Stage
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Lieu :
INRIA,
Sophia-Antipolis Equipe : Projet CAFE Encadrant : Evelyne Hubert |
Durée : 3 - 4 mois, niveau DEA. Outils : Station de travail Unix, langage ALDOR ou Maple. Les autres stages dans le projet : http://www-sop.inria.fr/cafe/offer-f.html |
Description
Les algorithmes de triangulation-décomposition [2,4,6] permettent de réécrire tout système d'équations aux dérivées partielles algébriques en terme de systèmes différentiels donnés par des ensembles caractéristiques [6].
Les ensemble caractéristiques ont l'excellente propriété d'être formellement intégrables. Ceci signifie qu'on peut lire sur l'ensemble caractéristique quelles sont les conditions initiales qu'il faut spécifier pour déterminer de façon unique une série entière formelle qui soit un zéro non singulier de l'ensemble caractéristique (i.e. une solution non singulière du système différentiel sous-jacent) [4,5]. Les coefficients de la série peuvent être obtenu un à un en dérivant les polynômes différentiels constituant l'ensemble caractéristique [4,5]. Ce processus est très lourd. Lorsque les polynômes différentiels présentent des non linéarités, la dérivation démultiplie le nombre de termes dans les polynômes différentiels.
Dans le cas d'une équation différentielle ordinaire, l'article [3] présente une méthode de type Newton pour le calcul de la série de Taylor d'une solution à un point non singulier. La généralisation de cette méthode aux systèmes d'équation différentielles ordinaires est implantée en Maple. A chaque itération le nombre de termes exact dans la série solution est doublé.
Le but de ce stage est d'apporter une méthode de type Newton pour calculer la série entière formelle zéro d'un ensemble caractéristique en un point non singulier. On abordera dans un premier temps les ensembles caractéristiques de dimension différentielle typique [2] nulle (i.e. dont le zéro dépend d'un nombre fini de constantes). Selon le goût du candidat le stage évoluera soit sur une implantation de la méthode pour ce cas soit sur l'étude des cas plus généraux.
Pour les ensembles caractéristiques de dimension différentielle
typique non nulle, il convient de
déterminer en un premier temps les éléments arbitraires qui
interviennent dans la solution. Le point de départ sera alors l'étude du
polynôme de dimension différentielle [2], l'analogue du polynôme de
Hilbert.
Bibliographie
[1] J. F. Ritt (1950) Differential algebra,
American Mathematical Society,Colloquium publications, XXXIII;
Reprinted by Dover Publications, Inc (1966).
[2] E. Kolchin (1973) Differential Algebra and Algebraic Groups, Academic Press.
[3] K. O. Geddes, (1979) Convergence behaviour of the Newton iteration for first-order differential equations, Symbolic and algebraic computation (EUROSAM '79, Internat. Sympos., Marseille, 1979) pp 189--199, Springer Berlin.
[4] F. Boulier and D. Lazard and F. Ollivier and M. Petitot (1997),
Representation for the radical of a finitely generated
differential ideal, Technical Report IT-306, LIFL.
[5] C. J. Rust and G. J. Reid and A. D. Wittkopf (1999), Existence and Uniqueness Theorems for Formal Solutions of Analytic Differential Systems, ISSAC'99.
[6] E. Hubert,
Factorisation free decomposition algorithms in differential algebra,
Journal of Symbolic Computations, 2000, volume 29(4-5) pp641-662.