L1 MASS 2005

FEUILLE de TD no.5

Exercice 1. Considérer les matrices suivantes dans Mat_{2}(ℝ):

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}−1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}2 & −2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) .

Lesquelles de ces matrices sont-elles inversibles? Calculer les matrices inverses, lorsqu’elles existent.

Exercice 2. Dans chaqun des cas suivants, trouver l’inverse de la matrice A_{j} en utilisant des transformations sur les lignes.

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} ) , A_{2} = ( \begin{matrix}2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 6 & 5 & 2 \\ 2 & 5 & 2 & −3 \\ 4 & 5 & 14 & 14 \end{matrix} ) , A_{3} = ( \begin{matrix}1 & 2 & −4 \\ −1 & −1 & 5 \\ 2 & 7 & −3 \end{matrix} ) .

Exercice 3. Ecrire chacune des matrices suivantes sous forme d’un produit de matrices élémentaires.

A = ( \begin{matrix}1 & −3 \\ −2 & 4 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 8 \\ −3 & −1 & 2 \end{matrix} ) .

Exercice 4. Calculer le rang des matrices suivantes.

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 3 & −1 \\ 2 & 6 & −3 & −3 & 2 \\ 3 & 10 & −6 & −5 & 3 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix} ) .

Exercice 5. Décider si les vecteurs suivants de E = ℝ^{3} forment une base de E.

v_{1} = (1, 2, 3), v_{2} = (1, −2, 3), v_{3} = (1, −2, −3).

Déterminer t ∈ ℝ tel que les vecteurs

u_{1} = (1, 2, 3, t), u_{2} = (1, −2, 3, t), u_{3} = (1, −2, −3, t), u_{4} = (−1, 2, 3, t)

ne forment pas une base de F = ℝ^{4}.