L1 MASS 2005

FEUILLE de TD no.3

Exercice 1.

(i) Montrer que l’ensemble E = Mat_{2}(ℝ) des matrices carrées d’ordre deux à coefficients dans ℝ est un espace vectoriel réel avec l’addition des matrices et le produit d’une matrice avec un scalaire. (ii) Soit F le sous-ensemble de E formé par les matrices

X = ( \begin{matrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} )

telles que x_{21} = x_{12} = 0. Montrer que l’ensemble F est un sous-espace vectoriel dans E. (iii) Considérer les matrices suivantes dans F :

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Montrer que la famille A, B est une famille libre dans E et dans F. Montrer que la famille A, B est une famille génératrice de F, mais pas de E. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel F? (iv) Considérer les matrices suivantes dans E :

C = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

Montrer que la famille A, B, C, D est une base de E. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel E?

Exercice 2.

(i) Montrer que le corps ℂ des nombres complexes est un espace vectoriel sur ℝ. (ii) Montrer que la famille 3, i est une base de l’espace vectoriel réel ℂ. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel ℂ sur ℝ? (iii) Montrer que le corps ℂ des nombres complexes est un espace vectoriel sur ℂ. Dans cette situation, quelle est la dimension de ℂ? (iv) Même question pour le corps K = ℚ[\sqrt{2}] regardé comme espace vectoriel sur ℚ et sur K.