L1 MASS 2005

FEUILLE de TD no.8

Exercice 1. Rechercher les valeurs et les vecteurs propres des matrices suivantes:

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}−1 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) .

Exercice 2. Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de la matrice

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) .

Trouver une matrice carrée P, inversible, telle que la matrice D = P^{−1}AP soit diagonale. Exercice 3.

(i) Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de la matrice

M = ( \begin{matrix}3 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) .

La matrice M est-elle diagonalisable? Préciser la matrice de P de passage. (ii) Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de la matrice

N = ( \begin{matrix}3 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix} ) .

La matrice N est-elle diagonalisable? (iii) Pour quelles valeurs de a ∈ ℝ, la matrice

A = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ a & 2 \end{matrix} )

est-elle diagonalisable? Exercice 4. Soit A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 3/2 & −2 & 6 \\ 1/2 & −1 & 5/2 \end{matrix} ). Montrer que A est diagonalisable. Préciser la matrice de P de passage à une base de vecteurs propres. Calculer D = P^{−1}AP.