Titre Calcul du genre d'une courbe algébrique.

English version

Lieu

INRIA, Projet CAFÉ
BP 93, 06902 France

Information

Manuel Bronstein

Description

Le genre d'une courbe algébrique est une quantité fondamentale dont dépendent beaucoup d'algorithmes en cryptographie et en calcul formel. Son calcul, qui est souvent une étape préalable pour d'autres algorithmes, reste difficile en général. L'objectif de ce stage est l'étude et l'implantation d'une approche nouvelle (travaux non publiés de B.Trager) basée sur la formule de Hurwitz, qui donne le genre en fonction d'invariants locaux de la courbe à ses singularités. L'originalité de l'approche consiste à utiliser l'équation différentielle linéaire satisfaite par une fonction algébrique pour calculer ces invariants locaux.
Dans une première étape, cette méthode sera implantée en utilisant une équation différentielle scalaire de la forme y^(n) + ... + a2(x) y'' + a1(x) y' + a0(x) y = 0 et son polygone de Newton, afin de vérifier sa faisabilité en pratique. Comme cette équation est couteuse à calculer, on implantera dans un deuxième temps une méthode basée sur un système différentiel de la forme Y' = A(x) Y, pour lequel il est conjecturé que l'algorithme de [1] produit les invariants locaux nécessaires.
Une continuation en thèse est possible autour de l'utilisation d'un tel système différentiel pour d'autres calculs sur les fonctions algébriques (par exemple expansions en séries de Puiseux), ainsi que de la conjecture mentionée plus haut.

[1] S.Abramov et M.Bronstein, On Solutions of Linear Functional Systems, manuscript soumis à la conférence ISSAC'2001.

Outils

Station de travail Unix, système de calcul formel Axiom ou langage de programmation Aldor.

Durée

3-4 mois, niveau DEA, continuation possible en thèse d'informatique ou de mathématiques.