis on examinera la compos\351e de f et g q
ue Maple note f@g  " }{TEXT 303 32 "en l'appliquant \340  un vecteur V
." }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "N:=matrix(2,2,[p,q,r,s]):eva
lm(M&*N):" }}}{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 104 "f:=v->M&*v:
 g:=w->N&*w: h:=w->(M&*N)&*w:\nV:=matrix(2,1,[5,2]):\nevalm(f(V)): eva
lm(f(g(V))): evalm(h(V)):" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }
{TEXT 280 12 "Exercice 5 :" }{TEXT -1 49 " Voici quelques exemples d'a
pplications lin\351aires" }{TEXT 279 2 ". " }{TEXT -1 199 "Il s'agit d
e comprendre quelles transformations g\351ometriques ces applications \+
representent en regardant leur effet sur un triangle not\351 T (on r
\351p\350te le premier sommet pour que le triangle se ferme).." }}
{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 138 "restart: with(linalg): with(plot
s):\nR:=matrix(2,2,[0,-1,1,0]):S:=matrix(2,2,[1,0,0,-1]):Rinv:=inverse
(R):Sinv:=inverse(S):RS:=evalm(R&*S):" }}{PARA 7 "" 1 "" {TEXT -1 80 "
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and un
protected\n" }}{PARA 7 "" 1 "" {TEXT -1 50 "Warning, the name changeco
ords has been redefined\n" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }
{MPLTEXT 1 0 53 "T:=[[1,1],[3,1],[2,2],[1,1]]:pT:=plot(T):display(pT):
" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Mettons sur le m\352me dess
in le triangle T et son image par R : que constate-t-on ? " }}{PARA 
257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 125 "RT:=[seq([evalm((R&*T[i]))[1],evalm((R
&*T[i]))[2]],i=1..4)]:pRT:=plot(RT):\ndisplay(pRT):\ndisplay(pT,pRT,sc
aling=CONSTRAINED):" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" 
}{TEXT 282 21 "Exercice 5 (suite) : " }{TEXT -1 213 " Faites le m\352m
e travail pour Rinv. Donnez un nom \340 cette transformation g\351om
\351trique. Quelle est la matrice repr\351sentant une rotation d'un de
mi-tour par rapport \340 0 (qu'on appelle aussi une symetrie de centre
 0) ? " }}}{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 112 "ST:=[seq( [eva
lm((S&*T[i]))[1],evalm((S&*T[i]))[2]],i=1..4)]:pST:=plot(ST):\ndisplay
(pT,pST,scaling=CONSTRAINED):" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }{TEXT 283 13 "Exercice 6 : " }{TEXT -1 165 "Expliquez p
ourquoi S est cette sym\351trie axiale. Faites le m\352me travail pour
 Sinv. Quelle est la matrice repr\351sentant la sym\351trie par rappor
t \340 l'axe des ordonn\351es ? " }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT 
-1 146 "Regardons maintenant l'image de T par la matrice produit R&*S.
 On constate qu'il s'agit de son sym\351trique par rapport \340 la pre
mier bissectrice y=x" }{TEXT 281 1 "." }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 118 "RST:=[seq([evalm((RS&*T[i]))[1],evalm((RS&*T[i]))[2]],i=1..4)
]: pRST:=plot(RST): display(pT,pRST,scaling=CONSTRAINED):" }{TEXT -1 
0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 285 19 "Exercice (suite)
 : " }{TEXT -1 40 "Quelle transformation repr\351sente S&*R ? " }}}
{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 123 "Regardons les rotations d'angle
 quelconque et de centre 0. La rotation d'angle t autour de l'origine \+
a la formule suivante " }{TEXT 284 1 ":" }}{PARA 257 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 60 "Rt:=t->matrix(2,2,[cos(t),-sin(t),sin(t),cos(t)]): Rt
(Pi/2):" }{TEXT -1 0 "" }{TEXT 287 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG 
{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 84 "Nous allons tracer un carr\351 et anime
r sa rotation d'un demi tour autour de l'origine" }{TEXT 286 1 "." }}
{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "L:=[[1,1],[1,2],[2,2],[2,1],[1,1]
]:" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Pour cela on definit une
 fonction qui a un angle r associe la rotation d'angle r et de centre \+
0 du carre L. " }{TEXT 288 0 "" }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
135 "rt:=r->plot(subs(t=r,[seq([evalm((Rt(t)&*L[i]))[1],evalm((Rt(t)&*
L[i]))[2]],i=1..5)])):\ndisplay(plot(L),rt(Pi/10),scaling=CONSTRAINED)
:" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 228 "Comme la commande \"anima
te\" ne sait pas g\351rer les animations de graphes discrets comme not
re carr\351, nous allons utiliser la commande \"display\" avec l'optio
n \"insequence=true\" qui permet d'animer les graphes d\351ploy\351s p
ar display." }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 130 "Rt:=t->matrix(2,2
,[cos(t),-sin(t),sin(t),cos(t)]): Rt(Pi/2):display(seq(rt(t*Pi/10),t=0
..10),insequence=true,scaling=CONSTRAINED):" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG 
{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 304 13 "Exercice 7 : " }{TEXT 
-1 155 "Faites la rotation d'un tour complet par rapport a l'origine d
'un triangle puis en d\351coupant en triangles, d'une figure g\351om
\351trique simple de votre choix !" }}}{SECT 0 {PARA 260 "" 0 "" 
{TEXT -1 24 "V) Calcul en 3 variables" }}}{EXCHG {PARA 261 "" 0 "" 
{TEXT -1 446 "Nous consid\351rons des matrices carr\351es 3 x 3, c'est
 \340 dire avec 3 lignes et 3 colonnes. On calcule leur d\351terminant
 \340 l'aide de la commande \"det\". On peut m\352me calculer ainsi la
 formule du d\351terminant d'une matrice 3 x 3 en appliquant det \340 \+
une matrice form\351e par des lettres (que l'on fabrique \340 l'aide d
e la commande matrix et seq, voir Help et expliquez !). Puis on examin
e une propri\351t\351 simple de la transpos\351e d'une matrice carr
\351e, expliquez." }}}{EXCHG {PARA 262 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "rest
art: with(linalg):\nM:=matrix(3,3,[seq(seq(a[i,j],i=1..3),j=1..3)]):" 
}}{PARA 263 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "det(M):" }}{PARA 7 "" 1 "" 
{TEXT -1 80 "Warning, the protected names norm and trace have been red
efined and unprotected\n" }}}{EXCHG {PARA 264 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
41 "tM:=transpose(M):det(tM): det(tM)-det(M):" }}}{EXCHG {PARA 265 "" 
0 "" {TEXT -1 124 "Exercice : Calculer de m\352me le produit d'une mat
rice 3 x 3 et d'un vecteur colonne puis le produit de deux telles matr
ices. " }}}{EXCHG {PARA 266 "" 0 "" {TEXT -1 391 "D\351finition du ran
g : Une matrice avec 3 lignes et p colonnes  peut avoir\n- soit toutes
 ses colonnes nulles, on dit qu'elle est de rang 0 :\n- soit toutes se
s colonnes proportionnelles (mais non nulles), on dit qu'elle est de r
ang=1 : \n- soit deux de ses colonnes non proportionnelles et toutes l
es autres colonnes sont des combinaisons lin\351aires de ces deux l
\340, on dit qu'elle est de rang=2 :" }}{PARA 267 "" 0 "" {TEXT -1 
210 "- soit  deux de ses colonnes non proportionnelles et les autres c
olonnes ne sont pas toutes combinaisons lin\351aires de ces deux l\340
, on dit qu'elle est de rang=3.\nMaple va nous aider \340 illustrer ce
tte d\351finition." }}}{EXCHG {PARA 268 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "M:=
matrix(3,3,[1,2,3,2,4,6,7,8,9]):" }}}{EXCHG {PARA 269 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 8 "rank(M):" }}}{EXCHG {PARA 270 "" 0 "" {TEXT -1 140 "On
 peut voir que la matrice n'est pas de rang =0, ni de rang=1 car les d
eux premi\350re colonnes ne sont pas proportionnelles (dites pourquoi)
." }}{PARA 271 "" 0 "" {TEXT -1 274 "Comme Maple affirme qu'elle est d
e rang 2, la troisi\350me colonne (C3) doit \352tre combinaison lin
\351aire des deux premi\350res (C1 et C2), c'est \340 dire qu'il exist
e deux nombres a et b tels que C3 = a*C1 + b*C2. Comment trouver a et \+
b ? Cela revient \340 r\351soudre un syst\350me lin\351aire: " }}}
{EXCHG {PARA 272 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "solve(\{a+2*b=3,2*a+4*b=6,
7*a+8*b=9\},\{a,b\}):" }}}{EXCHG {PARA 273 "" 0 "" {TEXT -1 114 "Dans \+
l'exemple pr\351c\351dent, on aurait pu exclure le cas de rang=3, en c
alculant le d\351terminant de M qui ici est nul." }}}{EXCHG {PARA 274 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "det(M):" }}}{EXCHG {PARA 275 "" 0 "" 
{XPPEDIT 18 0 "O;" "6#%\"OG" }{TEXT -1 154 "n peut aussi effectuer une
 \351limination par la m\351thode des pivots de Gauss, via la commande
 \"gausselim\",  le rang est alors le nombre de lignes non nulles." }}
}{EXCHG {PARA 276 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "A:=gausselim(M):" }}}
{EXCHG {PARA 277 "" 0 "" {TEXT -1 153 "On obtient directent des combin
aisons lin\351aires nulles entre les lignes en augmentant la matrice a
vec un vecteur Y de lettres qui d\351signent les lignes : " }}}{EXCHG 
{PARA 278 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "Y:=vector(3): MY:=augment(M,Y):" 
}}{PARA 279 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "B:=gausselim(MY):" }}}{EXCHG 
{PARA 280 "" 0 "" {TEXT -1 130 "On voit que Y2-2*Y1 doit \352tre la li
gne nulle, autrement dit : la deuxi\350me ligne de M est \351gale \340
 deux fois la premi\350re ligne de M." }}}{EXCHG {PARA 281 "" 0 "" 
{TEXT 305 13 "Exercice 8 : " }{TEXT -1 81 "Refaire le calcul du rang a
vec les matrices suivantes (qui ne sont pas carr\351es) :" }}}{EXCHG 
{PARA 282 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "N1:=matrix(3,4,[1,2,3,2,4,6,7,8,9
,-1,6,0]):" }}}{EXCHG {PARA 283 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "rank(N1):" }
}}{EXCHG {PARA 284 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "N2:=matrix(3,4,[1,2,3,1,
4,6,10,2,9,-1,8,-10]):\nrank(N2):" }}}{EXCHG {PARA 285 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 28 "gausselim(N1):gausselim(N2):" }}}{EXCHG {PARA 286 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "gausselim(augment(N2,Y)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 4 "fin." }}}}{MARK "76" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 
1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }