L1 MASS 2005

FEUILLE de TD no.2

Exercice 0. Pour deux nombres complexes u, v ∈ ℂ montrer que:

(i) \overline{u + v} = ū + v̄ et \overline{uv} = ūv̄. (ii) |u + v| ≤ |u| + |v| et |uv| = |u| · |v|. Exercice 1. Simplifier les nombres complexes suivants:

z_{1} = \frac{3 − i}{3 + 4i}, z_{2} = \frac{(2 + i)(3 − i)}{1 + 4i}, z_{3} = \frac{(2 − i)(3 + i)}{1 − 4i}.

Déterminer Re(z_{1}), Im(z_{1}), Re(z_{2}), Im(z_{2}), Re(z_{3}), Im(z_{3}). Déduire que z_{3} est le conjugué de z_{2}. Exercice 2. Soit

z = i\frac{1 + e^{it}}{1 − e^{it}}

avec t ∈ ℝ \ 2πℤ. Montrer que z = Re(z), donc z est un nombre réel. Exercice 3. Calculer le module et l’argument du nombre complexe

z = \frac{1 − cost + isint}{1 + cost − isint}

où t ∈]0, π/2[. Exercice 4. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z| = 2|z − i|. Exercice 5. Développer sin3t et cos3t en fonction de sint et cost. Exercice 6. Résoudre les équations suivantes.

z^{2} = 3 − 4i, z^{4} = 8(1 + i\sqrt{3}) z^{2} − 2zcost + 1 = 0, z^{2} + (1 + i)z + 2 = 0.

Exercice 7. Factoriser les polynômes suivants:

X^{3} + 1, X^{3} − 1, X^{6} − 1, X^{6} + 1, X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1.

Exercice 8. Pour n ∈ ℕ et a, b ∈ ℝ, calculer les sommes C_{n} = ∑_{k=0,n} cos(a + kb) et S_{n} = ∑_{k=0,n} sin(a + kb).