Titre Résolution d'équations différentielles en termes de fonctions spéciales.

English version

Lieu

INRIA, Projet CAFÉ
BP 93, 06902 France

Information

Manuel Bronstein

Description

L'algorithme de Kovacic [1] permet de résoudre l'équation y''(x) = r(x) y(x) en quadratures chaque fois que de telles solutions existent. Cet algorithme, maintenant classique, est implanté dans la plupart des systèmes de calcul formel. L'objectif de ce stage est de développer et d'expérimenter de nouvelles techniques pour trouver les solutions de cette équation en termes de fonctions spéciales (par exemple fonctions de Bessel ou d'Airy) lorsqu'elle n'admet pas de solutions en quadratures. En partant d'une méthode récente [2] capable de calculer certaines solutions de ce type, on essaiera de déterminer dans le cas des fonctions d'Airy Ai et Bi, quels sont leurs arguments possibles f(x) en résolvant l'équation différentielle que f(x) doit satisfaire. Dans une première étape, on généralisera l'algorithme utilisé pour les équations de Riccati afin de borner les poles de f(x), puis on implantera un prototype qui utilise ce bornage pour trouver une base de solutions de la forme g(x) {Ai,Bi}(f(x)).
Une continuation en thèse est possible autour de ce thème (autres fonctions spéciales ou bien résolution d'équations d'ordre > 2).

[1] J.Kovacic, An Algorithm for Solving Second Order Linear Homogeneous Differential Equations, Journal of Symbolic Computation 2, 3-43 (1986).
[2] B.Willis, An Extensible Differential Equation Solver, à paraitre dans le SIGSAM Bulletin.

Outils

Station de travail Unix, système de calcul formel Axiom, Maple ou Mathematica, ou langage de programmation Aldor.

Durée

3-4 mois, niveau DEA, continuation possible en thèse d'informatique ou de mathématiques.