L1 MASS 2005

FEUILLE de TD no.6

Exercice 1.

Considérons l’application trace

T r : M_{2}(ℝ) → ℝ

telle que T r(A) est la somme des éléments sur la diagonale de A.

(i) Montrer que T r est une application linéaire. (ii) Déterminer l’image de T r. (iii) Déterminer le noyau de T r et trouver une base pour Ker(T r). (iv) Vérifier le théorème du rang pour T r.

(v) Pour deux matrices X, Y ∈ M_{2}(ℝ) montrer que T r(XY) = T r(Y X). En déduire que, pour A ∈ M_{2}(ℝ) inversible, on a T r(X) = T r(AXA^{−1}). (vi) Montrer que det : M_{2}(ℝ) → ℝ n’est pas une application linéaire.

Exercice 2.

Considérons le système S donné par

\{ \begin{matrix}x_{1} − 3x_{2} + 2x_{3} − x_{4} + 2x_{5} = 2 \\ 3x_{1} − 9x_{2} + 7x_{3} − x_{4} + 3x_{5} = 7 \\ 2x_{1} − 6x_{2} + 7x_{3} + 4x_{4} − 5x_{5} = 7 \end{matrix}

(i) Trouver la matrice A ∈ M_{3,5}(ℝ) du système S. (ii) Soit f_{A} : ℝ^{5} → ℝ^{3} l’application linéaire associée. (iii) Déterminer l’image de f_{A}. (iv) Déterminer le noyau de f_{A} et trouver une base pour Ker(f_{A}).

(v) Vérifier le théorème du rang pour f_{A}. (vi) Trouver une solution particulière du système S et déterminer ensuite l’ensemble Sol(S) de toutes les solutions du système S.

Exercice 3.

Montrer que l’application c : ℂ → ℂ qui envoie tout nombre complexe dans son conjugué, est une application ℝ-linéaire qui n’est pas ℂ-linéaire.