{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
265 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
270 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 273 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 275 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 
2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 
4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Warning" -1 7 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier
" 1 10 0 0 255 1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 257 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 10 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 27 "DEUG -- MASS1 en  2002-2
003" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 42 "3\350me TP : D\351riv\351es, D
\351veloppements limit\351s" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Les : ont
 tous \351t\351 remplac\351s par des :  \340 vous de les r\351tablir.
" }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 256 22 "I) D\351riv\351es et limites
" }}}{EXCHG {PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 74 "La d\351riv\351ee d'une fon
ction f en un point a est la limite de la pente d'une" }}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT 261 53 "s\351cante au graphe de f au point (a,f(a)) de ce gra
phe" }{TEXT -1 2 ". " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "rest
art:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Nous allons d'abord fabri
quer une proc\351dure qui calcule la pente d'un segment" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 59 "d'extr\351mit\351s  les points de coordonn\351es (x1
,y1) et (x2,y2)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 112 "pente:
= proc(x1,y1,x2,y2)\nlocal p:\nif x1=x2 then p :=`infini` \n   else  p
:= (y2-y1)/(x2-x1)\nfi :\nRETURN(p)\nend :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 15 "pente(1,7,3,4):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 61 "Maple permet aussi d'\351valuer cette proc\351dure sur des lett
res." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "pente(a,f(a),b,f(b)
):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "On va consid\351rer le grap
he d'une fonction simple, f(x)=exp(x) pr\350s de x=1, puis des s\351ca
ntes" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "\340 partir de ce point, dont on \+
va d'abord calculer les pentes de fa\347on approximative (avec evalf) \+
:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 239 "p1:=evalf(pente(1,exp
(1),2,exp(2))):\np2:=evalf(pente(1,exp(1),1.5,exp(1.5))):\np3:=evalf(p
ente(1,exp(1),1.2,exp(1.2))):\np4:=evalf(pente(1,exp(1),1.1,exp(1.1)))
:\nevalf(pente(1,exp(1),1.01,exp(1.01))):\nevalf(pente(1,exp(1),1.001,
exp(1.001))):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 262 12 "Exercice 1 :" }
{TEXT -1 130 " Expliquez comment on trouve l'\351quation de la s\351ca
nte entre deux points quand on connait la pente, puis illustrez avec u
n exemple." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 267 "with(plots):
 gr:=plot(exp(x),x=0..2,color=blue):\ngr1:=plot(exp(1)+p1*(x-1),x=1..2
,color=red):\ngr2:=plot(exp(1)+p2*(x-1),x=1..1.5,color=green):\ngr3:=p
lot(exp(1)+p3*(x-1),x=1..1.2,color=red):\ngr4:=plot(exp(1)+p4*(x-1),x=
0..2,color=black):\ndisplay(\{gr,gr1,gr2,gr3,gr4\}):" }}{PARA 7 "" 1 "
" {TEXT -1 50 "Warning, the name changecoords has been redefined\n" }}
}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 263 20 "Exercice 1 (suite) :" }{TEXT -1 
167 " Expliquez ce dessin.On voit sur ce dessin que les s\351cantes te
ndent vers une tangente au graphe, pourquoi ? quelle est la pente de l
a tangente au graphe en ce point ?\n" }{TEXT 259 13 "Exercice 2 : " }
{TEXT -1 178 "Faire de m\352me  avec la fonction logarithme au point d
'abscisse x=1  (dessinez les graphes et concluez). Que se passe-t-il q
uand on prend des points de part et d'autres de (1,0) ?" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "evalf(pente(1,0,1.001,ln(1.001))): \+
# etc ..." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 187 "Quelle est la posit
ion du graphe par rapport \340  une s\351cante et \340 la tangente en \+
x=1 ?\nOn va maintenant r\351viser sur des exemples  la notion de limi
te et la d\351finition de d\351riv\351e. On pose :" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "f:=x ->exp(sin(x)): evalf(f(1)):" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "On aurait pu aussi utiliser la com
mande unapply, voir dans Help." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 39 "f:=unapply(exp(sin(x)),x): evalf(f(1)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 54 "On consid\350re une suite de nombres se rapprochant \+
de 1." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "for n from 1 to 30
 do\n    h[n]:=1 + (-0.7)^n \nod : h[30]:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 92 "Ci dessous on \351value la fonction sur cette suite, que \+
remarque-t-on ?  remplacez 10 par 30 ?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 33 "for n from 1 to 10 do\nf(h[n]) od:" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "On veut comparer la d\351riv\351e de f en 1 et \+
la limite des pentes d'une suite de s\351cantes." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 73 "En Maple la d\351riv\351e se calcule avec la fonction dif
f, regarder dans Help." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "d
iff(f(x),x):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "D\351finir une fo
nction avec unapply." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "g:=
unapply(diff(f(x),x),x): evalf(g(1)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 34 "evalf(pente(1,f(1),h[1],f(h[1]))):" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT 264 13 "Exercice 3 : " }{TEXT -1 115 "Expliquez ce qui
 pr\351c\350de. Que se passe-t-il quand on regarde les pentes des autr
es s\351cantes asoci\351es \340 la suite h ?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
265 11 "Exercice 4:" }{TEXT -1 139 " On peut aussi calculer la d\351ri
v\351e seconde  de la fonction f, comment ? (consid\351rer les pentes \+
des s\351cantes au graphes de g ... faites le.)" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 182 "On peut aussi  approximer  la d\351riv\351e seconde \340
 l'aide des nombres suivants qu'on note courb (car cela indique une co
urbure) qui utilisent 3 points du graphe d'abscisses distinctes :" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 240 "courb:= proc(f,x1,x2,x3)\nl
ocal p1,p3,t,y1,y2,y3 :\ny1:=f(x1): y2:=f(x2): y3:=f(x3): \n  if x1=x2
 or x1=x2 or x1=x3 then RETURN(`erreur`) \n  else  p1:= (y2-y1)/(x2-x1
): p3:= (y3-y2)/(x3-x2):\n         t:= (p3-p1)/(x3-x1)   fi :\nRETURN(
t)  end :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "evalf(courb(x-
>x^2,.001,.002,.003)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "e
valf(courb(f,.001,.002,.003)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
154 "Exp\351rimentez avec des suites. Comment se simplifie la formule \+
de cette proc\351dure courb quand on consid\350re des suites arithm
\351tiques (donc  x2-x1= x3-x2) ? " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
257 8 "Exercice" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 266 1 "5" }{TEXT -1 271 " : Tr
acer le graphe et \351tudier les variations de la fonction f :[0, 4*Pi
] --->R en pr\351cisant les extrema et les points d'inflexion. Entre d
eux points d'inflexion, la fonction est convexe ou concave, qu'est ce \+
que cela signifie? Inclure cette \351tude dans le compte rendu.  " }}}
{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 26 "II) D\351veloppements limit\351s
" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 149 "On peut calculer un d\351vel
oppement limit\351 DL de f en un point a via la commande taylor( ), pa
r d\351faut l'ordre est 5, lire ses propri\351t\351s dans le Help." }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "restart:  f:=x ->exp(sin(x)
):  T:=taylor(f(x),x=Pi): " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Pou
r enlever le terme O( ) appel\351 grand O, utiliser la commande conver
t( -, polynom)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "P:=conve
rt(T, polynom):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 267 8 "Exercice" }
{TEXT -1 1 " " }{TEXT 268 1 "6" }{TEXT -1 137 " : Tracez sur un m\352m
e graphique les graphes de f et du DL de f en Pi entre 1 et 6. Que voi
t-on ?\nTracez aussi le graphe de la diff\351rence." }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 69 " A pr\351sent, on consid\350re les DL d'une fonction qu
e l'on connait bien." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 218 "f:
=x->exp(x):  for i from 2 to 6  do \n    T:=taylor(f(x),x=1,i):\n    P
1[i]:=convert(T, polynom)    od:\nplot(\{f(x),P1[2],P1[3],P1[4],P1[5],
P1[6]\},x=-3..4,y=-3..12):\nplot(\{f(x),P1[3],P1[4],P1[5],P1[6]\},x=-1
..3,y=-1..10):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 269 8 "Exercice" }
{TEXT -1 1 " " }{TEXT 270 1 "6" }{TEXT -1 112 " : D\351crivez ce que v
ous voyez sur ces dessins.\nA pr\351sent on effectue les DL en deux au
tres points : x=-2 et x=2." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
145 "f:=x->exp(x):\nfor i from 2 to 6 do \nT:=taylor(f(x),x=-2,i):\nQ2
[i]:=convert(T, polynom) od:\nplot(\{f(x),Q2[2],Q2[3],Q2[5],Q2[6]\},x=
-5..4,y=-2..10):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 144 "f:=x->
exp(x):\nfor i from 2 to 6 do \nT:=taylor(f(x),x=2,i):\nP2[i]:=convert
(T, polynom) od:\nplot(\{f(x),P2[2],P2[3],P2[5],P2[6]\},x=-3..6,y=-1..
22):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "plot(\{Q2[6],P1[6],
P2[6]\},x=-4..4,y=-6..15):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 273 8 "Exe
rcice" }{TEXT -1 533 " 7 : Ces trois approximations polynomiales de ex
p(x), respectivement pr\350s des points x=-2, x=1 et x=2 sont assez di
ff\351rentes entre elles quand on les consid\350re sur l'intervalle [-
4..4]. Pouvez vous expliquer cela par exemple en d\351veloppant ces po
lynomes \340 l'aide de la commande expand. A votre avis, laquelle de c
es trois fonctions polynomiales est la plus \"proche\" de f(x) sur cet
 intervalle ? Suffit-il de regarder sur le graphique suivant ? ou faut
-il jouer sur les couleurs ? (faites le !) sauriez vous expliquer cela
 autrement ?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "plot(\{Q2[6
],P1[6],P2[6],f(x)\},x=-4..4,y=-6..15):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 80 "Que se passe-t-il quand on augmente l'ordre du d\351velop
pement, comme ci-dessous ?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
159 "A:=convert(taylor(f(x),x=-2,15), polynom):\nB:=convert(taylor(f(x
),x=1,15), polynom):\nC:=convert(taylor(f(x),x=-2,15), polynom):\nplot
(\{A,B,C\},x=-4..4,y=-6..15):" }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 275 
42 "III) Composition de d\351veloppements limit\351s" }}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "Le DL en x_0 d'une fonction compos\351e  gof  p
eut se calculer \340 l'aide des DL de ces fonctions" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 73 "f et g pris, respectivement, aux points  x_0 et g(x_0).
 Voici un exemple." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "resta
rt:\n g:=x->cos(x):f:=y->exp(y): g(0):f(g(0)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 191 "Remarquez que l'on a not\351 y la variable de la de
uxi\350me fonction, ici x_0 vaut 0 ; on peut \351crire la composition \+
x -> y=g(x) -> z=f(y)=f(g(x)).   On calcule les fonctions polynomes de
 Taylor ." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 134 "A:=x->convert
(taylor(g(x),x=0,7), polynom):\nB:=y->convert(taylor(f(y),y=1,7), poly
nom):\nC:=x->convert(taylor(f(g(x)),x=0,7), polynom):" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "A(x): B(y):C(x):" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 354 "On remplace y par A(x) dans B(y). Pour cela il
 faut utiliser la commande subs de Maple, voir dans Help. Mais on obti
ent une expression qui n'est pas d\351velopper : si on veut la d\351ve
lopper on utilise la commande expand ou la commande simplify. Ici on p
r\351f\350re la commande rem (remainder) qui nous permet de ne garder \+
que les termes de degre inf\351rieurs \340 7. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "D(x):=subs(y=A(x),B(y)):  rem(D(x),x^7,x):" }}
}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 158 "En comparant D(x) et C(x), on vo
it qu'ils coincident jusqu'a l'ordre 6.\nCe type de propri\351t\351 es
t vraie en g\351n\351ral, vous l'\351tudierez en cours de math\351mati
ques." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 271 8 "Exercice" }{TEXT -1 107 
" 8 : Recommencez ce calcul en changeant les ordres des DL. Puis sur l
a fonction compos\351e g(f(x) au point 0." }}}}}{MARK "50 9 0 1" 107 }
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