L1 MASS 2005

FEUILLE de TD no.7

Exercice 1. Soit E un espace vectoriel muni d’une base B = (b_{1}, b_{2}) et soit F un espace vectoriel muni d’une base C = (c_{1}, c_{2}, c_{3}). Soient f : E → F et g : F → E les applications linéaires données par

f(b_{1}) = c_{1} − c_{2} + 2c_{3}, f(b_{2}) = c_{1} + 2c_{2} − c_{3}

et

g(c_{1}) = b_{2}, g(c_{2}) = b_{1}, g(c_{3}) = b_{1} − 2b_{2}.

(i) Pour x ∈ E, calculer f(x) en fonction des coordonnées du vecteur x par rapport à la base B. Pour y ∈ F, calculer g(y) en fonction des coordonnées du vecteur y par rapport à la base C. (ii) Déterminer les applications composées g ∘ f : E → E et f ∘ g : F → F. (iii) Déterminer la matrice M_{B}^{C}(f) associée à l’application f par rapport aux bases B et C. Rappel: la 1-ère colonne de la matrice M_{B}^{C}(f) est formée par les coordonnées du vecteur f(b_{1}) par rapport à la base C. (iv) De même, déterminer les matrices M_{C}^{B}(g), M_{B}^{B}(g ∘ f) = M_{B}(g ∘ f) et M_{C}^{C}(f ∘ g) = M_{C}(f ∘ g).

(v) Vérifier les égalités suivantes.

M_{B}(g ∘ f) = M_{C}^{B}(g) · M_{B}^{C}(f)

et

M_{C}(f ∘ g) = M_{B}^{C}(f) · M_{C}^{B}(g).

(vi) Soit B′ = (b′_{1}, b′_{2}) une nouvelle base de E donnée par b′_{1} = 2b_{1} + b_{2}, b′_{2} = 3b_{1} + 2b_{2}. Pourquoi B′ est-elle une base de E? Calculer la matrice de changement de base

M(B, B′) = M_{B}^{B′}(Id).

Calculer les coordonnées d’un vecteur x ∈ E par rapport à la base B′ en fonction des coordonnées du vecteur x par rapport à la base B. (vii) Déterminer la matrice M_{B′}(g ∘ f) associée à l’application g ∘ f par rapport à la base B′. Vérifier les égalités suivantes: det(M_{B′}(g ∘ f)) = det(M_{B}(g ∘ f)) et T r((M_{B′}(g ∘ f)) = T r((M_{B}(g ∘ f)).