Involutions

Groupe de Lecture

Hiver-Printemps 2002

A priori les réunions ont lieu le mardi matin dans le batiment Galois à 10 heures. Les dates ci-dessous sont prévisionnelles. Si vous souhaitez recevoir les courriers electroniques afférant, ou proposer un sujet, envoyez moi un courrier.

Jean-Baptiste Pomet MIAOU 15 et 22 janvier 5 et 19 février	Cartan-Kähler Le but est de couvrir au mieux le contenu du chapitre III (Cartan-Kahler Theory) de Bryant, Chern, Gardner, Goldschmitt, Griffiths, Exterior Differential Systems (Springer, MSRI Publ, vol. 18, 1991). En gros, le théorème de Cartan-Kähler donne des conditions sous lesquelles il existe des variétés integrales d'une dimension donnée à un système de formes differentielles de degrés arbitraires. On peut donner, au moins dans le cas de formes de degré 1 et 2 seulement, une methode systematique pour verifier ces conditions. De plus, la recherche d'une solution d'un système d'EDP se ramène à la recherche d'une variete integrale d'un tel système de formes différentielles, assorti d'une "condition d'indépendance". Références : Bryant, Chern, Gardner, Goldschmitt, Griffiths, Exterior Differential Systems (Springer, MSRI Publ, vol. 18, 1991), chapitre III (Cartan-Kahler Theory). Spivak, A comprehensive Introduction to Diff. Geometry", 1979 tome 5, chapitre 10 (and now a bried message from our sponsor). E. Cartan, les systèmes differentiels exterieurs et leurs applications geometriques, 1946.
Alban Quadrat CAFE 26 février 5 et 26 mars	Riquier-Janet Ces exposés s'attacheront à expliquer les résultats majeurs obtenus par C. Riquier et M. Janet dans l'étude des systèmes généraux d'équations aux dérivées partielles et, en particulier, l'intégrabilité formelle et la détermination du degrée de généralité d'une solution (période: 1890-1930). Dans un premier temps, nous nous intéresserons aux concepts de systèmes complètement intégrables, passifs et orthonomes. Pour cela, nous introduirons les notions de variables multiplicatrices, de dérivées principales et paramétriques, de systèmes de monômes complets et de cotes. Dans un second temps, nous expliquerons le concept de systèmes de monômes en involution tel que M. Janet l'a développé dans les années 20-30, ainsi que ses applications à la théorie des équations aux dérivées partielles. Références Janet, Les systèmes d'équations aux dérivées partielles , Mémorial des Sciences Mathématiques, fascicule XXI, Gauthier-Villars, Paris 1927. Janet, Leçons sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles , Cahiers Scientifiques, fascicule IV, Gauthier-Villars, Paris 1929. Riquier, Les systèmes d'équations aux dérivées partielles , Gauthier-Villars, Paris, 1910. Riquier, La méthode des fonctions majorantes et les systèmes d'équations aux dérivées partielles, Mémorial des Sciences Mathématiques, fascicule XXXII, Gauthier-Villars, Paris 1928.
Evelyne Hubert CAFE 31 mai, 11, 18 et 26 juin.	Ritt-Kolchin On reverra les principes des algorithmes de décomposition qui permettent de calculer une représentation du radical d'un idéal différentiel en une intersection d'idéaux différentiels caractérisables. On se concentrera alors sur le differential dimension polynomial qui est l'analogue du polynôme de Hilbert pour les systèmes différentiels. Le polynôme de dimension différentielle est un polynôme numérique qui mesure le nombre de dérivées arbitraire à un ordre donné modulo un idéal différentiel premier (et par extension caractérisable ou même régulier). Il se calcule à partir de l'ensemble caractéristique de l'idéal en question. Le calcul de ce polynôme permet la détermination du type et de la dimension différentielle typique de l'idéal différentiel. Cela correspond au caractère défini par Cartan. En d'autres termes, si le type est t et la dimension différentielle typique est d cela signifie que la solution du système sous-jacent dépend de d de t variables indépendantes. Références : Kolchin Differential Algebra and Algebraic group, Academic Press 1973, chapitre III.5 (differential dimension polynomial)
Bernard Malgrange Institut Fourier 19 et 26 septembre, 3 et 10 octobre.	Systèmes différentiels en involution Modules gradués sur un anneau de polynomes : p-régularité (ou involutivité). Systèmes différentiels involutifs; Intégrabilité formelle; Solutions convergentes : Théorème de Cartan-Kähler; Involutivité générique des systèmes différentiels. Références : distribuées aux exposés.