Elément primitif différentiel (vecteur cyclique non-linéaire ou encore resolvante)
Lieu
INRIA,
Projet CAFE
BP 93, 06902 France
Information
Description
Soit S un système différentiel non linéaire en les fonctions x1(t), x2(t), ..., xn(t). On souhaite déterminer une équation différentielle E en w(t) rationnellement équivalente à S. E est rationnellement équivalente à S si les solutions non singulières x1(t), x2(t), ..., xn(t) de S s'écrivent comme des fonctions rationnelles de w(t) et de ses dérivées, w(t) étant une solution de E. L'intérêt d'une telle manipulation est, évidemment, de réduire une question (résolution, structure ou propriétés analytiques des solutions) sur un système différentiel à une question sur une équation différentielle ordinaire, ce qui est généralement mieux étudié.
La théorie des idéaux différentiels initiée par Ritt [1] étudie les équations différentielles d'un point de vue algébrique. Les résultats fondamentaux de géométrie algébrique trouvent leur généralisation en différentiel. On se place dans le contexte des algèbres de polynômes differentiels ordinaires pour attaquer la résolution algorithmique du problème ci-dessus.
Ritt [1] donne un procédé pour calculer E lorsque S est donné par un ensemble caractéristique d'un idéal différentiel premier. Les ensembles caractéristiques definissent la classe plus large des idéaux différentiels caractérisables utilisés dans les algorithmes effectifs à la place des idéaux premiers [3]. Le but de ce stage est d'établir la généralisation du procédé de construction de l'élément primitif E de Ritt à tout ensemble caractéristique. Une implantation efficace de cette généralisation dans le paquetage diffalg99 est souhaitée.
Bibliographie
[1] Ritt (1950) Differential algebra,
American Mathematical Society,Colloquium publications, XXXIII;
Reprinted by Dover Publications, Inc (1966).
[2] F. Boulier and D. Lazard and F. Ollivier and M. Petitot (1995),
Representation for the radical of a finitely generated
differential ideal, ISSAC'95, ACM Press. T. H.M. Levelt.
[3] Hubert (to appear),
Factorisation free decomposition algorithms in differential algebra,
Journal of Symbolic Computations;
(cf prépublication
MSRI 1999-006).
Outils
Station de travail Unix, langage Maple.
Durée
4 - 6 mois, niveau DEA.