L1 MASS 2005

FEUILLE de TD no.1

Exercice 1.

(i) Montrer que \sqrt{2} ∉ ℚ. En déduire que, si a, b, c, d ∈ ℚ et a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2}, alors a = c et b = d. (ii) Montrer que l’ensemble ℚ[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2}; a, b ∈ ℚ\}, muni de l’addition et de la multiplication de nombres réels est un corps. (iii) Montrer que \sqrt{3} ∉ ℚ[\sqrt{2}].

Exercice 2. Considérer les matrices suivantes dans Mat_{2}(ℝ) :

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}−1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) .

(i) Vérifier par calcul que

(AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA, BC = 0, AB ≠ BA.

(ii) Déterminer les matrices D = 3A − 2B + 4C et E_{n} = A^{n} pour n ∈ ℕ.

Exercice 3.

(i) Montrer que pour toutes matrices X, Y ∈ Mat_{2}(ℝ) on a

det(XY) = det(X) · det(Y).

En déduire qu’une matrice X ∈ Mat_{2}(ℝ) est inversible si et seulement si det(X) ≠ 0.

(Utiliser la formule pour la matrice inverse X^{−1} donnée en cours). (ii) Si X, Y, Z ∈ Mat_{2}(ℝ) sont telles que Y X = XZ = I_{2}, avec I_{2} la matrice unité de Mat_{2}(ℝ), montrer que Y = Z = X^{−1}. (iii) Montrer que l’ensemble

GL_{2}(ℝ) = {X ∈ Mat_{2}(ℝ); det(X) ≠ 0}

muni de la multiplication de matrices est un groupe non-commutatif.