L1 MASS 2005

FEUILLE de TD no.9

Exercice 1. Soit

A = ( \begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 2 & −3 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) .

(i) Calculer le polynôme caractéristique P_{A}(t). (ii) Chercher les valeurs propres de A et les dimensions de sous-espaces propres associés. (iii) La matrice A est-elle diagonalisable? Justifier que A est semblable à la matrice

B = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) .

(iv) Trouver une matrice P inversible telle que A = P^{−1}BP.

(v) Calculer A^{m} pour tout entier m > 0.

Exercice 2. Soit E = M_{2}(ℝ) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2. Soit f : E → E l’application

A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ↦ A^{t} = ( \begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix} )

qui envoie toute matrice A dans la matrice transposée A^{t}.

(i) Montrer que f est un endomorphisme de E. (ii) Soit B la base canonique de E. Trouver la matrice M_{B}(f) de f par rapport à cette base. (iii) Calculer le polynôme caractéristique P_{f}(t). (iv) Chercher les valeurs propres de f et les dimensions de sous-espaces propres associés. En déduire que l’endomorphisme f et la matrice M_{B}(f) sont diagonalisable.

(v) Montrer que E est la somme directe du sous-espace E_{1} formé des matrices symétriques (c.à.d. A = A^{t}) et du sous-espace E_{2} formé des matrices anti-symétriques (c.à.d. A = −A^{t}). (vi) Calculer f^{m} pour tout entier m > 0.

Exercice 3. Montrer qu’une matrice A ∈ M_{2}(ℂ) est diagonalisable si il existe un entier m > 0 tel que A^{m} = I_{2}. Trouver un exemple montrant que cette affirmation est fausse sur ℝ.