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880.12005
Bronstein, Manuel
Symbolic integration I: Transcendental functions. (English)
[B] Algorithms and Computation in Mathematics. 1. Berlin: Springer, (ISBN 3-540-60521-5/hbk). xiii, 299 p. DM 78.00; oeS 569.00; sFr. 69.00 (1997). [ISSN 1431-1550]
Dies ist das erste Lehrbuch, das dem symbolischen Integrieren und den in den letzten Jahren gefundenen Algorithmen gewidmet ist. Der vorliegende erste Band behandelt die Berechnung von Stammfunktionen transzendenter Funktionen; ein zweiter Band ueber die Integration von algebraischen Funktionen und von Funktionen gemischten Typs ist geplant.\par Nach einem einfuehrenden Kapitel, das die grundlegenden Hilfsmittel aus der Algebra und die wichtigsten Algorithmen zum Rechnen in Polynomringen zusammenstellt, wird im zweiten Kapitel auf die Integration rationaler Funktionen eingegangen. Hervorzuheben sind darin die Behandlung des Algorithmus von D. Lazard, R. Rioboo und B. M. Trager zur Berechnung des logarithmischen Teils des Integrals mit Hilfe von Subresultanten, sowie die Behandlung des Algorithmus von R. Rioboo zur Berechnung stetiger Stammfunktionen im Reellen. \par Das dritte Kapitel bringt die erforderliche Einfuehrung in die Differentialalgebra. Neben den monomialen Erweiterungen vom exponentiellen und vom logarithmischen Typ eines Koerpers mit Derivation werden soweit moeglich auch solche von allgemeinerem Typ behandelt. Das vierte Kapitel behandelt die Bewertungen von Koerpern mit Derivation und ihren Erweiterungskoerpern. Die beiden folgenden Kapitel bilden den Mittelpunkt des vorliegenden Bandes. \par Das fuenfte Kapitel behandelt das Integrationsproblem, hier werden der in seiner Gestalt auf J. Liouville zurueckgehende Hauptsatz der Theorie bewiesen und die wesentlichen Teile des Integrationsalgorithmus beschrieben. Die Reduktionsalgorithmen aus Kapitel 5 fuehren im Fall von Monomen vom exponentiellen Typ auf die nach R. Risch benannte Differentialgleichung $Dy + fy = g$, wo $f$ und $g$ Elemente eines Koerpers $K$ mit Derivation $D$ sind und eine Loesung $y \in K$ gesucht ist. Damit befasst sich das sechste Kapitel; hier werden die Algorithmen ausfuehrlich beschrieben, die es erlauben zu entscheiden, ob eine Risch'sche Differentialgleichung eine Loesung besitzt, und die eine Loesung liefern, falls eine existiert.\par Die folgenden zwei Kapitel behandeln mit dem Integrationsalgorithmus zusammenhaengende Probleme: Kapitel 7 beschaeftigt sich mit Problemen mit Parametern, wie sie etwa beim Loesen von Risch'schen Differentialgleichungen mit Nebenbedingungen auftreten, und Kapitel 8 mit der Aufgabe, Systeme aus zwei Differentialgleichungen zu loesen, die sich aus einer Risch'schen Differentialgleichung durch Trennen von Real- und Imaginaerteil ergeben. Das letzte Kapitel setzt die Einfuehrung in die Differentialalgebra fort und endet mit dem Beweis des Struktursatzes von R. Risch und seiner Verallgemeinerung durch M. Rothstein und B. F. Caviness. Diese Saetze werden in Kapitel 7 benoetigt; sie werden im naechsten Band bei der Integration algebraischer Funktionen eine wichtige Rolle spielen. \par Der vorliegende Band erfuellt zwei Aufgaben mit vollem Erfolg: Er fuehrt den an der Theorie interessierten Leser in ein interessantes Spezialgebiet der Algebra ein und macht den mit der Implementation von Integrationsalgorithmen befassten Leser mit den neuesten Algorithmen bekannt. Die Beweise sind klar und vollstaendig ausgearbeitet, die Algorithmen sind praezise begruendet und in Form eines gut lesbaren Pseudocodes aufgeschrieben; das Literaturverzeichnis ist erfreulich ausfuehrlich, und zahlreiche, klug gewaehlte Beispiele illustrieren Theorie und Algorithmen. Im ganzen ein sehr gut gelungenes Buch! Man darf sich auf den zweiten Band freuen.
[ F.Schwarz (Paderborn) ]
Keywords: differential algebra; differential fields; symbolic integration; integration of rational functions; integration of transcendental functions; Risch differential equation; algorithms
Classification:
*12H05 Differential algebra
12-02 Research monographs (field theory)
68Q40 Symbolic computation, algebraic computation
12Y05 Computational aspects of field theory and polynomials
33B10 Elementary functions
28-04 Machine computation, programs (measure and integration)
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