N^{o} d’ordre:

THÈSE

Présentée devant

devant l’Université de Nice-Sophia Antipolis

pour obtenir

le grade de : Docteur de l’Université de Nice-Sophia

Antipolis

Mention Sciences Pour l’Ingénieur

par

Frédéric Mandréa

Équipe d’accueil : MIAOU École Doctorale : Sciences Pour l’Ingénieur

Composante universitaire : INRIA

Titre de la thèse :

Comportement asymptotique des pôles d’approximants rationnels et méromorphes : Application aux problèmes

inverses du Laplacien 2D.

soutenue le 24 janvier 2001 devant la commission d’examen

M. : Guy  Chavent  Président
MM. : Bernhard  Beckermann  Rapporteurs
Amel  Ben Abda
MM. : Pierre Bernhard Examinateurs
Jean-Clarence Nosmas
Laurent  Baratchart  Directeur

D’après une théorie, le jour où quelqu’un découvrira exactement à quoi sert l’Univers et pourquoi il est là, ledit Univers disparaîtra sur-le-champ pour se

voir remplacé par quelque chose de considérablement plus inexplicable et bizarre.

Selon une autre théorie, la chose se serait en fait déjà produite.

– Douglas Adams, Le dernier restaurant avant la fin du monde.

Remerciements

Je tiens à remercier Guy Chavent, Professeur à l’université Paris-Dauphine, qui me fait l’honneur de présider ce jury.

Merci infiniment à Bernhard Beckermann et à Amel Ben Abda qui ont bien voulu accepter la charge de rapporter ces travaux. Merci pour toutes leurs remarques et leurs conseils grâce auxquels, je l’espère, j’ai pu rendre ces résultats aussi clairs que possible.

Je remercie Pierre Bernhard pour avoir accepté d’être membre de ce jury, pour l’enseignement qu’il m’a dispensé en DEA, ainsi que pour le soutien qu’il a su m’apporter afin que je puisse effectuer cette thèse.

Merci à Jean-Clarence Nosmas, dont je fus plusieurs fois l’élève, d’avoir bien voulu juger ce travail aujourd’hui.

Il y a certainement un rapport de proportionnalité entre la difficulté à diriger un doctorant et celle à remercier son Directeur de Thèse. C’est sans doute pour cela que j’ai autant de mal à résumer ici tout ce que je dois à Laurent Baratchart. Je le remercie donc pour sa patience, et la ténacité dont il a su faire preuve pour me guider et me sortir d’innombrables impasses au sein du dédale que constituent les travaux ci-exposés.

Enfin, je le remercie pour son soutien indéfectible chaque fois que j’ai eu besoin de son aide.

Je remercie ici toute l’équipe du projet MIAOU, et plus particulièrement :

France Limouzis, toujours prompte à régler les innombrables problèmes administratifs face auxquels je me sens souvent si démuni, ainsi que pour les vivres qu’elle a souvent déposées dans mon bureau afin que mon voisin et moi-même ne dépérissions pas,

Mon voisin Ludovic Faubourg, pour sa patience et les nombreux services qu’il m’a rendu, jusqu’au matin même de ma soutenance,

José Grimm pour ses innombrables conseils, pudiquement cachés derrière de pertinentes questions, José Grimm qui, à ma connaissance, est la seule incarnation humaine du monolithe du Savoir qu’Arthur Clarke dépeignait dans 2001,

Juliette Leblond, qui a suivi ces travaux, qui a su rester à l’écoute de mes problèmes, m’aider à décrypter des articles et qui m’a apporté son soutien durant ces quelques années,

Franck Wielonsky pour l’aide précieuse qu’il m’a apportée quand je peinais à transformer certains problèmes en algorithmes, et pour avoir toujours été disponible pour répondre à mes questions,

Reinhold Küstner, qui a toujours accepté sans rechigner de relire ce manuscrit, corriger mes nombreuses erreurs, faisant toujours preuve d’une écoute et d’une rigueur proprement admirables,

Fabien Seyfert, pour sa bonne humeur, ses conseils, ses questions, et l’intérêt qu’il a toujours porté à ces travaux,

Odile Pourtallier, pour son écoute et ses conseils, ainsi que pour m’avoir prêté son Guide du Routard et son portable,

Martine Olivi, pour sa patience et sa compréhension, et pour l’intérêt qu’elle a porté à mes travaux,

Jean-Baptiste Pomet, pour ses cours d’Automatique non linéaire, son sens de l’humour et ses plaisanteries de fin de repas.

Je tiens aussi à remercier ceux qui m’ont aidé durant cet apprentissage et ce travail, et en particulier

Nick Dudley Ward, qui a guidé mes premiers pas dans la recherche, m’a offert son café, son amitié et a fait de moi un véritable expert des jurons anglophones,

Jean-Paul Marmorat, pour son aide précieuse à implémenter numériquement différentes méthodes présentées dans cette thèse,

Vilmos Totik, membre de l’Académie des Sciences de Hongrie, pour sa grande hospitalité lors de mon bref séjour à Szeged.

Enfin, je ne pouvais pas conclure sans remercier celles à qui je dois tant, pour ne pas dire tout : ma mère Liliane qui m’a toujours encouragé quelle que soit la voie que je choisisse, et ma compagne Emma qui me soutient depuis huit ans, toutes deux et me permettant d’aller sans cesse de l’avant.

Merci aussi à Carbon et Réglisse, mes deux chats, qui ont vaillamment animé la maison pendant que je préparais ce manuscrit.

Introduction

L’analyse complexe et la théorie des fonctions sont aujourd’hui des outils classiques dans l’étude des équations aux dérivées partielles linéaires (voir par exemple [21, 1]). Les travaux qui sont présentés ici ont pour motivation première d’utiliser la forte connexion entre l’analyse complexe et l’opérateur de Laplace 2D, outil traditionnel de la théorie du potentiel, ce en vue d’examiner le problème d’actualité en contrôle non destructif qu’est la détection de fissures dans un domaine plan.

Pour aborder ce problème inverse, nous exhiberons comment des techniques telles que l’approximation rationnelle ou méromorphe peuvent être mises à contribution dans le cadre d’équations du Laplacien. Nous montrerons ainsi comment, par la construction d’une fonction F à partir de données harmoniques de type Dirichlet-Neumann sur le bord du domaine étudié, on peut établir un lien entre la théorie de l’approximation et la localisation d’une fissure dans un domaine simplement connexe.

Nous nous consacrerons plus précisemment à deux modes d’approximation qui se révèlent étroitement liés : d’une part l’approximation rationnelle pour la norme L^{2}, et d’autre part l’approximation méromorphe pour la norme L^{∞} qui est rendue constructive par des techniques issues de la théorie d’Adamjan-Arov-Krein (AAK).

Dans le premier chapitre de ces travaux, nous présentons en détail un énoncé du problème général de détection de fissures, le type de données et de connaissances dont nous disposons pour tenter de résoudre ce problème. En particulier, nous citons différents travaux qui ont été menés sur ce sujet au cours de la dernière décennie, en mentionnant certains des principaux résultats obtenus à ce jour dans le domaine de l’identification.

Le second chapitre introduit quant à lui les principales notions d’analyse complexe qui seront utilisées par la suite dans ce travail. Nous y présentons alors notre approche du sujet, adoptant une interprêtation thermique pour stimuler l’intuition (une interprétation électrique ou électrostatique est également possible), et plus particulièrement comment nous construisons notre fonction F à partir de données sur le bord telles que la température u à l’équilibre et le flux de chaleur Φ associé. Nous y montrerons ensuite comment nous pouvons formuler le problème dans le cadre de l’analyse complexe et comment cette nouvelle formulation peut se traduire sous forme d’une question d’approximation.

C’est dans le troisième chapitre que nous exhibons le lien entre les deux techniques d’approximation que nous avons choisies, et que nous développons comment ce lien nous amène à des résultats d’approximation rationnelle. Nous y présentons en effet des théorèmes mettant en relation la position des pôles de nos différents approximants et la position de la fissure recherchée. Nous détaillons ensuite comment ces résultats d’approximation s’interprètent dans le cadre de notre problème inverse, quel type d’informations l’on peut tirer de ceux-là pour identifier une fissure, et finalement comment notre approche s’intègre dans les méthodes semi-explicites présentées dans le premier chapitre. Les techniques développées au cours de cette partie seront finalement mises en œuvre sous forme d’algorithmes d’approximation et nous mènerons divers tests sur des données obtenues à l’aide de simulations numériques d’équation de la chaleur. Le détail des méthodes d’expérimentations et la mise en application de ces résultats d’approximation seront présentés et commentés dans le quatrième et dernier chapitre de ce mémoire.

Chapitre 1

Détection de fissures

L’application visée par ces travaux concerne le problème d’identification de fissures dans une structure à partir de données surdéterminées sur le bord.

Cette application s’inscrit dans un domaine du contrôle industriel : le contrôle non destructif des matériaux. Plusieurs modèles physiques correspondent aux différentes techniques de contrôle. Nous retiendrons dans le cadre de notre étude celles pour lesquelles le phénomène est modélisé par l’opérateur de Laplace (données thermiques stationnaires, élastostatique...). Le principe de ces méthodes est d’imposer une condition sur le bord extérieur de la pièce que l’on veut contrôler (par exemple en imposant un flux de chaleur Φ dans le cas du contrôle par données thermiques) et de mesurer la réponse u du matériau (température dans ce même cas).

La pièce à examiner occupant le domaine plan D, on modélisera la fissure par une courbe γ à l’intérieur du domaine. Le problème direct correspondant est alors décrit ainsi :

\{ \begin{matrix}Δu & = & 0 dans D_{γ} = D \ γ , \\ \frac{∂u}{∂n_{Γ}} & = & Φ sur le bord Γ = ∂D , \\ \frac{∂u^{±}}{∂n_{γ}} & = & 0 sur γ^{o} = γ \ \{γ_{0}, γ_{1}\} , \end{matrix}  (1.1)

où D est un ouvert borné simplement connexe dans le plan complexe ℂ, n_{Γ} désigne le vecteur unitaire normal à Γ sortant, n_{γ} un vecteur unitaire normal à γ et les points γ_{0} et γ_{1} sont les deux extrémités de la fissure γ. Pour tout voisinage assez petit d’un point de γ^{o}, on peut définir deux régions distinctes séparées par γ. La quantité u^{±} introduite ci-dessus désigne les déterminations de la quantité u, selon que l’on tend vers un point de γ^{o} par le “côté” + ou − (c.f. figure 1.1).

Fig. 1.1 – Le domaine D.

Comme l’indique la troisième relation dans (1.1), le flux Φ est nul sur la fissure γ, ce qui signifie que celle-ci est parfaitement isolante (et induit donc une discontinuité dans la température) mais on notera que par conjugaison harmonique, ce problème peut se ramener au cas d’un conducteur parfait (conductivité infinie). Pour que ce problème direct admette une solution, il faut que la circulation du flux Φ soit nulle, ce qui s’exprime par la condition

∫_{Γ} Φ(z)|dz| = 0.  (1.2)

D’autre part, le problème étant Neumann pur, on peut remarquer que toute solution u du problème restera solution à une constante additive près. On ajoutera donc la condition de normalisation

∫_{Γ} u(z)|dz| = 0  (1.3)

afin de sélectionner une solution.

Le problème de contrôle que nous souhaitons résoudre est le problème inverse associé au problème (1.1), lorsque l’on ne connaît pas la fissure γ et qu’on dispose pour l’identifier de données surdéterminées sur le bord extérieur Γ, sous la forme de couples (u,Φ). Pour déterminer sous quelles conditions ce problème inverse est bien posé et en proposer une méthode de résolution, il nous faut examiner les trois points suivants :

• Identifiablité Pour p > 0, on notera S^{p}(D) l’espace de Sobolev sur un domaine D de ℝ^{n}. Cette définition est étendue pour p < 0 par dualité de manière classique (voir par exemple [32] pour plus de détails). Définissons, pour une fissure γ, l’opérateur de Poincaré-Steklov Λ_{γ} associé

\begin{aligned}Λ_{γ} : & S^{− \frac{1}{2}} (Γ) & ⟶ & S^{\frac{1}{2}} (Γ) \\ & Φ & ⟼ & u \end{aligned}  (1.4)

Un résultat d’identifiabilité pour la fissure consiste à prouver que l’opérateur qui à γ associe Λ_{γ} est injectif. Toutefois, dans la mesure où l’on ne dispose au plus que d’un ensemble fini de couples (u, Φ), il nous faut un résultat plus fort. On ne pourra en effet assurer l’identifiabilité que si, pour un flux Φ donné (ou pour un ensemble fini de flux), l’opérateur associé

\begin{aligned}η_{Φ} : & Σ & ⟶ & S^{\frac{1}{2}} (Γ) \\ & γ & ⟼ & u|_{Γ} \end{aligned}  (1.5)

(où Σ est l’ensemble des fissures admissibles dans D) est injectif.

Remarque 1 On soulignera néanmoins qu’il s’agit même dans ce cas d’une “idéalisation” du problème, puisqu’en réalité on ne dispose pas de la fonction u elle-même, mais uniquement d’un échantillonage de ses valeurs sur un ensemble fini de points. □

• Stabilité Une fois que l’on a la première condition remplie, il convient de s’assurer de la stabilité de la solution par rapport aux données. Pour cela, il est nécessaire que, pour le flux Φ choisi et η_{Φ} défini comme ci-dessus, l’opérateur inverse

\begin{aligned}η_{Φ}^{−1} : & η_{Φ}(Σ) & ⟶ & Σ \\ & u & ⟼ & γ \end{aligned}  (1.6)

soit continu (pour une topologie préalablement choisie).

• Identification Lorsque les deux conditions précédentes sont remplies, ce problème est bien posé au sens d’Hadamard et l’on peut aborder la question de l’identification. Il s’agit de définir un procédé d’inversion (un ou plusieurs flux Φ et l’opérateur η_{Φ}^{−1} associé) afin de retrouver la localisation et la forme de la fissure à partir de la réponse du sytème (la température, ici) au flux Φ choisi.

1.1 Résultats d’identifiabilité

Ce problème a été initialement introduit par A. Friedman et M. Vogelius. Dans un article [28] publié en 1989, ils prouvent un premier résultat d’identifiabilité dans le cas d’une fissure unique intérieure. Il y est établi que le choix de deux flux Φ particuliers sur le bord du domaine suffit pour déterminer de manière unique la présence d’une fissure C^{2}, et que ce nombre de flux est le nombre minimal. Ce résultat a connu par la suite plusieurs généralisations pour le cas, non plus d’une seule fissure, mais de collections de fissures dans le domaine D. Dans l’article [24] de K. Bryan et M. Vogelius, on trouve une preuve de l’identifiabilité de n fissures par n + 1 flux, résultat renforcé par G. Alessandrini et A. D. Valenzuela dans [6] ainsi que par H. Kim et J. K. Seo [36] qui démontrent des résultats d’identifiabilité avec seulement deux flux (résultat minimal). Les techniques de preuves employées dans ces travaux reposent sur une étude fine des courbes de niveau de la solution. Ainsi, sous les hypothèses idoines de régularité, on voit que le choix a priori de deux flux particuliers permet d’obtenir l’unicité des mesures extérieures par rapport aux fissures dans de nombreux cas.

On notera par ailleurs les résultats d’identifiabilité obtenus pour un problème connexe au nôtre : dans le cas où l’on ne dispose de mesures que sur une partie du bord et que l’on cherche à identifier une fissure atteignant la frontière extérieure du domaine (on parle dans ce cas d’une fissure débouchante). S. Andrieux, A. Ben Abda et M. Jaoua démontrent dans [10] un résultat d’unicité à partir d’un unique flux particulier. Enfin, on trouvera un résultat traitant le cas de plusieurs fissures débouchantes dans les travaux de A. R. Elcrat, V. Isakov et O. Neculoiu [27].

1.2 Résultats de stabilité

Dans l’article [28] est fourni un premier résultat de stabilité lipschitzienne portant sur l’angle entre deux fissures, dans le cas où celles-ci sont rectilignes. Pour une estimation plus complète sur ce même type de défauts, on citera les résultats énoncés par G. Alessandrini, E. Beretta et S. Vessella dans [4]. Le cas d’une fissure intérieure non rectiligne est abordé dans un autre article d’Alessandrini [3] avec un résultat de stabilité conditionnelle, le problème général étant mal posé, comme l’indique l’auteur.

Concernant le cas de fissures débouchantes, plusieurs résultats de stabilité sont démontrés dans [10] (un résultat de stabilité faible par rapport à la géométrie du défaut, et un résultat de stabilité locale lipschitzienne pour le cas où la fissure est rectiligne).

Une estimée de stabilité lipschitzienne sous des conditions de régularité plus générales est prouvée dans un article à paraître de L. Rondi [45].

1.3 Résultats d’identification

Dans notre cadre de travail, on distingue deux familles de méthodes d’identification :

1. Les méthodes itératives.

Basées sur la minimisation d’une fonctionnelle moindres carrés (typiquement sur l’écart à la mesure), elles nécessitent la résolution d’un problème direct à chaque itération.

2. Les méthodes “semi-explicites”. Ces dernières donnent lieu à des techniques d’inversion ne nécessitant aucune évaluation de la solution du problème aux limites correspondant.

Dans ce qui suit, nous allons détailler trois types particuliers de méthodes d’identification, la première est itérative et les deux suivantes sont semi-explicites. Les techniques que nous développerons dans les chapitres suivants appartiennent aussi à la deuxième classe des méthodes exposées ci-dessus. Il est important de noter que ces dernières, lorsqu’elles ne suffisent pas à localiser totalement la fissure, peuvent toutefois être utilisées afin d’initialiser des méthodes itératives.

1.3.1 Méthode itérative

L’approche présentée dans l’article [48], F. Santosa et M. Vogelius considèrent le problème dual au nôtre :

\{ \begin{matrix}Δu & = & 0 dans D_{γ} = D \ γ , \\ \frac{∂u}{∂n_{Γ}} & = & Φ sur le bord Γ = ∂D , \\ u & = & Constante sur γ, \end{matrix}  (1.7)

Le problème inverse associé à ce problème direct est toujours de localiser la fissure γ par une connaissance de Φ et des mesures des valeurs de u correspondantes sur le bord extérieur Γ sous la condition cette fois que celle-ci soit de conductivité infinie.

Pour que le problème soit bien posé, on y ajoute les conditions d’existence et de normalisation suivantes :

∫_{Γ} Φ(z)|dz| = 0  (1.8)

et

u = 0 sur γ.  (1.9)

Cette approche suppose que la fissure γ est rectiligne. Afin de localiser cette dernière, on définit tout d’abord une fonctionnelle

H(σ, Φ, w) = ∫_{Γ} u_{σ,Φ}(z)\frac{∂w}{∂n_{Γ}} (z)|dz|  (1.10)

pour une fissure rectiligne σ et pour toute fonction w statisfaisant

\{ \begin{matrix}w & = & 0 sur σ , \\ Δw & = & 0 dans D_{σ} , \end{matrix}  (1.11)

(ici, u_{σ,Φ} désigne la solution de (1.7) et (1.9) avec σ à la place de γ). Muni de cette définition, on considère la fonctionnelle vectorielle H construite comme suit :

H(σ, Φ, w) = ( \begin{matrix}H(σ, Φ, w_{1}) \\ H(σ, Φ, w_{2}) \\ H(σ, Φ, w_{3}) \\ H(σ, Φ, w_{4}) \end{matrix} ) .  (1.12)

Le choix des fonctions tests w_{k}, k = 1, …, 4 est essentiel comme nous allons le voir un peu plus loin. Par les mesures sur le bord extérieur u|_{Γ}, il est possible d’autre part de se doter de mesures pour la fonction :

h(Φ, w) = H(γ, Φ, w) = ( \begin{matrix}H(γ, Φ, w_{1}) \\ H(γ, Φ, w_{2}) \\ H(γ, Φ, w_{3}) \\ H(γ, Φ, w_{4}) \end{matrix} ) .  (1.13)

Enfin, pour une fissure σ choisie, les auteurs décrivent une méthode pour choisir Φ_{σ} dans un ensemble de flux admissibles, de manière à ce que Φ_{σ} soit maximalement sensible aux variations de σ. L’approche présentée dans ces travaux consiste à résoudre G(σ) = 0 où G désigne la fonctionnelle G(σ) = H(σ, Φ_{σ}, w)−h(Φ_{σ}, w) à l’aide d’un algorithme de Newton. Les auteurs déterminent dans ce but une expression explicite de la dérivée de Fréchet de cette fonctionnelle en fonction de σ, et montrent que celle-ci peut-être simplifiée en choisissant les w_{k} suivants :

w_{1} = (−x_{2}, x_{1})^{T} . ▽ w, w_{2} = \frac{∂w}{∂x_{2}} , w_{3} = \frac{∂w}{∂x_{1}} , w_{4} = (x_{1}, x_{2})^{T} . ▽ w, (1.14)

Fig. 1.2 – Une expérimentation par méthode itérative (extrait de [48])

où (x_{1}, x_{2}) désignent les coordonnées cartésiennes et où w satisfait (1.11).

Les flux utilisés dans leurs expérimentations sont constants sur deux parties du bord (les points où sont placées des électrodes) et nuls ailleurs. Les figures 1.2, issues de l’article, montrent une de ces expérimentations :

Sur la partie gauche des figures, on voit le segment choisi comme fissure initiale au début de chaque itération ((a) et (b) indiquent la première puis la seconde itération) ainsi que les positions des électrodes (les carrés) pour que le flux soit maximalement sensible à chaque itération.

La partie de droite montre d’une part la vraie fissure en pointillés, et d’autre part la position de la fissure à la fin de l’itération. Comme on le voit, si le point de départ est bien choisi, la convergence peut être assez rapide.

Cette approche permet de déterminer assez précisemment la position d’une fissure rectiligne. Elle requiert toutefois un coût important de par les résolutions successives du problème direct qu’elle effectue. On notera par ailleurs que pour exprimer la dérivée de la fonctionnelle, les auteurs supposent que σ est assez proche de γ, d’où l’importance de disposer de bonnes conditions initiales dans l’algorithme.

1.3.2 Méthode d’écart à la réciprocité

Cette méthode, introduite par S. Andrieux et A. Ben Abda dans [9], consiste à comparer la réponse de la pièce fissurée avec celle d’une pièce saine de mêmes caractéristiques.

Soit D l’ouvert occupé par la structure à contrôler, rappelons alors le problème direct correspondant :

\{ \begin{matrix}Δu & = & 0 dans D_{γ} = D \ γ , \\ \frac{∂u}{∂n_{Γ}} & = & Φ sur le bord Γ = ∂D , \\ \frac{∂u^{±}}{∂n_{γ}} & = & 0 sur γ^{o} = γ \ \{γ_{0}, γ_{1}\} . \end{matrix}  (1.15)

Notons h = u|_{Γ} et considérons v un champ harmonique dans l’ouvert sain. Alors, par la deuxième formule de Green, on a :

∫_{Γ} (Φ(z)v(z) − \frac{∂v}{∂n_{Γ}} (z)h(z)) |dz| = ∫_{γ} [u]_{γ}(z)\frac{∂v}{∂n_{γ}} (z)|dz|  (1.16)

(où [u]_{γ} = u^{+} − u^{−} désigne le saut de la valeur u au travers de la fissure γ). L’idée de la méthode consiste à sélectionner des champs v pour avoir des informations sur γ.

Si la fissure est plane dans un domaine 3D (ou rectiligne dans un domaine 2D), la normale n_{γ} est indépendante du point x de γ. On peut alors la déterminer par les résultats suivants. Définissons la fonctionnelle d’écart à la réciprocité (RG = Reciprocity Gap) comme étant

RG_{[Φ,h]}(v) = ∫_{Γ} (Φ(z)v(z) − \frac{∂v}{∂n_{Γ}} (z)h(z)) |dz|  (1.17)

pour une fonction v harmonique dans le domaine sain D. Pour déterminer le plan Π de la fissure, on considère un repère direct orthonormal (O, e_{1}, e_{2}, e_{3}) et on note l’équation du plan comme étant n_{1}x_{1} +n_{2}x_{2} +n_{3}x_{3} +C = 0 (où (x_{1}, x_{2}, x_{3}) sont des coordonnèes cartésiennes et N = (n_{1}, n_{2}, n_{3}) est un vecteur unitaire normal au plan).

Proposition 1 On note x_{k} l’application x ↦ x_{k}, et L_{k} = RG_{[Φ,h]}(x_{k}) pour k = 1, 2, 3. Si Φ est choisi de telle manière que ∫_{γ} [u]_{γ}(z)|dz| ≠ 0, alors les composantes du vecteur unitaire normal au plan Π de la fissure sont données par

n_{k} = \frac{L_{k}}{\sqrt{L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + L_{3}^{2}}} pour k = 1, 2, 3.  (1.18)

De plus,

|∫_{γ} [u]_{γ}(z)|dz|| = \sqrt{L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + L_{3}^{2}}.  (1.19)
□

Une fois la normale N déterminée par cette proposition, on considère un nouveau repère orthonormal direct (O, T, V, N) de telle sorte qu’en associant les coordonnées (X_{1}, X_{2}, X_{3}) à ce nouveau repère, le plan Π a pour équation X_{3} − C = 0. On achève en déterminant C avec la proposition suivante :

Proposition 2 La constante C déterminant le plan Π est donnée par

C = \frac{RG_{[Φ,h]}(p)}{|∫_{γ} [u]_{γ}(z)|dz||}  (1.20)

où

p(X_{1}, X_{2}, X_{3}) = \frac{X_{3}^{2} − X_{2}^{2}}{2} .  (1.21)
□

Une fois le plan de la fissure identifié, il reste alors à déterminer la fissure ellemême dans le plan. Dans ce but, les auteurs décrivent une méthode constructive d’identification. Celle-ci considère la prolongation de la fonction de saut [u]_{γ} = u^{+} − u^{−} dans le domaine Π ⋂ D, et cherche à déterminer son support. Pour cela, on utilise une décomposition dans une base Hilbertienne (la base de Fourier est proposée dans cet article) et l’on calcule les coefficients à l’aide de la fonctionnelle RG. Compte tenu des oscillations de telles décompositions, on fixe un seuil ϵ arbitraire et on approxime le support de [u]_{γ} par l’ensemble {t ∈ Π : [u]_{γ}(t) > ϵ}. Les auteurs présentent finalement le résultat d’identifiabilité suivant :

Théorème 1 Si le domaine ouvert D contient une fissure plane γ (non nécessairement connexe) et si le flux Φ est choisi de telle sorte que ∫_{γ} [u]_{γ}(z)|dz| ≠ 0, alors γ est déterminée de manière unique. □

Dans un article en préparation [22], A. Ben Abda et M. Kallel étendent ces travaux et présentent des résultats numériques. La base hilbertienne utilisée dans cet article n’est pas la base de Fourier mais la base de Legendre, celle-ci présentant des oscillations moindres hors du support et permet de réduire le seuil ϵ pour obtenir une meilleure convergence du support vers la fissure.

Cette approche par la fonctionnelle d’écart à la réciprocité présente de nombreux avantages : Il s’agit d’une méthode semi-explicite, ce qui permet d’obtenir les informations sur la fissure en un temps bien moindre que celui requis par un algorithme itératif. De plus, cette approche ne suppose pas pour fonctionner que la fissure soit nécessairement connexe et reste robuste par rapport au bruit sur les mesures au bord. Les courbes montrées dans la figure 1.3 montrent la reconstruction de [u]_{γ} et de son support pour un flux identifiant (egal à 1 dans le demi-plan supérieur et -1 dans le demi-plan inférieur). On voit que le seuillage permet d’obtenir une bonne identification du support. Il est important de souligner que cette méthode présente une bonne robustesse par rapport au bruit sur les mesures.

(a) Reconstruction de [u]_{γ} sur Π.  (b) Cas d’une fissure non connexe.

Fig. 1.3 – Reconstruction du support par la méthode RG (extrait de [22]).

1.3.3 Méthode semi-explicite par factorisation

Cette méthode non itérative, présentée par M. Brühl, M. Hanke et M. Pidcock dans [23], ne requiert pas de résolution du problème direct excepté pour un premier calcul de l’opérateur de Poincaré-Steklov tel que défini en (1.4) mais correspondant au domaine sain.

A l’aide d’une factorisation de la différence entre l’opérateur Λ associé au domaine sain D et celui associé au domaine fissuré Λ_{γ}, les auteurs définissent un test simple et peu coûteux permettant de déterminer si un arc de courbe est inclus dans la fissure γ. Pour présenter ces résultats, il convient d’ajouter à nos notations introduites en (1.15) quelques définitions et notations utilisées dans l’article. Notons Γ_{0} ⊂ Γ le support du flux Φ sur le bord extérieur. On définit l’espace

L_{⋄}^{2}(Γ_{0}) = {φ ∈ L^{2}(Γ_{0}) : ∫_{Γ_{0}} φ(z)|dz| = 0} .  (1.22)

D’autre part, toujours en notant S^{1}(D) l’espace de Sobolev standard, on définira les espaces suivants :

S_{⋄}^{1}(D) = {v ∈ S^{1}(D) : v|_{Γ_{0}} ∈ L_{⋄}^{2}(Γ_{0})} ,  (1.23)

on caractérisera S_{⋄}^{1}(D_{γ}) comme étant la fermeture de

C = {u ∈ C^{∞}, (D̄ \ γ) : ∫_{D_{γ}} | ▽ u(z)|^{2} dx dy < ∞ et ∫_{Γ_{0}} u(z)|dz| = 0} (1.24)

(où z = x + iy) pour une topologie associée à la norme de Dirichlet

∥u∥ = \sqrt{∫_{D_{γ}} | ▽ u(z)|^{2} dx dy},  (1.25)

et on posera K comme étant le complémentaire orthogonal de S_{⋄}^{1}(D) dans S_{⋄}^{1}(D_{γ}) (pour le produit scalaire

< u, v > = ∫_{D_{γ}} < ▽u(z), ▽v(z) > dx dy  (1.26)

associé à la norme définie plus haut). Notons enfin les deux opérateurs suivants :

\begin{aligned}T : & S_{⋄}^{1}(D_{γ}) & → L_{⋄}^{2}(Γ_{0}) \\ & v & ↦ v|_{Γ_{0}}, \end{aligned}  (1.27)

l’opérateur trace sur Γ_{0}, et

\begin{aligned}K : & L_{⋄}^{2}(Γ_{0}) & → S_{⋄}^{1}(D_{γ}) \\ & Φ & ↦ u_{γ,Φ} − u_{Φ}, \end{aligned}  (1.28)

où u_{γ,Φ} et u_{Φ} désignent les réponses du système au flux Φ pour les domaines respectivement fissuré et sain. On notera R(K) son image.

Les auteurs définissent et prouvent une factorisation de l’opérateur défini par la différence entre Λ et Λ_{γ}, sous forme d’un produit de deux opérateurs adjoints dans le théorème suivant :

Théorème 2 La fermeture de R(K) coïncide avec le sous-espace K, et l’opérateur adjoint K^{∗} : S_{⋄}^{1}(D_{γ}) → L_{⋄}^{2}(Γ_{0}) de K est donné par

K^{∗}v = \{ \begin{matrix}T v & pour v ∈ K \\ 0 & pour v ∈ S_{⋄}^{1}(D). \end{matrix}  (1.29)

En particulier,

Λ_{γ} − Λ = T K = K^{∗}K.  (1.30)
□

Cette factorisation étant établie, on a alors le résultat suivant :

Théorème 3 La différence Λ_{γ} − Λ : L_{⋄}^{2}(Γ_{0}) → L_{⋄}^{2}(Γ_{0}) des deux opérateurs de Neumann-to-Dirichlet est un opérateur autoadjoint semidéfini positif. De fait, Λ_{γ} − Λ a une racine carrée autoadjointe semidéfinie positive (Λ_{γ} − Λ)^{\frac{1}{2}} et une fonction g ∈ L_{⋄}^{2}(Γ_{0}) appartient à l’image de cet opérateur racine si et seulement si g = T w pour une fonction harmonique w ∈ S_{⋄}^{1}(D_{γ}) telle que

\frac{∂w}{∂n_{Γ}} = 0 sur Γ et [\frac{∂w}{∂n_{γ}} ]_{γ} = 0.  (1.31)
□

Enfin, en remarquant que R((Λ_{γ} − Λ)^{\frac{1}{2}} ) = R(K^{∗}), ce thèorème se traduit par le fait que, pour toute fonction g ∈ L_{⋄}^{2}(Γ_{0}), on a g ∈ R(K^{∗}) si g = T w pour une certaine fonction w ∈ K. La procédure d’identification consiste à construire la fonction v suivante.

Soit σ une courbe dans D, notons D_{σ} = D \ σ, et définissons v_{1} par un potentiel double-couche comme suit :

v_{1}(z) = \frac{1}{2π} ∫_{σ} φ(ξ)\frac{∂}{∂n_{σ}} log \frac{1}{|z − ξ|}|dξ|, z ∈ D_{σ}  (1.32)

pour une densité φ lisse et positive sur la fissure excepté aux extrémités où elle s’annule. Soit v_{0} une fonction harmonique dans D dont le flux sortant à travers Γ coïncide avec celui de v_{1}. On peut alors déterminer une constante c telle que v = v_{1} − v_{0} − c ∈ S_{⋄}^{1}(D_{σ}) et l’on a le résultat suivant.

Théorème 4 Soit g_{σ} = T v la trace de v sur Γ_{0}, alors g_{σ} ∈ R((Λ_{γ} − Λ)^{\frac{1}{2}} ) si et seulement si σ ⊂ γ. □

Il est important de souligner que le calcul de g_{σ} ne nécessite pas une résolution systématique du problème direct pour chaque σ car v_{0} n’est évaluée que sur Γ_{0}, et l’on peut donc l’obtenir par l’opérateur de Poincaré-Steklov Λ associé au domaine sain.

Les auteurs décrivent dans la dernière partie de l’article un moyen numérique d’estimer si un segment σ est “proche” de la fissure γ en calculant un coefficient ρ = ρ(σ ∈ [0, 1] qui tend vers 1 lorsque le segment test s’approche de γ. Les figures 1.4 montrent une de ces simulations. On voit en (a) un domaine avec

(a) Position de la fissure et d’un segment test

(b) Topologie du domaine

Fig. 1.4 – Topologie d’un domaine par la méthode Brühl-Hanke-Pidcock. (extrait de [23])

une fissure et en (b) la “topologie” du domaine en le parcourant avec des segments σ et en affichant la valeur du coefficient ρ correspondant. Afin de déterminer la position de la fissure, on peut alors ne considerer que les segment pour lesquels ρ dépasse un seuil arbitrairement choisi. Les figures 1.5 illustrent le résultat obtenu en ne regardant que les segments pour lesquels ρ > 3/4. Cette méthode présente un avantage important du fait qu’elle ne requiert pas de connaissance a priori sur le nombre de fissures ni même sur leur forme. Toutefois, si elle est non itérative (au sens où elle ne nécessite pas de résolutions successives du problème direct), elle suppose en contrepartie la connaissance d’un nombre important de couples (u, Φ), ceci afin d’établir une sous-suite des valeurs propres de l’opérateur racine. Le problème principal reste que l’on ne peut évaluer qu’un nombre fini de valeurs propres de l’opérateur racine, ce qui pose des limites numériques sur le test.

(a) Segments pour lesquels ρ > 3/4  (b) Agrandissement près de la fissure

Fig. 1.5 – Localisation de la fissure par la méthode Brühl-Hanke-Pidcock. (extrait de [23])

1.4 Le cas tridimensionnel

Dans la mesure où nous utilisons dans nos travaux une approche bidimensionnelle, nous nous sommes volontairement restreint dans cette partie à une présentation des résultats concernant des domaines plans. Il convient néanmoins de mentionner qu’il existe quelques résultats relatifs à des domaines 3D. Comme nous le soulignons précédemment, l’approche par la fonctionnelle d’écart à la réciprocité exposée dans [9] permet, non seulement d’identifier des fissures droites dans un domaine plan, mais aussi d’identifier des fissures planes dans des domaines tridimensionnels. On citera par ailleurs des résultats d’identifiabilité et de stabilité présentés par G. Alessandrini et E. DiBenedetto dans [5], concernant toujours le cas d’une fissure 2D dans un domaine 3D.

Chapitre 2

Approximation rationnelle et méromorphe

Dans ce chapitre, nous allons exposer le principe qui sous-tend notre approche, c’est-à-dire comment le problème inverse que nous considérons dans nos travaux peut être reformulé sous la forme d’un problème d’approximation, et comment les outils usuels de l’analyse complexe nous fournissent alors un nouvel angle d’approche pour étudier les problèmes inverses du Laplacien.

2.1 Notations

Posons quelques notations préliminaires. Soient

𝔻 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} le disque unité.
𝕋 = {z ∈ ℂ : |z| = 1} le cercle unité.

Pour tout polynôme

P (z) = ∑_{j=0}^{n} p_{j}z^{j}  (2.1)

à coefficients complexes, on notera son polynôme réciproque

P̃(z) = ∑_{j=0}^{n} \overline{p_{j}}z^{n−j}.  (2.2)

On designera par C(𝕋) l’espace des fonctions continues sur 𝕋 à valeurs complexes. Dans la mesure où nous allons principalement travailler dans le disque unité, on notera dans la suite L^{2} = L^{2}(𝕋), l’espace de Hilbert usuel des fonctions f(z)

Lebesgue mesurables à valeurs complexes sur 𝕋 telles que

∥f∥_{2}^{2} = ∫_{0}^{2π} |f(e^{iθ})|^{2} \frac{dθ}{2π} < ∞  (2.3)

muni du produit scalaire usuel

< f, g >= ∫_{0}^{2π} f(e^{iθ})\overline{g(e^{iθ})}\frac{dθ}{2π} .  (2.4)

De même, on désignera par L^{∞} l’espace de Banach L^{∞}(𝕋) des fonctions f(z) à valeurs complexes essentiellement bornées sur 𝕋 muni de la norme

∥f∥_{∞} = ess sup_{|z|=1} |f(z)|.  (2.5)

En notant la décomposition de Fourier de la fonction f comme

f(z) = ∑_{k∈ℤ}f_{k}z^{k},  (2.6)

on posera \overline{f} la fonction

\overline{f}(z) = ∑_{k∈ℤ} \overline{f_{k}}z^{k}.  (2.7)

On définira aussi H^{p} (p = 2 ou ∞) comme le sous-espace fermé de L^{p} suivant :

H^{p} = H^{p}(𝔻) = {f ∈ L^{p} : f_{k} = 0 pour k < 0}.  (2.8)

Il est un résultat bien connu [50, ch. 13] que toute fonction f de H^{2} s’étend de manière analytique à 𝔻, ce qui est aussi valable pour H^{∞} puisque H^{∞} ⊂ H^{2} ; Notons la caractérisation équivalente suivante :

f(z) = ∑_{k∈ℤ}f_{k}z^{k} ∈ H^{p} si sup_{0<r<1} ∥f(re^{iθ})∥_{p} < ∞,  (2.9)

et la trace de f sur le cercle unité 𝕋 est alors obtenue comme limite non tangentielle presque partout. Il est également classique que toute fonction f non nulle de l’espace de Hardy H^{2} se décompose de manière unique en f = jw où

w(z) = exp \{\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \frac{e^{iθ} + z}{e^{iθ} − z} log |f(e^{iθ})| dθ\}  (2.10)

appartient à H^{2} et est appelé le facteur extérieur de f cependant que j ∈ H^{∞} est de module 1 presque partout sur 𝕋 et s’appelle le facteur intérieur de f. Ce dernier peut lui-même se décomposer en j = bS où

b(z) = cz^{k} ∏_{z_{l}≠0} \frac{−z̄_{l}}{|z_{l}|} \frac{z − z_{l}}{1 − z̄_{l}z}  (2.11)

est le produit de Blaschke avec un zéro d’ordre k à l’origine associé à la suite de points z_{l} ∈ 𝔻 \ {0} et à la constante c ∈ 𝕋, cependant que

S(z) = exp \{−\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \frac{e^{iθ} + z}{e^{iθ} − z} dμ(θ)\}  (2.12)

est le facteur singulier associé à la mesure positive μ qui est singulière par rapport à la mesure de Lebesgue. Les z_{l} sont bien sûr les zéros de μ comptés avec leur multiplicité. S’il y en a une infinité, la convergence de b dans 𝔻 est assurée par la condition

∑_{l} (1 − |z_{l}|) < ∞  (2.13)

qui résulte automatiquement du fait que log |f| ∈ L^{1}(𝕋). Lorsque f est analytique à travers le disque 𝕋, μ est nulle et S vaut identiquement 1 (cf. [46, 30]). On notera par ailleurs \overline{H^{2}} le complémentaire orthogonal de H^{2} dans L^{2} et l’on notera P\overline{H^{2}} : L^{2} → \overline{H^{2}} l’opérateur de projection sur \overline{H^{2}}, ainsi que P_{H^{2}} : L^{2} → H^{2} la projection sur H^{2}. Enfin, pour p = 2 ou ∞, on désignera par H_{N}^{p} l’espace H^{p} + R_{N}, où R_{N} est l’espaces des fractions rationnelles de degré au plus N et ayant tous leurs pôles dans 𝔻 et s’annulant à l’infini (donc R_{N} ⊂ \overline{H^{2}}).

2.2 L’analyse complexe et l’équation de la chaleur

D’une manière analogue aux méthodes présentées dans le chapitre précédent, nous allons utiliser dans notre approche la dualité entre les données u et Φ sur le bord Γ du domaine D. Pour introduire cette dualité en termes d’analyse complexe, considérons une fonction u satisfaisant le système (1.1) pour un domaine D délimité par une frontière extérieure Γ Hölder C^{1,α} (0 < α < 1) et pour une fissure γ définie par un arc de Jordan C^{1,α} incluse dans 𝔻 et n’intersectant pas sa frontière extérieure. Nous entendons par ceci que γ admet une paramétrisation de la forme γ = {β(t) : t ∈ [0, 1]} telle que β admette, pour un ϵ > 0, une dérivée Lipschitz d’ordre α sur [−ϵ, 1 + ϵ].

Cette fonction u est alors harmonique dans D_{γ} = D\γ et peut être vue comme étant la partie réelle d’une fonction f analytique dans D_{γ} et définie comme

f = u + iũ  (2.14)

où ũ désigne le conjugué harmonique de u dans D_{γ} à une constante additive près. Grâce à (1.2), la fonction ũ ainsi définie est monovaluée dans ce même domaine et l’on a, d’après les équations de Cauchy-Riemann sur la frontière extérieure, la relation

\frac{∂ũ}{∂s} = \frac{∂u}{∂n_{Γ}} = Φ  (2.15)

(où ∂/∂s désigne la dérivée tangentielle le long de Γ). De telle sorte que f peut s’étendre sur le bord extérieur Γ du domaine de la manière suivante :

F (z) = f|_{Γ}(z) = u(z) + i ∫_{a}^{z} Φ(w)|dw|,  z ∈ Γ  (2.16)

pour une constante a choisie arbitrairement, et en ajustant la constante de ũ de telle sorte que F = f|_{Γ}. Le problème inverse que nous considérons peut alors être réécrit sous la forme suivante :

Connaissant F sur Γ, trouver un arc de Jordan γ ∈ D tel que F soit la trace sur Γ d’une fonction f analytique et bornée dans D_{γ}.

Nous pouvons d’ores et déjà remarquer que cette fonction F dans L^{p} est la trace d’une fonction f ∈ H^{p} (p = 2 ou ∞) si et seulement si la fissure γ est vide ou confondue avec une ligne de niveau de f.

Une fois la présence d’une fissure établie (en choisissant un flux identifiant selon la méthode proposée en [28] par exemple), notre approche réside dans l’étude de différents types d’approximants de la fonction F sur la frontière extérieure Γ. Nous nous intéresserons plus particulièrement aux approximants rationnels ou méromorphes de F sur la frontière Γ du domaine D, et de la façon dont les pôles de ces approximants nous fournissent une information sur l’existence et la position de la fissure γ.

2.3 Différents types d’approximation

Dans la mesure où les seules données auxquelles on accède sont sur la frontière extérieure du domaine, les différents types d’approximants que nous allons considérer seront des approximants des valeurs au bord. Afin d’utiliser des méthodes d’approximation connues, il sera nécessaire de nous ramener au cas où le domaine D est le disque unité 𝔻. On pourra alors considérer les meilleurs approximants rationnels ou méromorphes de F sur le cercle unité 𝕋 = ∂𝔻 pour les normes L^{2} et L^{∞}. On notera toutefois que ceci n’induit pas nécessairement une perte de généralité. Il est en effet connu [26, ch. 10] que l’application conforme qui envoie 𝔻 sur D conserve leurs espaces H_{N}^{2} et H_{N}^{∞} respectifs.

Les types d’approximants que nous allons considérer sont, d’une part le meilleur approximant dans R_{N} au sens de la norme L^{2}, et d’autre part le meilleur approximant dans H_{N}^{∞} au sens de la norme L^{∞}, obtenu par un résultat d’Adamjan, Arov et Krein (AAK) que nous présentons plus loin. En fait, dans les deux cas, p = 2 et p = ∞, il s’agit d’approximer une fonction f ∈ L^{p} par une fontion g_{N} ∈ H_{N}^{p}. Mais dans le cas où p = 2, on obtient, grâce à l’orthogonalité H^{2} ⊥ \overline{H^{2}} et grâce à l’inclusion R_{N} ⊂ \overline{H^{2}}, que g_{N} = P_{H^{2}}(f) + r_{N} où r_{N} ∈ R_{N} est le meilleur approximant de P\overline{H^{2}}(f). C’est sous cette dernière formulation que nous aborderons l’approximation pour la norme L^{2}.

2.3.1 L’approximation rationnelle L^{2}

On s’intéresse ici au meilleur approximant rationnel pour la norme L^{2}. Le problème se formule de la manière suivante :

Pour une fonction f ∈ \overline{H^{2}}, trouver un couple de polynômes (p, q) de degrés respectifs n − 1 et n, tels que q ait ses zéros dans 𝔻 et tels que

∥f − \frac{p}{q}∥_{2}  (2.17)

soit minimal sous ces hypothèses.

La méthode que nous utilisons pour déterminer ce meilleur approximant s’appuie sur un algorithme itératif de type quasi-Newton, implémenté dans le logiciel d’approximation rationnelle Hyperion développé au sein du projet MIAOU. Nous présentons ici quelques résultats sur lesquels s’appuie cette méthode. Cette approche étant numérique, et dans la mesure où l’on ne connaît f que sur un échantillon de valeurs sur 𝕋, on ne cherchera à estimer en fait qu’un nombre fini de ses coefficients de Fourier. Il sera donc naturel, de considérer ici f comme un polynôme trigonométrique de degré m. Définissons alors le polynôme g comme ceci :

g(z) = \frac{1}{z}\overline{f} (\frac{1}{z})  (2.18)

(avec deg B < deg q)) et définissons A et B par une division euclidienne, de telle sorte que

gq̃ = Aq + B.  (2.19)

En posant p = B̃, on trouve que

f − \frac{p}{q} = \frac{Ãq̃}{qz^{m+1}} .  (2.20)

Théorème 5 Pour un polynôme q déterminé, le minimum de ∥f − p/q∥_{2} est unique et est atteint pour p = B̃. Alors, son carré vaut

∥f − p/q∥_{2}^{2} = ∥A∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − < f, p/q > .  (2.21)
□

L’algorithme que nous utilisons cherchera donc à minimiser le critère Ψ(q) = ∥A∥^{2} par rapport aux coefficients du polynôme q. La démonstration de ce théorème est immédiate car on vérifie sans peine que f − B̃/q est orthogonal à z^{k}/q pour 0 ≤ k ≤ n − 1 et donc que B̃/q est la projection de f sur l’espace des fonctions de dénominateur q dans \overline{H^{2}}. Pour plus de détails sur les équations aux points critiques et la convergence de l’algorithme, on renvoie le lecteur à [31, 13, 17].

Avant de mettre en œuvre cet algorithme qui est un algorithme de descente conjugué avec une méthode de Newton, il est bien sûr naturel de s’interroger sur l’existence et l’unicité de tels approximants rationnels. Si l’existence d’un meilleur approximant est toujours assurée (on pourra par exemple se référer à [11, 12] pour une preuve de cette propriété dans un cas plus général), l’unicité en revanche n’a pas lieu en général. Parmi les résultats obtenus, on citera notamment les travaux menés par L. Baratchart, E. B. Saff et F. Wielonsky [17], puis de L. Baratchart, H. Stahl et F. Wielonsky à paraître [19], d’où il ressort que le critère ∥f − p/q∥_{2} n’admet qu’un seul point critique à l’ordre n (donc un minimum) par rapport aux coefficients de q si, pour chaque point critique p/q, il existe des polynômes A et B de degrés respectifs n − 2 et n − 1 tels que A/B interpole f en 2n − 2 points de ℂ \ 𝔻 et tels que

|1 − \frac{f − A/B}{f − p/q} | > 2 sur 𝕋.  (2.22)

Pour certaines fonctions, lorsqu’on sait démontrer que l’erreur en interpolation décroît suffisamment vite et régulièrement, on peut prendre pour A/B un point critique à l’ordre n − 1, ce qui nous fournit un test peu coûteux.

Les auteurs de [19] utilisent ce critère pour prouver l’unicité asymptotique (i.e pour un ordre assez grand dépendant de f) dans le cas où la fonction f approximée est une fonction de Markov dont la mesure est à support dans (−1, 1) et satisfait la condition de Szegö ; rappelons ici qu’une fonction est dite de Markov si elle est la transformée de Cauchy d’une mesure positive à support compact sur l’axe réel, en d’autres termes si elle s’écrit

f(z) = ∫ \frac{dμ(t)}{z − t},  suppμ compact ⊂ ℝ.  (2.23)

Dans [17], on prouve un résultat analogue pour la fonction exponentielle qui est le prototype d’une fonction entière dont les coefficients de Taylor sont convexes.

Il s’avère dans la pratique que l’unicité intervient assez rarement, beaucoup de fonctions présentant des minima locaux. Un critère plus global qui ne nécessite pas l’estimation ponctuelle de l’erreur sur 𝕋, mais seulement la valeur en des points critiques, est donné dans un article à paraître de L. Baratchart et F. Seyfert [18] mais ne concerne pour l’instant que la réduction d’un ordre n à l’ordre n−1. En tout état de cause, la présence possible de minima locaux oblige l’algorithme d’approximation à effectuer un certain nombre d’intégrations à partir de points initiaux pour pouvoir se convaincre que l’on a trouvé un minimum global, c’est-à-dire un meilleur approximant.

Bien que l’algorithme donné dans l’article de L. Baratchart, M. Cardelli et M. Olivi [13] (généralisé au cas matriciel par P. Fulchieri et M. Olivi [29]) et implémenté dans [31] par J. Grimm, ait une stratégie plutôt efficace pour engendrer des minima locaux à partir de ceux des ordres précédents, ceci pose parfois des problèmes pour le temps de calcul de tels approximants.

Remarquons malgré tout que les résultats de convergence des pôles sur lesquels se fonde la présente approche sont valables pour toute suite de minima locaux et pas seulement les minima absolus.

2.3.2 L’approximation méromorphe L^{∞}

Nous allons ici rappeler quelques résultats connus relatifs à l’approximation analytique ou méromorphe pour la norme L^{∞}. Ceux-ci ont été initialement développés pour résoudre le problème de Nehari :

Pour f une fonction L^{∞}, trouver g dans H^{∞} qui réalise la condition

∥f − g∥_{∞} = min_{h∈H^{∞}} ∥f − h∥_{∞}.  (2.24)

Un outil essentiel pour résoudre ce problème (et les problèmes connexes comme l’approximation méromorphe) est l’opérateur de Hankel : Pour f une fonction L^{∞}, on appelle opérateur de Hankel de symbole f l’opérateur défini par

\begin{matrix}H_{f} : H^{2} & → & \overline{H^{2}} \\ h & ↦ & P\overline{H^{2}}(fh). \end{matrix}  (2.25)

Muni de cet opérateur on peut alors énoncer un premier résultat sur le problème de Nehari. Théorème 6 (Nehari) Pour toute fonction f de L^{∞}, la norme de l’opérateur de Hankel associé H_{f} est égale à la distance (2.24) de f à l’espace H^{∞}. □

Remarque 2 Ce premier théorème nous fournit un test peu coûteux pour détecter la présence d’une fissure dans le domaine. En effet, dès lors que l’on impose un flux identifiant, soit encore lorsque la fissure n’est pas confondue avec une courbe de niveau de la fonction f correspondante, cette distance sera nécessairement non nulle. Toutefois, nous tirerons un parti bien plus important des résultats qui suivent. □

Théorème 7 (Solution du problème de Nehari) Soit f dans L^{∞} et H_{f} l’opérateur de Hankel associé. Si H_{f} admet un vecteur maximisant v, i.e. s’il existe un vecteur v ∈ H^{2} \ {0} tel que l’on ait ∥H_{f}v∥_{2} = ∥H_{f}∥ ∥v∥_{2}, alors il existe un unique meilleur approximant g de f dans H^{∞}, et il est donné par :

g = f − \frac{H_{f}v}{v} = \frac{P_{H^{2}}(fv)}{v}.  (2.26)
□

En fait, la condition pour que H_{f} admette un vecteur maximisant est remplie, dès lors que H_{f} est compact. Par le théorème de Hartman [39, thm. 3.20], on sait que H_{f} est compacte si et seulement si f est C(𝕋) + H^{∞}. Ces deux résultats ont été significativement généralisés par Adamjan, Arov et Krein [2] qui ont résolu par cette généralisation la question d’exprimer le meilleur approximant dans H_{N}^{∞} pour la norme L^{∞}:

Théorème 8 (AAK) Soit H_{f} l’opérateur de Hankel associé à une fonction f dans H^{∞} + C(𝕋). Alors, en notant s_{k}(H_{f}) la (k + 1)^{e} valeur singulière de l’opérateur H_{f}, on a

dist_{L^{∞}}(f, H_{k}^{∞}) = s_{k}(H_{f}).  (2.27)

De plus, cette distance est atteinte pour une unique fonction g_{k} ∈ H_{k}^{∞}, et si v_{k} est un vecteur singulier de H_{f} correspondant à s_{k}(H_{f}), alors g_{k} est donnée par:

g_{k} = f − \frac{H_{f}v_{k}}{v_{k}} = \frac{P_{H^{2}}(fv_{k})}{v_{k}}.  (2.28)

□

Dans tout ce qui suit, on supposera que les vecteurs v_{N} sont normalisés de telle sorte que ∥v_{N}∥_{2} = 1. Ce second type d’approximant, de par son expression explicite, s’avère beaucoup plus rapide à calculer que l’approximant L^{2}. Les deux modes sont néanmoins complémentaires dans la mesure où la norme L^{2} est moins sensible aux “petites” perturbations comme le bruit de mesure, et présente de ce fait un caractère plus robuste dans un cadre numérique.

Le choix de ces deux modes d’approximation parmi d’autres à notre disposition comme les approximants de Padé ou simplement la troncature des séries de Fourier, n’est bien sûr pas innocent. Dans le chapitre suivant, nous montrons en quoi ces deux modes d’approximation présentent des caractéristiques communes, et plus particulièrement comment on peut obtenir de ces deux formes une relation “d’orthogonalité non hermitienne” dont nous tirerons des informations sur la position relative des pôles et de la fissure γ.

Mentionnons aussi l’impossibilité numérique d’utiliser les approximants de Padé où la troncature de la série de Fourier, leur comportement étant instable avec les erreurs numériques sur le développement. En fait, on pourrait montrer qu’aucun schéma linéaire n’est robuste dans la situation présente.

26 Approximation rationnelle et méromorphe

Chapitre 3

L’équation d’orthogonalité non hermitienne

Dans ce chapitre, nous présentons des résultats sur le comportement des pôles de nos différents approximants et la manière dont ces informations peuvent être exploitées pour la détection et la localisation de fissures. Nous montrons dans un premier temps la manière dont la fonction f, (dont on construit une trace sur Γ comme décrit dans la section 2.2), peut être décomposée de sorte d’en exhiber la partie singulière sous forme d’une intégrale de Cauchy le long de la fissure γ. Nous montrerons ensuite comment l’approximation de ce type de fonctions par les méthodes décrites précédemment nous ramène à une relation dite “d’orthogonalité non hermitienne” sur un contour relié à γ. Enfin, nous verrons comment cette relation d’orthogonalité peut nous fournir des informations sur le comportement des pôles de nos approximants par rapport à la position de la fissure.

3.1 D’une intégrale de Cauchy à la relation d’orthogonalité

Considérons, sur la frontière extérieure Γ d’un domaine D_{γ} fissuré en γ, une fonction F construite à partir de données (u, Φ) par la formule (2.16). F est alors la trace d’une fonction analytique f de type (2.14). Nous allons présenter ici une représentation de cette fonction f, et plus particulièrement de sa partie singulière, par les résultats suivants.

Théorème 9 Soit u une solution de (1.1). Alors σ = u^{+} − u^{−} est une fonction Hölder continue d’exposant 1/2 sur γ. □

Preuve Notons Γ_{0} et Γ_{1} deux cercles de rayons respectifs r_{0} et r_{1} (r_{0} < r_{1}). Le domaine D_{γ} étant délimité par deux frontières γ et Γ toutes deux C^{1,α}, il existe une transformation conforme Ψ qui envoie l’anneau

A = {z ∈ ℂ tq r_{0} < |z| < r_{1}}  (3.1)

sur Dγ, dès lors que le rapport r_{0}/r_{1} vaut la capacité du condensateur (Γ, γ) formé par les deux parties disjointes de la frontière du domaine D_{γ} [47, Thm 6.1]. Pour fixer les idées, on pourra supposer que Ψ envoie Γ_{0} et Γ_{1} respectivement sur γ et Γ.

Nous allons utiliser un certain nombre de résultats classiques sur le comportement à la frontière des applications conformes entre domaines simplement connexes, la légère difficulté étant de les appliquer aux domaines doublement connexes qui nous intéressent ici. Pour cela, nous utiliserons des restrictions des applications Ψ et Ψ^{−1} sur des sous-domaines simplement connexes.

Tout d’abord, il résulte du théorème de Caratheodory sur l’extension injective des applications conformes aux points accessibles de la frontière [44, thm 4.4.13], lorsqu’on l’applique à Ψ^{−1} restreinte à deux domaines simplement connexes obtenus en prolongeant γ de manière C^{1,α} au-delà des extrémités γ_{0} et γ_{1} de manière à couper 𝔻 en deux morceaux, que Ψ^{−1} s’étend continûment par dessus et par dessous à γ (les deux déterminations sont évidemment distinctes en général) et qu’elle envoie la partie supérieure sur un arc de γ^{o} et la partie inférieure sur l’arc complémentaire, les points γ_{0} et γ_{1} étant des points de continuité de Ψ^{−1} qui s’envoient respectivement sur deux points de γ^{o} que l’on notera κ_{1} et κ_{2}.

Nous allons voir à présent que les dérivées Ψ′ et (Ψ^{−1})′ sont toutes deux continues et ne s’annulent pas dans D_{γ} jusqu’à (Γ_{0} ⋃ Γ_{1}) \ {κ_{1}, κ_{2}} et Γ ⋃ γ^{o} respectivement (où elles sont C^{1,α}, en fait). Pour prouver ces propriétés, on procède en deux temps. En premier lieu, en constatant qu’un contour C^{1,α} est aussi Dini-lisse, le théorème 3.5 de [43] nous permet de voir que le résultat est vrai pour la trace sur la frontière d’une application conforme entre deux domaines simplement connexes dont le bord est C^{1,α}. Pour la deuxième partie de cet argument, on se réfère au théorème de McMillan (thm. 6.18 de [43]) pour vérifier que Ψ^{−1} est conforme presque partout sur γ^{o}, toujours en appliquant ce théorème aux déterminations supérieures et inférieures après avoir découpé ce domaine en prolongeant comme précédemment γ de façon ℂ^{1,α}. Considérons alors une suite de couples (a_{n}, b_{n}) sur γ^{o} en lesquels ceci est vrai et tels que a_{k} → γ_{0} et b_{k} → γ_{1}. En notant γ_{k}^{∗} le sous-arc de γ^{o} délimité par a_{k} et b_{k}, on peut maintenant construire un contour fermé C_{k} ⊂ D tel que C_{k} soit C^{1,α} et tel que C_{k} ⋂ γ = γ_{k}^{∗}. En vérifiant la relation dans chacun des domaines simplement connexes délimités par C_{k}, on achève de prouver inductivement notre assertion.

Il nous reste maintenant à déterminer comment se comporte notre application conforme au voisinage des extrémités γ_{i}. En appliquant le théorème 3.9 de [43] à Ψ localement dans un voisinage de γ_{i} privé de γ, on obtient en particulier que Ψ^{−1}(z) − Ψ^{−1}(γ_{i}) est équivalente asymptotiquement au voisinage de ces points à (z − γ_{i})^{1/2}, donc Ψ^{−1} est Hölder continue d’exposant 1/2 sur γ en entier. Considérons le problème de Neumann suivant :

\{ \begin{matrix}Δv & = & 0 dans A , \\ \frac{∂v}{∂n_{Γ_{1}}} & = & Φ ∘ Ψ sur Γ_{1}, \\ \frac{∂v}{∂n_{Γ_{0}}} & = & 0 sur Γ_{0}. \end{matrix}  (3.2)

Il résulte clairement du caractère conforme de Ψ et de l’existence de ((Ψ^{−1})^{±})′ sur γ^{o} ainsi que de la continuité de Ψ sur Γ_{0} et Γ_{1} que la solution u du problème de Dirichlet-Neumann (1.1) sur D_{γ} associée au flux Φ sur Γ est égale à v ∘ Ψ^{−1}, où v est la solution du problème (3.2).

Toujours grâce à [43, thm. 3.9], on sait que Ψ′ est bornée près de Γ_{1}. Alors Φ ∘ Ψ ∈ L^{2}(Γ_{1}) si Φ ∈ L^{2}, et

∫_{Γ_{1}} Φ ∘ Ψ(z)|dz| = 0.  (3.3)

Par des résultats de régularité classiques [37], on obtient que v est dans l’espace de Sobolev S^{3/2}(A) et est unique à une constante additive près. De plus, par les théorèmes de la trace et l’inégalité de Poincaré (i.e. Cauchy-Schwarz appliqué aux accroissements finis), on a v_{|Γ_{1}} ∈ C^{\frac{1}{2}} (Γ_{1}).

D’autre part, la condition de Neumann imposée sur Γ_{0} nous permet d’appliquer le principe de réflexion de Schwarz pour constater que v reste harmonique au travers de Γ_{0}, ce qui entraîne que v est C^{∞} sur un voisinage de Γ_{0}. Ainsi, puisque (Ψ^{−1})^{±} est continûment dérivable sur γ^{o}, et en notant que, pour t_{1} et t_{2} sur γ,

|u(t_{1}) − u(t_{2})| ≤ sup_{Γ_{0}} |v′||Ψ^{−1}(t_{1}) − Ψ^{−1}(t_{2})|,  (3.4)

par le caractère Hölder de Ψ^{−1} en γ_{0} et γ_{1}, on obtient que

u^{±} = v|_{Γ_{0}} ∘ (Ψ^{−1})^{±} ∈ C^{\frac{1}{2}} (γ),  (3.5)

ce qui prouve le théorème. □

Remarque 3 De plus, on trouve aux extrémités que u^{+}(γ_{i}) = u^{−}(γ_{i}) et

u|_{Γ} = v|_{Γ_{1}} ∘ Ψ^{−1} ∈ C^{\frac{1}{2}} (Γ).  (3.6)

Aussi, v admet une conjuguée harmonique ṽ dans A, qui est constante, disons égale à c_{0}, sur Γ_{0} d’après la condition au bord dans (3.2). De ce fait, les limites ũ^{±} de ũ coïncident sur γ où elles sont constantes :

ũ^{+}(z) − ũ^{−}(z) = ṽ ∘ (Ψ^{−1})^{+}(z) − ṽ ∘ (Ψ^{−1})^{−}(z) = c_{0} − c_{0} = 0,  z ∈ γ, (3.7)

et par conséquent, σ(z) = u^{+}(z) − u^{−}(z) = f^{+}(z) − f^{−}(z) sur γ. □

Théorème 10 Soit u une solution de (1.1). Alors u = Ref dans D_{γ}, où

f(z) = g(z) + \frac{1}{2iπ} ∫_{γ} \frac{σ(ξ)}{ξ − z} dξ,  z ∈ D_{γ}  (3.8)

pour g une fonction de H^{∞}(D) (i.e. analytique et bornée dans D) et σ définie comme précédemment par σ = u^{+} − u^{−}. □

Preuve Pour prouver ceci, nous allons montrer que la fonction g = f − S où f est définie en (2.14) et S est définie ainsi :

S(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{γ} \frac{σ(ξ)}{ξ − z} dξ,  z ∈ D_{γ},  (3.9)

se prolonge analytiquement sur γ de sorte que g ∈ H^{∞}(D).

Nous savons déjà que g est analytique dans D_{γ}; puisque u^{±} est Hölder continue d’exposant 1/2 sur γ, par le théorème 9, c’est aussi vrai pour ũ^{±}. Pour le voir, on peut considérer deux domaines D^{±}, chacun prolongeant γ jusqu’àu bord Γ de manière à obtenir dans les deux cas un domaine simplement connexe de régularité C^{1,α}. On peut alors considérer une application conforme de D^{±} dans 𝔻 et utiliser le théorème de Privalov sur la préservation du caractère Hölder par prise de l’intégrale de Cauchy [21, thm. 6], puis appliquer ensuite le résultat ainsi obtenu au domaine D, en vertu de [43, thm. 3.6]. Par suite, cette continuité Hölder est donc aussi vraie pour f^{±}. En particulier, g est bornée dans D_{γ}. Pour prouver que g s’étend analytiquement à travers γ, remarquons que la formule de Plemelj-Sokhotski [34, thm. 14.1b] nous donne σ(z) = S^{+}(z) − S^{−}(z) pour tout z ∈ γ^{o}. De par la construction de f, la définition de σ et la relation (3.7), il découle que g^{+}(z) = g^{−}(z) = g(z) pour tout z ∈ γ^{o}. Considérons maintenant C_{η} un petit cercle centré en un point η de γ_{0} tel que C_{η} ∩ γ ⊂ γ^{o} et soit g_{η} la fonction analytique dans le disque D_{η} intérieur de C_{η} définie par :

g_{η}(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{C_{η}} \frac{g(ξ)}{ξ − z} dξ.  (3.10)

Définissons C_{η,ϵ}^{±} comme le contour fermé délimité par la partie de C_{η} dans la région ± et refermé par une courbe parallèle à γ et distante de ϵ de cette dernière. Puisque g ∈ H^{∞}(C_{η} \ γ) pour tout point z ∈ C_{η} \ γ et que g est continue au travers de γ, on peut appliquer la formule de Cauchy pour obtenir

g_{η}(z) = lim_{ϵ→0} \frac{1}{2iπ} (∫_{C_{η,ϵ}^{+}} \frac{g^{+}(ξ)}{ξ − z}dξ − ∫_{C_{η,ϵ}^{−}} \frac{g^{−}(ξ)}{ξ − z}dξ) = g(z).  (3.11)

En fait, g^{±} est respectivement analytique et bornée dans les régions ± et l’une de ces deux intégrales est nécessairement nulle (celle où z est à l’extérieur du contour d’intégration), alors que l’autre vaut g^{±}. De ce fait, g_{η} étend g analytiquement au travers des portions de γ^{o} délimitées par C_{η}, pour tout η de γ^{o}.

Reste à remarquer, à l’aide du caractère Hölder de Ψ^{−1} évoqué plus haut, que g est bornée sur tout voisinage de γ_{i} et qu’elle n’a donc pas de singularité sur les extrémités. □

Pour nous ramener à une interprétation physique, on voit que dans le cadre d’une équation de la chaleur, σ s’interprête comme un saut de température au travers de la fissure γ qui agit comme un isolant parfait.

Enfin, on remarquera que comme f^{±} peut être prolongée analytiquement au travers de γ, on peut prolonger σ (parce que σ = f^{+} − f^{−}, comme l’indique la remarque 3) en déformant γ analytiquement vers un arc voisin C joignant γ_{0} à γ_{1}, de sorte à obtenir

f(z) = g(z) + \frac{1}{2iπ} ∫_{C} \frac{σ(ξ)}{ξ − z} dξ,  z ∈ D \ C.  (3.12)

Il est important de souligner que si f^{±} peut se prolonger au travers de γ, les valeurs de celle-ci de part et d’autre du contour ne coïncident pas pour autant (sauf aux extrémités), f étant multivaluée. La question à considérer est alors de savoir jusqu’où il est possible de déformer notre contour d’intégration C tout en conservant notre décomposition. Cette question délicate mais centrale pour notre propos sera abordée plus tard, afin d’établir sous quelles conditions le contour C pourra être ramené à un contour bien particulier pour le problème qui nous intéresse : un arc de géodésique hyperbolique, c’est à dire, dans le cas du disque 𝔻, un arc de cercle orthogonal à 𝕋 joignant γ_{0} et γ_{1}.

Pour l’heure, forts de cette décomposition, nous allons voir dans ce qui suit qu’elle entraîne une relation dite “d’orthogonalité (non hermitienne)” sur notre contour C, valable pour les deux types d’approximants H_{N}^{p} de F, pour p = 2 ou ∞.

3.1.1 Approximation rationnelle L^{2} de la fonction F

Soit f comme définie en (2.14). Comme nous l’avons souligné en 2.3, le meilleur approximant g_{N} ∈ H_{N}^{2} de f est g_{N} = P_{H^{2}}(f) + r_{N} où r_{N} ∈ R_{N} est le meilleur approximant de P\overline{H^{2}}(f). De ce fait, en observant la décomposition (3.12), et puisque g ∈ H^{∞} ⊂ H^{2}, il apparaît que trouver le meilleur approximant dans H_{N}^{2} de f revient à trouver le meilleur approximant dans R_{N} de sa partie singulière

S(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{C} \frac{σ(ξ)}{ξ − z} dξ,  (3.13)

où C est un arc de Jordan inclus dans 𝔻.

Dans la mesure où l’on ne cherche à étudier que les pôles de notre approximant, nous pouvons donc nous ramener dans ce qui suit au cas pour lequel g = 0, et chercher directement le meilleur approximant rationnel de S ∈ \overline{H^{2}}. On désignera par P_{n} l’espace des polynômes de degré au plus n à coefficients complexes. Notons p et q deux polynômes de degrés respectifs au plus n − 1 et n tels que p/q réalise le meilleur approximant rationnel de f au sens de la norme L^{2}, c’est-à-dire :

∥f − \frac{p}{q}∥_{2}^{2} = min_{p_{n−1}∈P_{n−1},q_{n}∈P_{n}} ∥f − \frac{p_{n−1}}{q_{n}} ∥_{2}^{2}.  (3.14)

Il résulte facilement de l’analyticité de f pour |z| ≥ 1 et de la relation de Parseval que p/q doit également être analytique pour |z| ≥ 1 et que, de plus, p/q(∞) = f(∞) = 0. Ainsi, degp < degq et p/q ∈ R_{N}.

Proposition 3 Les polynômes p et q sont premiers entre eux, et deg q = n, à moins que f ne soit une fonction rationnelle de degré strictement plus petit que n. □

Preuve Dire que deg q < n ou que p et q ne sont pas premiers entre eux équivaut, en simplifiant un facteur de degré 1, à supposer qu’il existe une fraction de degré p_{n−2}/q_{n−1} de degré n − 1, qui est un meilleur approximant parmi les fractions de degré n. Par souci de lisibilité, on notera cette fraction p/q dans le reste de la preuve . Alors, pour tout a ∈ 𝔻 et tout b ∈ (−1, 1), on a

⟨f − \frac{p}{q}, f − \frac{p}{q}⟩ ≤ ⟨f − \frac{p}{q} + \frac{a}{z − b}, f − \frac{p}{q} + \frac{a}{z − b}⟩ .  (3.15)

D’où l’on obtient que

2Re⟨\frac{a}{z − b}, f − \frac{p}{q}⟩ + ∥\frac{a}{z − b}∥_{2}^{2} ≥ 0.  (3.16)

Or, à moins d’avoir

Re⟨\frac{a}{z − b}, f − \frac{p}{q}⟩ = 0,  (3.17)

pour |a| suffisamment petit, on peut obtenir

|2Re⟨\frac{a}{z − b}, f − \frac{p}{q}⟩| ≥ ∥\frac{a}{z − b}∥_{2}^{2} .  (3.18)

En constatant que cette relation est conservée si l’on change a en −a, on déduit

Re⟨\frac{a}{z − b}, f − \frac{p}{q}⟩ = 0.  (3.19)

De même, en changeant a en ia, on trouve la même relation pour la partie imaginaire, soit au total :

⟨\frac{a}{z − b}, f − \frac{p}{q}⟩ = 0.  (3.20)

Notons h = f − p/q. On peut réécrire la relation précédente sous la forme :

\frac{a}{2iπ} ∫_{𝕋} \frac{\overline{h(z)}}{z − b} \frac{dz}{z} = 0.  (3.21)

Or \overline{h(z)} = \overline{h}(\overline{z}) = \overline{h}(1/z) puisque z ∈ 𝕋. Ce qui nous donne donc

\frac{a}{2iπ} ∫_{𝕋} \frac{z^{−1}\overline{h}(z^{−1})}{z − b}dz = 0.  (3.22)

Or \overline{h} est analytique dans le complémentaire du disque unité (car h l’est). De plus, puisque h = f − p/q où p/q est le meilleur approximant rationnel de degré n, il est clair que le coefficient de Fourier de degré 0 de h est alors nul. De ce fait, z ↦ z\overline{h}(z) est encore analytique pour |z| > 1. Donc, par la formule de Cauchy, l’équation ci-dessus entraîne que \overline{h}(1/b) = 0 pour b ∈ ℝ tel que |b| < 1. Par analyticité, on en conclut que \overline{h} est nulle, d’où h est nulle aussi, ce qui signifie que f est une fraction rationnelle de degré plus petit que n. Ceci achève de prouver la proposition. □

Comme on vient de le voir, si f ∉ R_{n−1} alors deg q = n, on peut alors toujours supposer par normalisation que q est monique et écrire

q(z) = z^{n} + ∑_{j=0}^{n−1} q_{j}z^{j}  et p(z) = ∑_{k=0}^{n−1} p_{k}z^{k}.  (3.23)

En dérivant (3.14) par rapport aux p_{k} et aux q_{j}, on obtient les relations :

⟨f − \frac{p}{q}, \frac{z^{k}}{q} ⟩ = 0 k = 0, …, n − 1,  (3.24)

et

⟨f − \frac{p}{q}, \frac{z^{j}p}{q^{2}}⟩ = 0,  k = 0, …, n − 1.  (3.25)

Nous allons à présent démontrer que pour tout polynôme A_{2n−1} de P_{2n−1}, il existe B_{n−1} et C_{n−1}, tous deux de degré au plus n − 1, tels que

A_{2n−1} = pB_{n−1} + qC_{n−1}.  (3.26)

Pour cela, remarquons dans un premier temps que P_{2n−1} est un espace vectoriel de dimension 2n sur le corps de ses coefficients. Il reste à montrer que les termes z^{k}p et z^{j}q (k, j = 0, …, n − 1) constituent une base de cet espace. Etant donné qu’il y a 2n termes, il suffit de vérifier que ceux-ci sont indépendants.

Supposons donc qu’il existe une combinaison linéaire non nulle les annulant. Ceci s’exprime aussi en écrivant qu’il existe deux polynômes Q et R (dont au moins l’un n’est pas nul) de degré au plus n − 1 tels que

pQ + qR = 0.  (3.27)

Or ceci traduit le fait que q divise pQ. Comme, d’après la proposition, p et q sont premiers entre eux, q divise alors Q, ce qui est impossible puisque le degré de q est strictement supérieur à celui de Q, qui est clairement non nul, d’après (3.27).

Les z^{k}p et z^{j}q, pour k, j = 0, …, n − 1, forment donc une base de P_{2n−1}, ce qui nous permet de réécrire la relation (3.24) sous la forme suivante :

⟨f − \frac{p}{q}, \frac{A_{2n−1}}{q^{2}} ⟩ = 0,  A_{2n−1} ∈ P_{2n−1}.  (3.28)

La fonction f − p/q est donc orthogonale à P_{2n−1}/q^{2}. Montrons que l’on peut découper cet espace en une somme orthogonale :

\frac{P_{2n−1}}{q^{2}} = \frac{P_{n−1}}{q} ⊕ \frac{q̃P_{n−1}}{q^{2}} .  (3.29)

Chacun des deux termes étant un sous-espace vectoriel de P_{2n−1}/q^{2} de dimension n, il reste à prouver leur orthogonalité, à savoir que

⟨\frac{z^{j}q̃}{q^{2}}, \frac{z^{k}}{q} ⟩ = 0,  j, k = 0, …, n − 1.  (3.30)

Ce produit scalaire s’explicite de la manière suivante :

\frac{1}{2iπ} ∫_{𝕋} \frac{z^{j}q̃(z)\overline{z}^{k}}{q^{2}(z)\overline{q(z)}} \frac{dz}{z} .  (3.31)

Puisque l’on intègre sur le cercle unité, on remarque que \overline{z} = 1/z, et par suite que q̃(z) = z^{n}\overline{q}(1/z) = z^{n}\overline{q}(\overline{z}) = z^{n}\overline{q(z)}, ce qui simplifie l’intégrale pour donner à (3.30) la forme équivalente :

\frac{1}{2iπ} ∫_{𝕋} \frac{z^{n+j−k−1}}{q^{2}(z)} dz = 0.  (3.32)

Or la fonction z^{n+j−k−1}/q^{2}(z) est analytique pour |z| > 1. On peut donc agrandir le contour d’intégration en un cercle centré en zéro de rayon R pour tout R > 1. Etant donné que q^{2} est un polynôme de degré 2n, pour R assez grand, il existe donc une constante C telle que

\frac{1}{|q^{2}(Re^{iθ})|} ≤ \frac{C}{R^{2n}} .  (3.33)

En conséquence de quoi il est possible de borner l’intégrale par C/R pour tout R > 1, ce qui entraîne que

⟨\frac{z^{j}q̃}{q^{2}}, \frac{z^{k}}{q} ⟩ = \frac{1}{2iπ} ∫_{𝕋} \frac{z^{n+j−k−1}}{q^{2}(z)} dz = 0,  (3.34)

et nous permet de reformuler l’orthogonalité (3.28) ainsi :

⟨f − \frac{p}{q}, \frac{A_{n−1}}{q} + q̃\frac{B_{n−1}}{q^{2}} ⟩ = 0,  A_{n−1}, B_{n−1} ∈ P_{n−1}.  (3.35)

Cependant, la relation (3.30) implique

⟨\frac{p}{q}, q̃\frac{B_{n−1}}{q^{2}} ⟩ = 0,  B_{n−1} ∈ P_{n−1}.  (3.36)

et en choisissant A_{n−1} = 0, l’équation (3.35) conduit à

⟨f, q̃\frac{B_{n−1}}{q^{2}} ⟩ = 0,  B_{n−1} ∈ P_{n−1},  (3.37)

que l’on peut réécrire ainsi :

\frac{1}{2iπ} ∫_{𝕋} f(z)\frac{\overline{q̃(z)z^{k}}}{\overline{q^{2}(z)}} \frac{dz}{z} = 0 k = 0, …, n − 1.  (3.38)

En utilisant à nouveau que \overline{z} = z^{−1} sur 𝕋, on a

\overline{q̃(z)} = \overline{\overline{q}(z^{−1})z^{n}} = \overline{\overline{q}(\overline{z})z^{n}} = q(z)z^{−n}  (3.39)

et

\overline{q^{2}(z)} = \overline{q}^{2}(\overline{z}) = \overline{q}^{2}(z^{−1}) = q̃^{2}(z)z^{−2n}.  (3.40)

On obtient donc que

\frac{1}{2iπ} ∫_{𝕋} f(z)\frac{q(z)z^{n−1−k}}{q̃^{2}(z)} dz = 0,  k = 0, …, n − 1.  (3.41)

Remplaçons maintenant f par son expression (3.9), et rebaptisons n − 1 − k par l’indice k pour plus de lisibilité. Alors,

\frac{1}{2iπ} ∫_{𝕋} \frac{1}{2iπ} ∫_{C} \frac{σ(ξ)}{ξ − z} dξ \frac{q(z)z^{k}}{q̃^{2}(z)} dz = 0,  k = 0, …, n − 1.  (3.42)

Par le thèorème de Fubini, ceci devient

\frac{1}{2iπ} ∫_{C} [\frac{1}{2iπ} ∫_{𝕋} \frac{q(z)z^{k}}{q̃^{2}(z)} \frac{dz}{ξ − z} ]σ(ξ) dξ = 0,  k = 0, …, n − 1.  (3.43)

Or les zéros de q sont dans 𝔻, ce qui signifie que q̃ ne s’annule pas dans 𝔻. La fonction z ↦ q(z)z^{k}/q̃^{2}(z) est donc analytique dans le disque, et l’on peut alors appliquer la formule de Cauchy pour obtenir finalement l’équation :

∫_{C} \frac{q(ξ)}{q̃^{2}(ξ)}ξ^{k}σ(ξ)dξ = 0,  k = 0, …, n − 1.  (3.44)

Cette équation, dite équation aux points critiques, traduit qu’un polynôme q de degré n est le dénominateur d’un fraction irréductible p/q qui est elle-même un point critique (i.e. un point où la dérivée s’annule) de (3.14), l’erreur en approximation rationnelle L^{2}. Nous détaillerons dans les sections suivantes de quelle manière nous pouvons exploiter une telle relation afin d’obtenir des renseignements sur la position des pôles de notre approximant par rapport au contour C.

3.1.2 Approximation méromorphe L^{∞} de la fonction F

Nous allons considérer ici g_{N} l’approximant AAK de degré N, toujours pour une fonction f telle que nous l’avons définie en (3.9). Puisque g est dans H^{∞}, on peut constater que l’opérateur de Hankel H_{f} associé à notre fonction est l’opérateur de Hankel H_{S} associé à S définie en (3.13). De ce fait, les pôles de l’approximant g_{N} dépendent uniquement de la partie singulière S. Nous pourrons donc supposer, comme dans le cas précédent, que g = 0 sans altérer notre résultat. Nous rappelons que l’approximant AAK est donné par la formule explicite

g_{N} = f − \frac{H_{f}v_{N}}{v_{N}} ,  (3.45)

pour tout vecteur singulier v_{N} associé à la valeur singulière s_{N} de H_{f}. En particulier, on peut toujours choisir un vecteur v_{N} vérifiant une relation de type

± s_{N} \overline{v_{N}}(1/z) = z(H_{f}v_{N})(z).  (3.46)

Il suffit en effet de considérer le vecteur singulier v_{N} = v_{N}^{∗}/∥v_{N}^{∗}∥_{2} avec

v_{N}^{∗}(z) = s_{N}u_{N}(z) + \frac{1}{z}\overline{(H_{f}u_{N})} (\frac{1}{z})  (3.47)

si le vecteur singulier u_{N} ne satisfait pas déjà (3.46) avec le signe −. En écrivant toujours cette même relation sous forme intégrale, on obtient

±s_{N} \overline{v_{N}}(1/z) = z \frac{1}{2iπ} ∫_{𝕋} \frac{f(η)v_{N}(η)}{η − z}dη.  (3.48)

En remplaçant f = S par son expression sous forme d’intégrale de Cauchy (3.13), cette relation devient

±2iπs_{N} \overline{v_{N}}(1/z) = z ∫_{𝕋} \frac{1}{2iπ} ∫_{C} \frac{σ(ξ)v_{N}(η)}{(ξ − η)(η − z)}dξdη.  (3.49)

En appliquant successivement le théorème de Fubini puis la formule de Cauchy et en remplaçant z par 1/z, on obtient

± 2iπs_{N} \overline{v_{N}}(z) = ∫_{C} \frac{σ(ξ)v_{N}(ξ)}{zξ − 1}dξ,  z ∈ 𝔻.  (3.50)

Notons n le plus petit entier que s_{n} = s_{N}. De par la théorie AAK, on sait que v_{N} a au moins n zéros dans 𝔻. Par ailleurs, il résulte de (3.50) que v_{N} est analytique à travers 𝕋 de sorte que ce nombre de zéros, que nous noterons N_{0}, est fini. Désignons par (α_{k})_{k=1,...,N_{0}} cette suite de zéros qui contient nécessairement les pôles (Il est possible que certains des zéros en question se simplifient avec le numérateur ; ceci ne pourra toutefois pas arriver dès lors que la valeur singulière s_{N} est simple) de notre approximant g_{N} d’après la relation (2.28). En notant q le polynôme unitaire q(z) = ∏_{j=1}^{N_{0}}(z − α_{j}) et en évaluant l’expression ci-dessus sur tous les points \overline{α_{j}}, on obtient par combinaison linéaire que

∫_{C} \frac{σ(ξ)v_{N}(ξ)P_{N_{0}−1}(ξ)}{q̃(ξ)}dξ = 0  (3.51)

pour tout polynôme P_{N_{0}−1} à coefficients complexes.

Reste à décomposer notre vecteur singulier v_{N} en facteurs intérieur/extérieur v_{N} = (q/q̃)w_{N} pour obtenir une relation d’orthogonalité analogue à (3.44), soit

∫_{C} \frac{q(ξ)}{q̃^{2}(ξ)}ξ^{k}w_{N}(ξ)σ(ξ)dξ = 0,  k = 0, …, N_{0} − 1.  (3.52)

On notera que le σ du cas L^{2} devient ici w_{N}σ et dépend de ce fait de N. Nous verrons de quelle manière cette dépendance en N se répercute sur nos résultats et complique un peu l’approche AAK par rapport à l’approche L^{2} du problème. Nous prouverons aussi par la suite une autre propriété selon laquelle N_{0} ≤ n + C où C est une constante indépendante de n.

3.2 Comportement asymptotique des pôles

Dans cette partie, nous allons exposer comment les équations aux points critiques peuvent être interprétées comme une relation dite d’orthogonalité non hermitienne, et comment par le biais de cette dernière forme, la répartition des pôles se retrouve étroitement liée aux propriétés géométriques du contour d’intégration C et, par voie de conséquence, à celles de la fissure.

3.2.1 Un cas particulier: Lorsque la fissure est portée par un diamètre du disque 𝔻

Le premier résultat que nous allons présenter ici se place sous l’hypothèse particulière que la fissure γ, après application conforme du domaine D sur le disque unité 𝔻, est un segment [b, c] porté par un diamètre du disque 𝔻 (on effectuera au besoin une rotation du disque pour se ramener à [γ_{0}, γ_{1}] = [b, c] ⊂ (−1, 1)). La décomposition (3.8) devient alors

f(z) = g(z) + \frac{1}{2iπ} ∫_{b}^{c} \frac{σ(t)}{t − z} dt  (3.53)

et les pôles de l’approximant méromorphe AAK, comme ceux de l’approximant rationnel L^{2} seront ceux de la partie singulière de f, donc ceux de

S(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{b}^{c} \frac{σ(t)}{z − t}dt.  (3.54)

3.2.1.1 Conséquences sur les approximants AAK

Sous les hypothèses énoncées ci-dessus, nous présentons le résultat suivant :

Théorème 11 Soit f définie par (3.53). Si la fonction à valeurs réelles σ change de signe exactement k fois sur (b, c), alors au plus k pôles de l’approximant AAK g_{N} d’ordre N peuvent se trouver hors du segment ouvert (b, c). □

Preuve Comme expliqué précédemment, la fonction g étant dans H^{∞}, on pourra considérer sans altérer le résultat que g = 0, soit encore que

f(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{b}^{c} \frac{σ(t)}{t − z} dt.  (3.55)

A ce stade, on peut déjà remarquer que f est symétrique conjuguée, c’est-à-dire f(z̄) = \overline{f(z)}, de sorte que ses coefficients de Fourier sont réels. En notant s_{N} la (N + 1)^{e} valeur singulière de l’opérateur H_{f}, il découle de cette dernière observation que l’opérateur

v ↦ \frac{1}{z}\overline{(H_{f}v)}(\frac{1}{z})  (3.56)

est auto-adjoint sur le sous-espace de H^{2}. On peut alors choisir un vecteur singulier v_{N} de notre opérateur de Hankel tel que

±s_{N}v_{N}(z) = \frac{1}{z}(H_{f}v_{N})(\frac{1}{z}),  (3.57)

qui est à coefficients de Fourier réels (et donc prend des valeurs réelles sur l’axe réel). Alors les zéros de v_{N} sont conjugués symétriques et donc q, q̃ et w_{N} sont réels sur l’axe réel. Notre relation d’orthogonalité (3.52) devient ici

∫_{b}^{c} \frac{q(t)}{q̃^{2}(t)}t^{k}w_{N}(t)σ(t)dt = 0,  k = 0, …, N_{0} − 1.  (3.58)

Ainsi, en notant comme précédemment N_{0} le nombre de zéros de v_{N} dans 𝔻, on voit que si q a moins de N_{0} −k zéros sur (b, c), alors qw_{N}σ/q̃^{2} est réelle et s’annule au plus N_{0} − 1 fois sur (b, c). Si tel est le cas, on peut alors construire P_{N_{0}−1} de telle sorte que qw_{N}σP_{N_{0}−1}/q̃^{2} ≥ 0 sur (b, c). D’après la relation d’orthogonalité ci-dessus, ceci implique que σ = 0, ce qui nous mène à une contradiction , dès lors que l’on choisit un flux Φ identifiant. □

Ce résultat sur le meilleur approximant H_{N}^{∞} est décrit dans [15].

3.2.1.2 Conséquences sur les approximants rationnels L^{2}

A l’aide de notre relation d’othogonalité, nous allons montrer ici que le résultat obtenu pour les approximants AAK reste vrai dans le cadre L^{2}, pourvu que l’on considère les approximants rationnels à coefficients de Fourier réels. En effet, il n’est pas clair que les meilleurs approximants L^{2} d’une fonction symt́erique conjuguée de type (3.54) sur l’axe soient aussi à coefficients réels. Le résultat s’énonce donc ainsi :

Théorème 12 Soit f définie par (3.53). Si la fonction à valeurs réelles σ change de signe exactement k fois sur (b, c), alors au plus k pôles d’un meilleur approximant rationnel d’ordre N pour la norme L^{2}, avec des coefficients de Fourier réels, peuvent se trouver hors du segment (b, c). □

Preuve La preuve est analogue à celle de l’approximant H_{N}^{∞}, car w_{N} est remplacé par 1 et q est réel sur l’axe par hypothèse. □

3.2.2 Cas où le contour est un arc de géodésique hyperbolique

Dans ce qui suit, on adoptera une forme un peu plus générale de notre relation d’orthogonalité (3.44) en la réécrivant comme suit :

∫_{C} \frac{q(ξ)}{q̃^{2}(ξ)}ξ^{k}w(ξ)dμ(ξ) = 0,  k = 0, …, n − 1,  (3.59)

où μ une mesure positive sur C, cependant que w ∈ L^{1}(μ).

Une géodesique hyperbolique dans 𝔻 est un arc de cercle orthogonal à 𝕋. Pour tout α ∈ 𝔻, on peut aisément vérifier que le lieu des points du disque qui voient la corde [α, 1/\overline{α}] sous un angle congru à θ_{0} modulo π, est une géodesique passant par α, image de [−1, 1] par la transformation de Möbius

ϕ_{a,u}(t) = u\frac{t − a}{1 − \overline{a}t}, avec a = |α|e^{iθ_{0}} ∈ 𝔻, et u = −α/a ∈ 𝕋.  (3.60)

Un arc géodesique C dans 𝔻 sera donc l’image d’un segment réel [b, c] ⊂ (−1, 1) par une telle application.

Nous allons montrer ici comment une relation de type (3.59) peut, si C est un arc géodésique, se ramener à une relation analogue sur l’axe réel. Supposons en effet que ϕ_{a,u} envoie [b, c] ⊂ (−1, 1) sur C. La relation (3.59) se réécrit :

∫_{b}^{c} \frac{q(ϕ_{a,u}(t))}{q̃^{2}(ϕ_{a,u}(t))}ϕ_{a,u}^{k}(t)w(ϕ_{a,u}(t))dμ̂(t) = 0,  k = 0, …, n − 1,  (3.61)

où μ̂ est la mesure image de μ sur ϕ_{a,u}^{−1}(C) = [b, c]. Notons h_{j} les coefficients de q_{n} et posons

Q_{n}(t) = (1 − \overline{a}t)^{n}q(ϕ_{a,u}(t)) = ∑_{j=0}^{n} u^{j}h_{j}(t − a)^{j}(1 − \overline{a}t)^{n−j} ∈ P_{n},  (3.62)

de sorte que

Q̃_{n}(t) = ∑_{j=0}^{n} \overline{u^{j}h_{j}}(t − a)^{n−j}(1 − \overline{a}t)^{j}.  (3.63)

Comme u est de module 1, on a \overline{u^{j}} = u^{−j}, d’où

Q̃_{n}(t) = u^{−n} ∑_{j=0}^{n} u^{n−j}\overline{h_{j}}(t − a)^{n−j}(1 − \overline{a}t)^{j}.  (3.64)

De ce fait, on peut aisément vérifier que

\frac{q(ϕ_{a,u}(t))}{q̃(ϕ_{a,u}(t))} = u^{−n} \frac{Q_{n}(t)}{Q̃_{n}(t)}.  (3.65)

Enfin, en remarquant que

\frac{ϕ_{a,u}^{k}(t)}{q̃_{n}(ϕ_{a,u}(t))} = \frac{(1 − \overline{a}t)^{n}ϕ_{a,u}^{k}(t)}{u^{n}Q̃_{n}(t)} = \frac{u^{k−n}(1 − \overline{a}t)^{n−k}(t − a)^{k}}{Q̃_{n}(t)} ,  (3.66)

on peut réécrire la relation (3.61) ainsi :

∫_{b}^{c} \frac{Q_{n}(t)}{Q̃_{n}^{2}(t)}w(ϕ_{a,u}(t))(1 − \overline{a}t)^{n−k}(t − a)^{k}dμ̂(t) = 0,  k = 0, …, n − 1. (3.67)

Or, la famille

\{(1 − \overline{a}t)^{n−k−1}(t − a)^{k}\}_{k=0,...,n−1}  (3.68)

engendre l’espace P_{n−1}(t). Ceci peut se voir en notant que les polynômes en question sont bien dans cet espace et sont au nombre de n (ce qui est la dimension de l’espace). Il suffit donc de montrer qu’ils sont indépendants. Pour prouver cela, supposons qu’il existe une combinaison linéaire

∑_{k=0}^{n−1} d_{k}(1 − \overline{a}t)^{n−k−1}(t − a)^{k} = 0  (3.69)

avec certains d_{k} non nuls. Cette égalité implique que

d_{0}(1 − \overline{a}t)^{n−1} = −(t − a) ∑_{k=1}^{n−1} d_{k}(1 − \overline{a}t)^{n−k−1}(t − a)^{k−1},  (3.70)

or il est clair que (t − a) ne divise pas (1 − \overline{a}t)^{n−1} et l’on peut alors conclure que d_{0} = 0. De ce fait,

∑_{k=1}^{n−1} d_{k}(1 − \overline{a}t)^{n−k−1}(t − a)^{k−1} = 0  (3.71)

et on peut procéder par récurrence pour obtenir que tous les d_{k} sont nuls, ce qui entraîne l’indépendance souhaitée. Finalement, notre équation aux points critiques (3.61) est donc équivalente à

∫_{b}^{c} \frac{Q_{n}(t)}{Q̃_{n}^{2}(t)}w(ϕ_{a,u}(t))(1 − \overline{a}t)t^{k}dμ̂(t) = 0,  k = 0, …, n − 1.  (3.72)

En posant

ŵ(t) = w(ϕ_{a,u}(t))(1 − \overline{a}t),  (3.73)

on obtient notre équation sous la forme :

∫_{b}^{c} \frac{Q_{n}(t)}{Q̃_{n}^{2}(t)}t^{k}ŵ(t)dμ̂(t) = 0,  k = 0, …, n − 1.  (3.74)

C’est cette dernière forme que nous allons exploiter dans le paragraphe suivant, afin d’énoncer un résultat sur la localisation des pôles de nos approximant.

3.2.3 Equation d’orthogonalité non hermitienne

Introduisons quelques notations qui seront souvent utilisées dans ce qui suit. Pour tout intervalle réel I, on notera l(I) sa longueur.

Pour toute fonction f à valeurs complexes définie sur un intervalle I, on notera V_{I}(f) sa variation :

V_{I}(f) = sup_{P} ∑_{k} |f(x_{k}) − f(x_{k+1})|  (3.75)

où P est l’ensemble des suites finies de points x_{0} < x_{1} < … < x_{n} de I. Pour tout ensemble E, on désignera par #E le cardinal de E. Pour μ une mesure sur un ensemble E, on désignera par L^{1}(μ) l’espace des fonctions à valeurs complexes qui sont intégrables par rapport à μ.

Lemme 1 Soit (b, c) un intervalle ouvert réel et f : (b, c) → ℝ une application C^{1} telle que V_{(b,c)}(f) < nπ. Alors, il existe un ensemble E ⊂ [0, π) de mesure de Lebesgue strictement positive tel que toute valeur a ∈ E vérifie

# {t ∈ (b, c) : f(t) = a + kπ pour k ∈ ℤ} ≤ n − 1.  (3.76)

Preuve La fonction f étant C^{1}, l’ensemble des points où sa dérivée f′ n’est pas nulle est une union dénombrable d’intervalles (b_{k}, c_{k}), f étant strictement monotone sur chacun de ceux-ci. Notons I_{k} = f((b_{k}, c_{k})), k ∈ ℕ. La quantité ∑_{k} l(I_{k}) est égale à la variation de f sur (b, c) puisque cette dernière peut aussi s’exprimer sous la forme

l(I_{k}) = V_{(b,c)}(f) = ∫_{b}^{c} |f′(t)|dt,  (3.77)

et que l’on a évidemment

|f(c_{k}) − f(b_{k})| = ∫_{b_{k}}^{c_{k}} |f′(t)|dt.  (3.78)

Posons à présent I_{k,m} = I_{k} ⋂ [mπ, (m + 1)π). En notant respectivement x_{k,m} et y_{k,m} les bornes inférieure et supérieure de I_{k,m}, on définit

J_{k,m} = [x_{k,m} − mπ , y_{k,m} − mπ).  (3.79)

On a

∑_{k,m} l(J_{k,m}) = ∑_{k,m} l(I_{k,m}) = ∑_{k} l(I_{k}) = V_{(b,c)}(f) < nπ.  (3.80)

Puisque J_{k,m} ⊂ [0, π), cette valeur peut aussi s’écrire

∑_{k,m} l(J_{k,m}) = ∑_{k,m} ∫_{0}^{π} χ_{J_{k,m}}(t)dt  (3.81)

où χ_{I} est par définition la fonction caractéristique d’un intervalle I. Par le théorème de Fubini, ceci donne

V_{(b,c)}(f) = ∫_{0}^{π} ∑_{k,m} χ_{J_{k,m}}(t)dt.  (3.82)

Or s’il existait, pour presque tout x ∈ [0, π), n intervalles J_{k,m} tels que x ∈ J_{k,m}, alors cette valeur serait supérieure à nπ. Il existe donc un sous-ensemble E de [0, π) de mesure strictement positive dont les points n’appartiennent pas à plus de n − 1 intervalles J_{k,m}.

Par ailleurs, l’ensemble X des x de [0, π) tels qu’il existe m ∈ ℤ pour lequel x+mπ est valeur critique de f est une union dénombrable d’ensembles de mesure nulle par le théorème de Sard. X est donc lui-même de mesure nulle et E \ X est encore de mesure positive. Soit a ∈ E \ X, puisque a + mπ ne peut être dans f((b, c)) \ ⋃_{k} I_{k} qui ne contient que des valeurs critiques, le nombre d’intervalles J_{k,m} auxquels appartient a est égal à

∑_{k} # ({a + mπ : m ∈ ℤ} ⋂ I_{k})

= # {t ∈ ⋃_{k}(b_{k}, c_{k}) : f(t) = a + mπ pour m ∈ ℤ}

= # {t ∈ (b, c) : f(t) = a + kπ pour k ∈ ℤ} .  (3.83)

Puisque a vérifie la propriété (3.76), la proposition est démontrée. □

Théorème 13 Considérons un segment [b, c] ⊂ (−1, 1) et l’équation “d’orthogonalité” suivante :

∫_{b}^{c} \frac{q_{n}(t)}{q̃_{n}^{2}(t)}t^{k}w(t)dμ(t) = 0,  k = 0, …, n − 1,  (3.84)

où :

• l’inconnue est un polynôme monique q_{n}(t) de degré n dont toutes les racines appartiennent à 𝔻:

q_{n}(t) = ∏_{j=1}^{n}(t − α_{j}) avec |α_{j}| < 1, j ∈ 1, …, n.  (3.85)

• μ est une mesure positive dont le support est [b, c].

• w : [b, c] → ℂ est de la forme :

w(t) = w_{1}(t) ∏_{j=1}^{m} (t − β_{j})  (3.86)

où β_{1}, …, β_{m} ∈ (b, c), cependant que w_{1} ∈ L^{1}(μ) possède une restriction continue (b, c) → ℂ\{0} telle que la fonction t ↦ w_{1}(t)/|w_{1}(t)|, définie pour cette restriction, soit prolongeable sur (b, c) en une fonction C^{1} à variation bornée.

• q̃_{n}(t) = ∏_{j=1}^{n}(1 − \overline{α_{j}}t) est le polynôme réciproque de q_{n}(t). Alors, pour tout voisinage V du segment [b, c], il existe ϵ_{V} > 0 tel que, pour tout n, le nombre de racines de q_{n}(t) en dehors de V est au plus

\frac{1}{ϵ_{V}} \frac{V_{(b,c)}(arg w)}{π}  (3.87)

dès que q_{n} est solution de (3.84). □

Remarque 4

• Dans cette relation, q_{n}(t) se présente comme le nième polynôme “orthogonal” par rapport à la mesure complexe w(t)dμ(t)/q̃_{n}^{2}(t), qui elle-même dépend de q_{n}(t).

• Notons que l’argument de w(t), bien qu’il ne soit pas défini au point β_{j}, se prolonge par continuité en celui-ci lorsque sa multiplicité est paire et effectue un saut de −π lorsque sa multiplicité est impaire; ceci permet donc de calculer V_{(b,c)}(arg w) et on peut, pour fixer les idées, définir une détermination par continuité à gauche en tout β_{j} de multiplicité impaire.

• Notons aussi que l’hypothèse selon laquelle w_{1}/|w_{1}| est à variation bornée entraîne que l’argument de w_{1} peut être défini par continuité en b et en c. Le module de w_{1} peut, quant à lui, ne pas être continu en ces points. La valeur de |w_{1}| en b et c n’importe évidemment que si μ charge ces points.

□

Preuve Décomposons q_{n}(t) de la manière suivante :

q_{n}(t) = ∏_{j=1}^{k}(t − α_{j}) ∏_{j=k+1}^{n_{1}}(t − α_{j}) ∏_{j=n_{1}+1}^{n}(t − α_{j})  (3.88)

où les k premiers α_{j} sont portés par l’axe réel et on a Im(α_{j}) > 0 pour k < j ≤ n_{1} et Im(α_{j}) < 0 pour j > n_{1}. Pour α_{j} ∈ 𝔻\ℝ on pose α_{j} = ρe^{iθ}, p_{j}(t) = t−α_{j}, p̃_{j}(t) = 1−\overline{α_{j}}t et p̂_{j}(t) = t−1/\overline{α_{j}}. Comme p_{j}(t) n’est pas réel pour t ∈ ℝ, on peut choisir une détermination continue de son argument sur [b, c], par exemple celle comprise dans (−π, π), et de même pour p̂_{j}(t). Ceci induit naturellement une détermination continue sur [b, c] de l’argument des fonctions

\frac{t − α_{j}}{t − 1/\overline{α_{j}}}  et  \frac{t − α_{j}}{(t − 1/\overline{α_{j}})^{2}}  (3.89)

qui interviennent dans la suite, ainsi que des fonctions

\frac{t − α_{j}}{1 − \overline{α_{j}}t}  et  \frac{t − α_{j}}{(1 − \overline{α_{j}}t)^{2}}  (3.90)

lorsqu’on a choisi arbitrairement une détermination de arg \overline{α_{j}}. Posons

• γ = arg(p_{j}(t)) + π/2 et β = arg(p̂_{j}(t)) + π/2 si Im(α_{j}) > 0,

• γ = arg(p_{j}(t)) − π/2 et β = arg(p̂_{j}(t)) − π/2 si Im(α_{j}) < 0, de sorte que γ et β appartiennent à (−π/2, π/2). En notant que

tan γ = \frac{t − ρ cos θ}{ρ sin θ} et que tan β = \frac{t − \frac{1}{ρ} cos θ}{\frac{1}{ρ} sin θ},  (3.91)

on obtient :

dγ = \frac{1}{1 + (\frac{t−ρ cos θ}{ρ sin θ})^{2}} \frac{dt}{ρ sin θ} et dβ = \frac{1}{1 + (\frac{ρt−cos θ}{sin θ})^{2}} \frac{ρdt}{sin θ}.  (3.92)

Ainsi :

dγ − dβ = \frac{1/ρ (sin^{2} θ + (ρt − cos θ)^{2}) − ρ (sin^{2} θ + (t/ρ − cos θ)^{2})}{sin^{3} θ (1 + (\frac{t−ρ cos θ}{ρ sin θ})^{2}) (1 + (\frac{ρt−cos θ}{sin θ})^{2})}dt. (3.93)

Le numérateur se réécrit

\frac{1}{ρ} (sin^{2} θ + (ρt − cos θ)^{2}) − ρ (sin^{2} θ + (\frac{t}{ρ} − cos θ)^{2})

= \frac{sin^{2} θ}{ρ} + ρt^{2} + \frac{cos^{2} θ}{ρ} − 2t cos θ − (ρ sin^{2} θ + \frac{t^{2}}{ρ} + ρ cos^{2} θ − 2t cos θ)

= \frac{1}{ρ} + ρt^{2} − ρ − \frac{t^{2}}{ρ} = (\frac{1}{ρ} − ρ) (1 − t^{2}) , (3.94)

ce qui est positif car ρ ∈ (0, 1) et t ∈ (−1, 1). Le dénominateur, quant à lui, a le signe de sin θ. Il s’ensuit que la fonction

arg p_{j}(t) − arg p̂_{j}(t) = γ − β  (3.95)

est • croissante si Im(α_{j}) > 0,

• décroissante si Im(α_{j}) < 0. Par conséquent,

V_{(b,c)} (arg \frac{p_{j}(t)}{p̃_{j}(t)}) = V_{(b,c)} (arg \frac{p_{j}(t)}{p̂_{j}(t)}) = arg \frac{p_{j}(c)}{p̂_{j}(c)} − arg \frac{p_{j}(b)}{p̂_{j}(b)}  (3.96)

si Im(α_{j}) > 0 et

V_{(b,c)} (arg \frac{p_{j}(t)}{p̃_{j}(t)}) = arg \frac{p_{j}(b)}{p̂_{j}(b)} − arg \frac{p_{j}(c)}{p̂_{j}(c)}  (3.97)

si Im(α_{j}) < 0. De par notre convention même concernant le choix des déterminations sur [b, c], ceci se réécrit :

V_{(b,c)} (arg \frac{p_{j}(t)}{p̃_{j}(t)}) = arg p_{j}(c) − arg p̂_{j}(c) − arg p_{j}(b) + arg p̂_{j}(b)  (3.98)

si Im(α_{j}) > 0.

V_{(b,c)} (arg \frac{p_{j}(t)}{p̃_{j}(t)}) = arg p_{j}(b) − arg p̂_{j}(b) − arg p_{j}(c) + arg p̂_{j}(c)  (3.99)

si Im(α_{j}) < 0. D’autre part, il est clair que p̂_{j}(t) = arg (t − 1/\overline{α_{j}}) est une fonction croissante de t lorsque Im(α_{j}) > 0 et décroissante lorsque Im(α_{j}) < 0. On a donc

V_{(b,c)} (arg p̃_{j}(t)) = V_{(b,c)} (arg p̂_{j}(t)) = arg p̂_{j}(c) − arg p̂_{j}(b)  (3.100)

si Im(α_{j}) > 0, et

V_{(b,c)} (arg p̃_{j}(t)) = arg p̂_{j}(b) − arg p̂_{j}(c)  (3.101)

si Im(α_{j}) < 0. Comme

V_{(b,c)} (arg \frac{p_{j}(t)}{p̃_{j}^{2}(t)}) ≤ V_{(b,c)} (arg \frac{p_{j}(t)}{p̃_{j}(t)}) + V_{(b,c)} (arg p̃_{j}(t)) ,  (3.102)

on déduit de (3.98), (3.99), (3.100) et (3.101) que dans tous les cas

V_{(b,c)} (arg \frac{p_{j}(t)}{p̃_{j}^{2}(t)}) ≤ |arg p_{j}(c) − arg p_{j}(b)| < π.  (3.103)

Décomposons à présent q_{n}(t) sous la forme suivante :

q_{n}(t) = ∏_{j=1}^{k}(t − α_{j}) ∏_{j=k+1}^{n}(t − α_{j})  (3.104)

où les k premiers α_{j} sont portés par l’axe réel et les n − k suivants sont dans le reste du disque. Rappelons aussi que w(t) s’écrit

w(t) = w_{1}(t) ∏_{j=1}^{m}(t − β_{j}),  (3.105)

où m ≥ 0 est le nombre de zéros de w sur (b, c) en comptant les multiplicités. Nous allons raffiner cette décomposition en écrivant

∏_{j=1}^{m}(t − β_{j}) = Q(t) ∏_{j=1}^{s}(t − β_{j}),  (3.106)

où β_{1} … β_{s} sont distincts et Q(t) est un polynôme qui prend des valeur réelles et ne change pas de signe sur (b, c). On peut supposer pour la suite que n−1−k−s ≥ 0 car sinon n − k ≤ s et la conclusion du théorème est vraie avec ϵ_{V} = 1 puisque V_{(b,c)}(arg w) ≥ sπ. Nous allons montrer par l’absurde que la relation d’orthogonalité (3.84) ne peut être vérifiée si l’on a

V_{(b,c)} (arg (w_{1}(t) ∏_{j=k+1}^{n} \frac{(t − α_{j})}{(1 − \overline{α_{j}}t)^{2}} )) < (n − k − s)π.  (3.107)

Supposons en effet que (3.107) soit vrai. Puisque w_{1}(t)/|w_{1}(t)| est C^{1} à variation bornée, on peut choisir une détermination pour l’argument de w_{1} qui soit C^{1} sur (b, c), et on peut appliquer le Lemme 1 à la fonction

f(t) = arg (w_{1}(t) ∏_{j=k+1}^{n} \frac{(t − α_{j})}{(1 − \overline{α_{j}}t)^{2}} )  (3.108)

pour conclure à l’existence d’une valeur a telle que

# {t ∈ (b, c) : f(t) = a + kπ pour k ∈ ℤ} ≤ n − k − s − 1.  (3.109)

Posons C_{a} = e^{i(π/2−a)}, de telle sorte que

C_{a}w_{1}(t) ∏_{j=k+1}^{n} \frac{(t − α_{j})}{(1 − \overline{α_{j}}t)^{2}}  (3.110)

est imaginaire pur en au plus (n − k − s − 1) valeurs de t ∈ (b, c). Soit

t_{1}^{∗} < t_{2}^{∗} < … < t_{l}^{∗},  l ≤ (n − k − s − 1),  (3.111)

la suite des valeurs de t pour lesquelles l’expression (3.110) traverse effectivement l’axe imaginaire. Si on définit

P_{n−1}(t) = ∏_{j=1}^{k}(t − α_{j}) ∏_{j=1}^{s}(t − β_{j})C_{a} ∏_{j=1}^{l}(t_{j}^{∗} − t),  (3.112)

on constate alors que

Re (\frac{q_{n}(t)}{q̃_{n}^{2}(t)}w(t)P_{n−1}(t))  (3.113)

ne change pas de signe lorsque t parcourt (b, c). Comme arg w(t) peut être défini par continuité en b et en c (cf. la remarque suivant le théorème), il s’ensuit que (3.113) ne change pas davantage de signe sur [b, c]. Comme l’intégrale de cette fonction est nulle par rapport à μ par (3.84), ceci entraîne

Re (\frac{q_{n}(t)}{q̃_{n}^{2}(t)}w(t)P_{n−1}(t)) = 0,  μ − p.p. sur [b, c].  (3.114)

La fonction (3.113) étant continue, il s’ensuit à présent que

Re (\frac{q_{n}(t)}{q̃_{n}^{2}(t)}w(t)P_{n−1}(t)) = 0,  t ∈ [b, c].  (3.115)

Compte tenu de ce que les facteurs t − t_{j}^{∗} sont réels sur (b, c), cela signifie que

C_{a}w(t)\frac{q_{n}(t)}{q̃_{n}^{2}(t)} ∏_{j=1}^{k}(t − α_{j}) ∏_{j=1}^{s}(t − β_{j})  (3.116)

est imaginaire pur pour tout t ∈ [b, c]. Sa partie imaginaire est donnée, pour t ∈ [b, c], par

F (t) = Q(t) G(t) ∏_{j=1}^{k}(t − α_{j})^{2} ∏_{j=1}^{s}(t − β_{j})^{2},  (3.117)

où

G(t) = \frac{∏_{j=k+1}^{n} (t − α_{j})}{q̃_{n}^{2}(t)} \frac{w_{1}(t)}{i}.  (3.118)

Puisque F (t) et Q(t) sont réels ainsi que t − α_{j} pour 1 ≤ j ≤ k et t − β_{j} pour 1 ≤ j ≤ s, il s’ensuit que G(t) est réel sur (b, c) \ {α_{1}, …, α_{k}, β_{1}, …, β_{s}} et donc partout sur (b, c) par continuité. Puisque G(t) ne s’annule pas sur (b, c), elle est de signe constant sur cet intervalle, de sorte que F (t) ne change pas de signe sur (b, c). En considérant, comme précédemment, que l’argument de w_{1} se prolonge continuement en b et en c, ceci entraîne que F (t) ne change pas de signe sur [b, c]. Mais comme son intégrale par rapport à μ est nulle en vertu de (3.84), on en déduit que

C_{a}w(t)\frac{q_{n}(t)}{q̃_{n}^{2}(t)} ∏_{j=1}^{k}(t − α_{j}) ∏_{j=1}^{s}(t − β_{j}) = 0 sur [b, c],  (3.119)

ce qui est absurde puisque les seules valeurs de t annulant cette expression sont les α_{j} et les β_{j} alors que μ a une infinité de points dans son support. Ainsi, la relation (3.84) ne peut être vérifiée si (3.107) est vraie et il est en fait nécessaire que

V_{(b,c)} (arg (w_{1}(t) ∏_{j=k+1}^{n} \frac{(t − α_{j})}{(1 − \overline{α_{j}}t)^{2}} )) ≥ (n − k − s)π.  (3.120)

Considérons un voisinage V du segment [b, c] et ϵ_{V} > 0 tel que, pour α ∉ V, on ait

V_{(b,c)}(arg(t − α)) < π(1 − ϵ_{V});  (3.121)

il est aisé de voir qu’un tel ϵ_{V} existe dès que V contient une lentille qui contient elle-même (b, c). L’inégalité (3.103) se renforce alors :

V_{(b,c)} (arg \frac{t − α}{(1 − \overline{α}t)^{2}} ) ≤ V_{(b,c)}(arg(t − α)) < π(1 − ϵ_{V}).  (3.122)

Soit d_{n} le nombre de zéros de q_{n} qui n’appartiennent pas à V. On vérifie immédiatement au vu de (3.122) que

V_{(b,c)} (arg (w_{1}(t) ∏_{j=k+1}^{n} \frac{(t − α_{j})}{(1 − \overline{α_{j}}t)^{2}} )) < d_{n}π(1−ϵ_{V})+V_{(b,c)}(arg w_{1})+(n−k−d_{n})π,

(3.123)

or cette variation est supérieure à (n − k − s)π comme on l’a vu plus haut. En simplifiant, ceci nous donne

d_{n} < \frac{1}{ϵ_{V}} (\frac{V_{(b,c)}(arg w_{1})}{π} + s) .  (3.124)

En remarquant que V_{(b,c)}(arg w_{1}) + sπ est exactement la variation de arg w, le Théorème 13 se trouve entièrement démontré. □

Corollaire 1 La preuve du théorème 13 fournit par ailleurs une borne quantitative sur la variation de l’argument de w et l’angle θ_{b,c}(α_{j}) sous lequel les pôles voient le segment (b, c) :

V_{(b,c)}(arg w) + Σ_{j=1}^{n}θ_{b,c}(α_{j}) ≥ nπ.  (3.125)
□

Preuve Cette majoration découle directement des définitions et de la négation de (3.107). □

Remarque 5

• On a supposé que le support de μ était [b, c], ce qui est une hypothèse plutôt forte puisque cela induit que l’ensemble des points où μ est chargée est au moins dense dans (b, c). Cette densité est nécessaire pour déduire de (3.114) que (3.113) s’annule identiquement sur (b, c) puis pour conclure à l’absurdité de (3.119). Toutefois, dans le cas où w(t) est un polynôme de degré k, les conditions sur μ peuvent être affaiblies en considérant qu’il est suffisant, pour procéder aux déductions précédentes, que μ ait au moins 4n + k points dans son support. De même, si w(t) est une fonction analytique sur [b, c], il suffira que μ ait une infinité de points dans son support. Pour le cadre de la détection de fissures qui nous intéresse ici, on cherchera à exploiter ces derniers résultats en posant w(ξ)dμ(ξ) = σ(ξ)dξ dans le cas H_{N}^{2} et w(ξ)dμ(ξ) = σ(ξ)w_{N}(ξ)dξ pour le cas H_{N}^{∞}. Nous discuterons des conditions pour pouvoir appliquer ces théorèmes dans la partie 3.2.4.

• On peut subodorer que le Théorème 13 n’est pas optimal. En effet, les zéros de q_{n} ont été divisés en deux catégories. D’une part ceux situés sur (b, c), qui ne contribuent pas à la variation de l’argument de la fonction apparaissant dans (3.119). D’autre part ceux situés hors de (b, c), parmi lesquels on distingue ceux qui appartiennent à V et contribuent maximalement (d’une valeur π) à cette variation dans la majoration menant à (3.124), cependant que ceux qui n’appartiennent pas à V économisent chacun une quantité ϵ_{V}π à cette variation et, de ce fait, ne peuvent être trop nombreux. Il est plausible qu’un tri plus nuancé (i.e. un zéro de q_{n} qui est presque sur (b, c) ne doit pas être si mauvais après coup puisqu’il induit une variation d’argument très localisée et rend la fonction petite en cet endroit) puisse mener à un renforcement du Thèorème 13 où ϵ_{V} ne dépendrait plus de V.

• Dans un rapport en préparation [14], nous présentons une version plus générale de ce théorème impliquant des hypothèses nettement moins fortes sur la régularité du support de la mesure dμ. De plus, nous y prouvons que la mesure de comptage des pôles (1/n)Σ_{k}^{n}δ_{k}, où δ_{k} est un Dirac centré en α_{k}, converge au sens faible-* vers la mesure d’équilibre sur suppμ du condensateur formé par le système (𝕋, suppμ).

□

3.2.4 Application à la détection de fissure

Comme nous venons de le voir dans ce qui précède, les techniques d’approximation rationnelle et méromorphe nous fournissent en principe un moyen peu coûteux de détecter la présence d’une fissure.

Si celle-ci se trouve sur un diamètre du cercle, il est aisé d’interpréter les résultats présentés en 3.2.1 de manière physique. On voit ainsi que, sous des conditions de régularités suffisantes, tous les pôles de nos approximants AAK seront sur la fissure γ, à l’exception d’un nombre au plus égal au nombre de changements de signe sur γ du saut de température σ = u^{+} − u^{−}.

Notons de plus que le théorème 13 nous indique que si w est réelle et de signe constant sur un segment réel γ, tous les pôles d’un approximant au sens L^{2} sont sur γ, sans nécessité de contraindre q_{n} à avoir des coefficients réels. Ceci entraîne en particulier que le meilleur approximant depuis H_{N}^{2} d’une fonction de Markov dont la mesure satisfait les conditions du théorème 13 (cf [14] pour une version plus générale) a nécessairement des coefficients de Fourier réels, un fait qui n’est pas évident a priori (mais qui découle aussi de [8]) puisque, comme nous l’avons dit, le meilleur approximant rationnel L^{2} d’une fonction dont les coefficients de Fourier sont réels ne vérifie pas automatiquement cette propriété.

Pour le problème inverse qui nous occupe, si σ ne change pas de signe et que la fissure est sur l’axe réel, on en déduit pour l’approximation H_{N}^{2}, toujours si σ(t)dt vérifie les conditions de régularités imposées à w(t)dμ(t) dans le théorème 13, que tous les pôles sont situés sur la fissure comme ils l’étaient pour l’approximant depuis H_{N}^{∞}.

Dans le cas plus réaliste où la fissure γ n’est pas portée par un diamètre, l’interprétation est plus délicate. Si γ est un arc de géodésique, les résultats énoncés en 3.2.2 vont pouvoir être appliqués comme nous le verrons. Toutefois, cette hypothèse est encore bien peu générale, et il convient de nous pencher sur la question de déterminer des conditions sous lesquelles on peut “déformer” le contour d’intégration C pour le ramener à l’arc géodésique sus-cité.

En premier lieu, considérons le cas particulier dans lequel la fissure γ est un segment de droite, non porté par un diamètre. Une fois cette droite orientée, notons Π_{+} et Π_{−} respectivement les demi-plans positifs et négatifs définis par cette orientation. Supposons sans perte de généralité que l’arc géodésique G est situé dans Π_{−}. En remarquant que f est analytique jusqu’à γ^{o} dans la région Π_{+} et que sa partie imaginaire est constante sur γ^{o} (puisque la dérivée de ũ^{±} le long de γ^{o} n’est autre que ∂u^{±}/∂n^{±} = 0 d’après la condition de Neumann), on voit que l’on peut la prolonger analytiquement à travers γ^{o} en utilisant le principe de réflexion de Schwarz. Par conséquent, σ = f^{+} − f^{−} s’étend analytiquement sur un voisinage de γ^{o} dans Π_{−}, ce qui permet de déformer de manière correspondante le contour d’intégration de la transformée de Cauchy (3.9) donnant la partie singulière de f. Cependant, rien ne dit que le prolongement analytique de σ ainsi obtenu s’étend jusqu’à G. En fait, par notre manière même de procéder, il faut et il suffit pour qu’il en soit ainsi que le domaine d’analyticité de f^{+} contienne le réflechi de G à travers la droite définie par γ. Ceci n’est pas automatique car si γ_{0} et γ_{1} sont proches du cercle unité 𝕋 tout en étant très rapprochés, le symétrique de G par rapport à γ^{o} peut ne pas être inclus dans le disque unité, comme on peut s’en convaincre facilement. Ainsi, même dans le cas simple où γ^{o} est un segment, il peut être nécessaire de faire des hypothèses additionnelles sur la régularité de f, et donc de u, pour pouvoir assurer que l’intégrale de Cauchy (3.9) peut être remplacée par une intégrale de Cauchy du prolongement de σ sur l’arc géodésique G. Par exemple, dans la situation qui nous occupe, il est suffisant de supposer que u est harmonique (et donc f analytique) sur un disque de rayon \sqrt{2} privé de γ pour que l’on puisse procéder à la déformation désirée.

En second lieu, lorsque γ n’est plus un segment de droite mais l’image par une application de paramétrage d’un segment réel, qu’on peut sans perte de généralité supposer être [0, 1], le cas le plus général que nous envisagerons est celui où l’on peut se ramener, par changement de variable analytique, à argumenter comme on l’a fait précédemment dans le cas d’un segment de droite. Plus précisément, on a le théorème suivant : Théorème 14 Soit P : O → U une application conforme entre deux domaines simplement connexes de ℂ, et supposons que O soit borné et contienne [0, 1], cependant que P ([0, 1]) ⊂ 𝔻. Posons γ = P ([0, 1]) ainsi que γ_{0} = P (0) et γ_{1} = P (1), et notons G l’arc géodésique hyperbolique dans 𝔻 joignant γ_{0} et γ_{1}. Supposons que G soit inclus dans U et que le symétrique de P^{−1}(G) par rapport à l’axe réel soit inclus dans O. Faisons en outre l’hypothèse que la fonction f, solution complexifiée, définie en (3.8), du problème de Dirichlet-Neumann (1.1) où D = 𝔻, est analytique dans U \ γ ou encore, ce qui est équivalent, que la primitive du flux sur le cercle unité

∫_{0}^{θ} Φ(e^{it})dt  (3.126)

se prolonge harmoniquement dans U (cette hypothèse est nécessaire dans la mesure où U n’est pas nécessairement contenu dans 𝔻). Alors :

(i) Le saut de température σ = f^{+} − f^{−}, initialement défini sur γ, se prolonge analytiquement à une surface de Riemann à deux feuillets au dessus d’un ouvert contenant γ et G privés de γ_{0} et γ_{1}. La fonction ainsi prolongée, que par un léger abus de notation on continue de désigner par σ, s’étend continûment aux points γ_{0} et γ_{1} où elle s’annule, et la surface de Riemann complétée par ces deux points admet une homotopie de γ en G qui fixe les extrémités γ_{0} et γ_{1}, de sorte que l’intégrale de Cauchy (3.9) représentant la partie singulière de f peut s’écrire, dans le complémentaire de tout ouvert D simplement connexe contenant γ et G (notons que 𝔻 est un tel ouvert), sous la forme

S(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{G} \frac{σ(ξ)}{ξ − z} dξ,  z ∉ D.  (3.127)

(ii) La fonction σ n’a qu’un nombre fini M ≥ 0 de zéros sur G \ {γ_{0}, γ_{1}}, disons z_{1}, …, z_{M}, et la fonction σ(z)/Π_{j=1}^{M}(z − z_{j}) admet un argument C^{1} à variation bornée sur G \ {γ_{0}, γ_{1}}.

□

Preuve La fonction f est analytique sur U \γ par hypothèse et on a par ailleurs vu précédemment que f^{+} et f^{−} s’étendent continûment à γ où leur partie imaginaire vaut une même constante c_{0}, c.f. (3.7). On peut supposer sans perte de généralité que c_{0} = 0 car l’ajoût d’une constante à f ne change pas σ. Il s’ensuit que h = f ∘ P est analytique sur O \ [0, 1], et que les déterminations supérieures et inférieures h^{+} et h^{−} de part et d’autre de [0, 1] s’étendent continûment à [0, 1] où elles sont réelles (mais pas égales en général). Par le principe de réflexion de Schwarz, h s’étend analytiquement au travers de (0, 1) depuis le dessus et le dessous si on définit la fonction prolongée (que l’on continue d’appeler h) par la formule h(z) = \overline{h(z̄)} (ce qui engendre évidemment des branches différentes en général suivant que l’on procède depuis le dessus ou le dessous de (0, 1)). Ceci donne naissance à une surface de Riemann à deux feuillets au dessus de l’ouvert O ⋂ O^{s} \ {0, 1} (où O^{s} désigne le réfléchi de O par rapport à l’axe réel), lequel contient évidemment (0, 1) et aussi P^{−1}(G) \ {0, 1} par hypothèse. Comme on a vu dans la preuve du théorème 9 que f, définie sur 𝔻 \ γ, s’étend continûment en γ_{0} et γ_{1}, il s’ensuit que h se prolonge par continuité en 0 et 1. Par différence, λ = h^{+} − h^{−}, définie initialement sur (0, 1), se prolonge analytiquement sur la surface de Riemann de h et aussi continûment aux point 0 et 1 où elle s’annule. En composant par P^{−1}, on en déduit que σ = λ ∘ P^{−1} est analytique sur une surface de Riemann à deux feuillets au dessus de l’ouvert P (O ⋂ O^{s}) \ {γ_{0}, γ_{1}} et se prolonge continûment par 0 en γ_{0} et γ_{1}. Observons maintenant que γ se déforme continûment en G dans P (O ⋂ O^{s}) ou, ce qui est équivalent, que P^{−1}(G) se déforme continûment en [0, 1] dans O ⋂ O^{s}. En effet, ce dernier est simplement connexe comme intersection de deux ouverts simplement connexes bornés (la bornitude assure que l’union des deux complémentaires est connexe puisqu’ils ont en commun le point ∞) et donc deux chemins ayant même origine et même extrémité y sont homotopes par une homotopie fixant cette origine et cette extrémité. Ceci achève de prouver le point (i).

Au vu du caractère conforme de l’application P, prouver (ii) est évidemment équivalent à montrer que la fonction λ n’a qu’un nombre fini de zéros sur P^{−1}(G)\ {0, 1} et admet sur cette courbe un argument C^{1} à variation bornée, une fois effectuée la division par un polynôme dont les racines sont lesdits zéros.

Comme nous l’avons vu précédemment, λ est analytique à travers P^{−1}(G) \ {0, 1} et par suite, ses zéros ne peuvent s’y accumuler. Il suffit donc de vérifier que ces zéros ne peuvent pas non plus s’accumuler en 0 ou en 1. Nous le vérifions par exemple pour 0, et le raisonnement s’appliquera à l’identique pour 1.

Comme λ est la différence entre deux branches de h, laquelle est analytique sur une surface de Riemann à deux feuillets au dessus d’un disque épointé de centre 0 où elle se prolonge continûment en zéro, la fonction λ admet un développement de Puiseux d’exposant 1/2 en 0, c’est-à-dire que l’on peut écrire

λ(z^{2}) = L(z) pour 0 ≤ |z| < r,  (3.128)

où L(z) est une fonction analytique pour 0 ≤ |z| < r, nulle en 0, que l’on peut factoriser sous la forme L(z) = z^{k}L_{0}(z) avec L_{0}(0) ≠ 0. Il résulte immédiatement de cela que les zéros de λ ne s’accumulent pas dans le disque de rayon r centré en 0 et nous avons ainsi prouvé que λ n’a qu’un nombre fini de zéros sur P^{−1}(G)\{0, 1}, disons ξ_{1}, …, ξ_{M}.

Posons

λ_{1}(z) = \frac{λ(z)}{Π_{j=1}^{M}(z − ξ_{j})}  (3.129)

qui est analytique dans un voisinage de P^{−1}(G) \ {0, 1}. Sur tout compact de cet arc de courbe ouvert, elle admet donc un argument C^{1} a variation bornée. Par conséquent, pour achever de démontrer le point (ii), il suffit d’examiner la finitude de la variation de cet argument au voisinage de 0 et de 1. Ici encore, on se limite à donner l’argument en 0, le cas de 1 étant similaire. La fonction λ_{1} admet à son tour un développement de Puiseux en 0 :

λ_{1}(z^{2}) = Λ(z) pour 0 ≤ |z| < r,  (3.130)

où Λ(z) est une fonction analytique pour 0 ≤ |z| < r, nulle en 0, que l’on peut factoriser sous la forme Λ(z) = z^{k}Λ_{0}(z) avec Λ_{0}(0) ≠ 0.

Puisque P est conforme et G lisse, notons que P^{−1}(G) admet une tangente en 0 et reste dans un secteur au voisinage de l’extrémité 0, de sorte qu’une détermination de z^{1/2} peut être prise au voisinage de 0 sur P^{−1}(G). Ceci montre que l’argument de λ_{1}(z) = z^{k/2}Λ_{0} (z^{1/2}) peut être défini de manière C^{1} pour z ∈ P^{−1}(G) et 0 < |z| < r et, puisque Λ_{0} admet un logarithme analytique au voisinage de 0, cet argument sera à variation bornée si et seulement si l’argument de z est à variation bornée lorsque z → 0 en restant sur la courbe P^{−1}(G). Ce dernier point découle immédiatement du fait que P^{−1}(G) se prolonge en une courbe analytique non singulière à travers 0 puisque P est conforme et que l’arc de cercle G se prolonge à travers γ_{0}. Ceci achève la preuve du théorème.

□

En pratique, l’application du théorème 14 à une fissure γ donnée se fait ainsi :

1. On vérifie que le paramétrage P : [0, 1] → γ définissant γ s’étend analytiquement et injectivement à un domaine suffisamment vaste pour contenir le symétrique par rapport à l’axe réel de l’image réciproque de P^{−1}(G).

2. On choisit un flux qui s’étend harmoniquement sur la partie de l’image du

paramétrage P qui n’est pas contenue dans 𝔻. C’est notre souci de satisfaire cette deuxième condition, sans trop avoir à se préoccuper de la géométrie de la fissure, qui nous a motivé pour choisir, lors des expérimentations numériques du chapitre 4 des flux qui sont des polynômes trigonométriques. Il reste à trouver des critères pour que la première condition soit satisfaite. Evidemment, si la fissure est un segment de droite ou de cercle, de sorte que P est une tranformation linéaire fractionnaire, ce sera toujours le cas. Nous donnons ci-après trois résultats, chacun de nature légèrement différente des deux autres, qui permettent de conclure, pour certains types de fissures plus généraux, que la première condition est satisfaite.

Lemme 2 Si P est un polynôme tel que |P′(z)| ≥ m pour |z| < d, la composante connexe de P^{−1} (B_{P (0),md}) qui contient 0 (B_{a,R} désignant un disque de rayon R centré en a) contient B_{0,ρ} pour

ρ = \frac{md}{4} \frac{1}{|P′(0)|},  (3.131)

et P : B_{0,ρ} → P (B_{0,ρ}) est bijective.

Preuve Considérons P : B_{0,d} → P (B_{0,d}). Il s’agit d’un revêtement de l’ouvert P (B_{0,d}), lequel contient B_{P (0),md} car en relevant P le long d’un chemin issu de P (0) et de longueur l < md, on obtient, par l’inégalité des accroissements finis et l’hypothèse que |P′(z)| ≥ m dans B_{0,d}, un chemin de longueur au plus l/m < d. Comme tout revêtement d’un espace contractile est trivial (voir par exemple [25]), P est un homéomorphisme de la composante connexe E de P^{−1} (B_{P (0),md}) qui contient 0 sur B_{P (0),md}. Mais alors P^{−1} : B_{P (0),md} → E est analytique et injective, de sorte que E contient un disque de rayon md/4|P′(0)| par le théorème du 1/4 de Koebe [43, cor. 1.4] (voir aussi [44, thm. 5.3.3]). □ Dans le résultat précédent, il n’est pas important que P soit un polynôme, hormis le fait qu’il définit un revêtement de ℂ. Un autre résultat, plus classique, qui permet de contrôler le domaine d’univalence d’un polynôme, cette fois en fonction du degré, est le suivant. Lemme 3 Si P est de degré n et tel que P′(z) ≠ 0 dans B_{0,R}, alors P est univalent (i.e. analytique et injectif) dans B_{0,R_{1}} et P (B_{0,R_{1}}) contient B_{P (0),R_{2}}, pour

R_{1} = R sin \frac{π}{n} et R_{2} = \frac{R_{1}}{4} |P′(0)|.

Preuve L’univalence est dûe à J. W. Alexander [7] et S. Kakeya [35] (voir aussi [49]). La valeur de R_{2} découle à nouveau du théorème du 1/4 de Koebe. □

L’usage que l’on fait de ces deux lemmes pour notre problème est le suivant :

Théorème 15 Supposons que γ ⊂ 𝔻 soit paramétrée par un polynôme

P : [0, 1] → B_{0,1}.  (3.132)

Si l’unes des conditions (i) ou (ii) ci-dessous est remplie, alors les hypothèses du théorème 14 sont satisfaites.

(i) |P′(z)| ≥ m pour |z| < d avec

\frac{m^{2}d}{8|P′(0)|} > 1,  (3.133)

et f, définie par (3.12), est analytique dans B_{0,md+1} \ γ (ou de façon équivalente Φ est harmonique à travers 𝕋 et jusqu’au cercle de rayon md + 1),

(ii) P est de degré n et tel que P′(z) ≠ 0 dans B_{0,R}, avec

R_{3} := \frac{R}{8} sin \frac{π}{n}|P′(0)| > 1,  (3.134)

et f, définie par (3.12), est analytique dans B_{0,2R_{3}} \ γ (ou de façon équivalente Φ est harmonique à travers 𝕋 et jusqu’au cercle de rayon 2R_{3}).

□

Soulignons à nouveau que si γ est paramétrée par un polynôme sur un segment autre que [0, 1], il est toujours possible de renormaliser l’intervalle de paramétrage en le segment [0, 1] tout en conservant le caractère polynomial de ce paramétrage (l’effet se répercutant alors sur P′(0)).

Preuve La composante connexe de P^{−1}(B_{0,1}) qui contient 0 est incluse dans B_{0,2/m} par le théorème des accroissements finis. Si 2/m < ρ, où ρ est donné dans (3.131), en d’autres termes si (3.133) est vrai, on peut réfléchir P^{−1}(G) à travers l’axe réel en restant dans B_{0,ρ} par le lemme 2 et la symétrie du disque. Comme le disque de rayon md + 1 centré en 0 contient 𝔻 et B_{0,mρ}, qui contient lui-même P (B_{0,ρ}) par le théorème des accroissements finis, on peut appliquer le théorème 14 avec O = B_{0,ρ}, ce qui achève la preuve de (i). Si la condition (i)

est satisfaite, et en adoptant les notations du lemme 3, on peut, par symétrie du disque à nouveau, prendre O = B_{0,R_{1}} dans le théorème 14, pourvu que f soit analytique sur B_{P (0),R_{2}} et que celui-ci contienne γ ainsi que l’arc géodésique G. Comme P (0) ∈ 𝔻, cette condition sera évidemment satisfaite si R_{2} > 2, en d’autres termes si l’on a (3.134). □

La condition (3.133) ainsi que la condition (3.134) indiquent toutes deux, en des sens différents, que la fissure ne diffère pas trop d’une droite : dans le cas (i), P′(z) ne doit pas trop varier dans B_{0,d} et dans le cas (ii), n ne doit pas être trop grand par rapport à R|P′(0)| qui renseigne sur la taille de la fissure.

Pour achever la présente analyse du contenu du théorème 14, donnons à présent un résultat plus fin et entièrement géométrique qui nécessite que l’image du paramétrage P submerge 𝔻 mais en contrepartie impose uniquement des conditions sur le diamètre hyperbolique des composantes connexes de γ \ G ⋂ γ. Rappelons que la distance hyperbolique entre deux points z_{1} et z_{2} de 𝔻 est donnée [43, 30] par

d_{𝔻}(z_{1}, z_{2}) = Arctanh |\frac{z_{1} − z_{2}}{1 − \overline{z_{1}}z_{2}} | .  (3.135)

Théorème 16 Soit P : Ω → 𝔻 une application conforme telle que [0, 1] ⊂ Ω et Ω borné, et posons P ([0, 1]) = γ. Notons G l’arc géodésique dans 𝔻 joignant γ_{0} = P (0) et γ_{1} = P (1). Si la distance hyperbolique entre deux intersections de G avec γ est inférieure à

\frac{1}{4} Log (1 + \sqrt{2}) ≃ 0, 220343,  (3.136)

alors les conclusions du théorème 14 sont vraies. □

Preuve Notons h = P^{−1} : 𝔻 → Ω et établissons une condition métrique hyperbolique pour que le réfléchi de h(G) par rapport à l’axe réel soit contenu dans Ω. Comme P (Ω) = 𝔻, aucune hypothèse de régularité additionnelle sur f ne sera nécessaire et on pourra choisir O = Ω dans le théorème 14.

Désignons par a_{k}, pour k = 1, …, m les points d’intersections successifs de γ et G (ordonnés en suivant la courbe G orientée). On peut supposer qu’il y en a un nombre fini car sinon le caractère analytique des deux courbes implique qu’elles soient confondues, et alors, puisque G est l’image d’un segment réel par un automorphisme de 𝔻 du type (3.60), on peut simplement prendre comme paramétrage une transformation de Möbius d’un disque composé avec une homothétie auquel le théorème 14 s’applique trivialement.

Soit φ_{k} une famille d’automorphismes du disque 𝔻 et c_{k} ∈ (0, 1) de telle sorte que φ_{k}(0) = a_{k−1} et φ_{k}(c_{k}) = a_{k} et φ_{k} ([0, c_{k}]) ⊂ G. Notons enfin H_{k} = h∘φ_{k}. Une condition suffisante pour que le réfléchi de h(G) soit dans Ω est que la longueur euclidienne l(H_{k}([0, c_{k}])) soit inférieure pour tout k à la longueur minimale d’un contour joignant h(a_{k−1}) à h(a_{k}) et passant par un point de la frontière ∂H_{k}(𝔻). De ce fait, on cherche à satisfaire la condition

l(H_{k}([0, c_{k}])) < dist(H_{k}(0), ∂H_{k}(𝔻)) + dist(H_{k}(c_{k}), ∂H_{k}(𝔻)).  (3.137)

D’après le théorème de distortion de Koebe [43, thm. 1.3], on a

|H′_{k}(0)| \frac{1 − |z|}{(1 + |z|)^{3}} ≤ |H′_{k}(z)| ≤ |H′_{k}(0)| \frac{1 + |z|}{(1 − |z|)^{3}} ,  z ∈ 𝔻,  (3.138)

ainsi que, par le corollaire [43, cor. 1.4],

\frac{1}{4} (1 − |z|^{2}) |H′_{k}(z)| ≤ dist(H_{k}(z), ∂H_{k}(𝔻)) ≤ (1 − |z|^{2}) |H′_{k}(z)| ,  (3.139)

d’où l’on tire

dist(H_{k}(0), ∂H_{k}(𝔻)) + dist(H_{k}(c_{k}), ∂H_{k}(𝔻)) ≥ \frac{1}{4} (|H′_{k}(0)| + (1 − c_{k}^{2}) |H′_{k}(c_{k})|) .

(3.140)

En appliquant (3.138) respectivement pour z = c_{k} et z = τ, on trouve

\frac{1}{4} (|H′_{k}(0)| + (1 − c_{k}^{2}) |H′_{k}(c_{k})|) ≥ \frac{1}{4} |H′_{k}(0)| [1 + (\frac{1 − |c_{k}|}{1 + |c_{k}|})^{2}]  (3.141)

et

l(H_{k}([0, c_{k}])) = ∫_{0}^{c_{k}} |H′_{k}(τ)| dτ ≤ ∫_{0}^{c_{k}} |H′_{k}(0)| \frac{1 + τ}{(1 − τ)^{3}} dτ,  (3.142)

avec

∫_{0}^{c_{k}} |H′_{k}(0)| \frac{1 + τ}{(1 − τ)^{3}} dτ = |H′_{k}(0)| \frac{c_{k}}{(1 − c_{k})^{2}} .  (3.143)

Notons que dans l’encadrement (3.138), l’une des deux inégalités est nécessairement stricte pour z = c_{k} ∈ (0, 1). Par conséquent l’une des deux équation (3.141) et (3.142) est stricte. Il nous faut donc avoir

\frac{c_{k}}{(1 − c_{k})^{2}} ≤ \frac{1}{4} (1 + (\frac{1 − c_{k}}{1 + c_{k}} )^{2}) .  (3.144)

Ceci équivaut à

(1 − c_{k})^{4} − 8c_{k}^{2} ≥ 0,  (3.145)

soit encore

(1 − c_{k})^{2} − 2\sqrt{2}c_{k} ≥ 0,  (3.146)

c’est-à-dire

0 ≤ c_{k} ≤ c^{∗} = 1 + \sqrt{2} − \sqrt{2}\sqrt{1 + \sqrt{2}} ≃ 0, 216845.  (3.147)

Or la condition (3.147) équivaut à dire que la distance hyperbolique

d_{𝔻}(a_{k−1}, a_{k}) = Arctanh |\frac{a_{k−1} − a_{k}}{1 − \overline{a_{k−1}}a_{k}} | = d_{𝔻}(0, c_{k})  (3.148)

est inférieure ou égale à

d_{𝔻}(0, c^{∗}) = Arctanh c^{∗} = \frac{1}{2} Log \frac{1 + c^{∗}}{1 − c^{∗}} = \frac{1}{4} Log (1 + \sqrt{2}) ≃ 0, 220343. (3.149)

On pourra donc déformer le contour γ vers la géodésique G dès lors que la distance hyperbolique entre deux intersections successives a_{k−1} et a_{k} de G avec γ est inférieure à la valeur d_{𝔻}(0, c^{∗}) donnée en (3.149). □

Remarque 6 Notons que les conditions du théorème indiquent, en un sens, que la fissure n’est pas trop éloignée de l’arc géodésique G. □

Ayant à notre disposition, avec les théorèmes 15 et 16, quelques outils pour assurer que les conclusions du théorème 14 sont satisfaites, nous allons, pour le reste de ce chapitre, nous placer systématiquement dans une situation où l’on peut appliquer ledit théorème, et en analyser les conséquences pour ce qui est du comportement asymptotique des pôles des approximants méromorphes et rationnels, depuis H_{N}^{∞} et H_{N}^{2} respectivement, au regard de l’arc géodésique G joignant les extrémités de la fissure γ dans 𝔻. Sous les conditions de ce théorème, le contour d’intégration C dans (3.12) peut être ramené à un arc géodésique G et alors cet arc géodésique se comporte comme un lieu d’accumulation pour les pôles de nos approximants, comme nous allons le voir maintenant.

Dans le cas des approximants L^{2}, il apparaît en effet que la fonction w dans l’expression (3.84) est indépendante de n. D’après (3.44) et (3.73), celle-ci est construite par une composition du prolongement analytique du saut de température σ introduit dans le théorème 14 et d’une transformation de Möbius. Par l’assertion (ii) dudit théorème, les hypothèses du théorème 13 concernant w sont satifaites, et on en déduit que le nombre de pôles hors d’un voisinage V sera fini et indépendant de n.

Dans le cas des approximants AAK, les choses sont un peu plus compliquées. Comme la relation (3.52) le montre, ici, notre w fait intervenir un facteur w_{N} (facteur extérieur de notre vecteur singulier) qui dépend de l’ordre N de l’approximation. Ce fait ne sera toutefois pas trop pénalisant puisque l’on peut prouver que w_{N}^{1/N} converge localement uniformément vers 1 lorsque N → ∞ et que ceci entraîne que son argument est un o(N), ce qui combiné avec notre résultat assure donc là encore une convergence asymptotique des pôles dans notre voisinage V.

Ce dernier résultat est prouvé pour une fonction avec deux points de branchement et dans une version plus générale qui concerne les approximants H_{N}^{p}, pour p ≥ 2, dans un article à paraître de L. Baratchart et F. Seyfert [18]. Par commodité pour le lecteur, nous reproduisons ici les arguments de cette preuve en les adaptant à notre cas, à savoir p = ∞ et une singularité en racine carrée aux extrémités. Rappelons simplement qu’une famille normale de fonctions sur un domaine D ⊂ \overline{ℂ} est une collection de fonctions analytiques uniformément bornées sur tout compact. Par un théorème classique de Montel [46], une telle famille est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de D.

Théorème 17 Soit

f(z) = g(z) + \frac{1}{2iπ} ∫_{G} \frac{σ(t)}{z − t}dt,  z ∈ \overline{ℂ} \ G,  (3.150)

où g ∈ H^{∞}, la fonction obtenue à partir de (3.8) par prolongement analytique de σ à travers γ jusqu’au contour géodésique G joignant γ_{0} à γ_{1} ∈ 𝔻, en supposant que cela est possible (cf. théorèmes 14, 15 et 16). Définissons g_{N} comme le meilleur approximant de f dans H_{N}^{∞} associé à un vecteur singulier v_{N} et posons b_{N}w_{N} la décomposition de ce dernier en facteurs intérieur/extérieur. Alors, les facteurs extérieurs w_{N} forment une famille normale dans \overline{ℂ} \ Ǧ (où Ǧ = {1/z̄ : z ∈ G}) et w_{N}^{1/N} converge uniformément vers 1 sur les compacts de 𝔻 quand N → ∞. □

Preuve On peut supposer g = 0 car ce dernier n’influe pas sur les pôles des approximants AAK et écrire :

f(z) = ∫_{G} \frac{dν(t)}{z − t},  z ∈ ℂ \ G  (3.151)

où dν(t) = (2iπ)^{−1}σ(t)dt comme précédemment. Notons maintenant que la relation (3.46) nous permet de choisir un vecteur singulier v_{N} tel que

H_{f}v_{N}(z) = ±\frac{1}{z}s_{N} \overline{v_{N}} (\frac{1}{z}) .  (3.152)

D’autre part, en écrivant l’opérateur de Hankel sous forme intégrale et en appliquant Cauchy et Fubini, on obtient que

H_{f}v_{N}(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{𝕋} ∫_{G} \frac{v_{N}(ξ)}{(z − ξ)(ξ − t)} dξ dν(t) = ∫_{G} \frac{v_{N}(t)}{z − t} dν(t), pour |z| > 1,

(3.153)

ce qui, combiné avec (3.152), nous donne que

s_{N} \overline{v_{N}}(z) = ± ∫_{G} \frac{v_{N}(t)}{1 − zt}dν(t) |z| < 1.  (3.154)

Nous allons utiliser une propriété spécifique de l’arc géodésique, à savoir que pour toute fonction u de H^{2}, il existe une fonction v(z) ∈ H^{2} qui coïncide avec \overline{u(z)} sur G et satisfait la condition C_{1}∥u∥_{2} ≤ ∥v∥_{2} ≤ C_{2}∥u∥_{2} pour des constantes indépendantes de u. En fait, ceci est clair lorsque G est un segment réel, car on a simplement besoin de conjuguer les coefficients de Fourier de u dans ce cas, et on a alors ∥u∥_{2} = ∥v∥_{2}. Le cas général s’obtient par une application conforme, sachant que G est l’image d’un segment réel par une transformation de Möbius.

Muni de cette propriété, nous allons supposer dans un premier temps que σ ne s’annule pas sur G, excepté aux extrémités γ_{0} et γ_{1}. Nous savons alors, d’après le théorème 14 que σ a un argument continu le long de G.

De plus, dans la décomposition polaire dt = (dt/|dt|)dt, la fonction de densité unimodulaire dt/|dt| est continue sur l’arc géodésique G, puisque l’arc est l’image d’un segment réel par une transformation de Möbius, et elle a donc aussi un argument continu. Il existe ainsi P ∈ H^{∞} à valeurs réelles sur G et telle que |P + arg σ + arg dt/|dt|| < π/3 en tout point; en fait on peut prendre pour P un polynôme si G est un segment réel, et nous l’obtenons sous la forme d’une fonction rationnelle dans le cas général en utilisant une transformation de Möbius. Maintenant, considérons une fonction G_{N} ∈ H^{2} qui prend sur G les valeurs conjuguées de b_{N}w_{N}^{1/2} et calculons

\frac{s_{N}}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{iP (e^{iθ})} \frac{G_{N}(e^{iθ})\overline{b_{N}(e^{iθ})w_{N}(e^{iθ})}}{w_{N}^{1/2}(e^{iθ})} dθ =

\frac{s_{N}}{2iπ} ∫_{𝕋} G_{N}(ξ)e^{iP (ξ)}\overline{b_{N}(ξ)}\frac{\overline{w_{N}(ξ)}}{w_{N}^{1/2}(ξ)} \frac{dξ}{ξ} .  (3.155)

On peut voir que la fonction w_{N} est analytique au travers de 𝕋, grâce à son expression intégrale (3.167). Malgré ceci et le fait qu’elle ne s’annule pas dans 𝔻, il se peut qu’elle ait néanmoins un zéro sur 𝕋, la fonction w_{N}^{1/2}(e^{iθ}) étant malgré tout bien définie et continue, de même que le rapport \overline{w_{N}}/w_{N}^{1/2} qui apparaît dans l’intégrale. En fait ce rapport est la trace sur 𝕋 de la fonction

\frac{\overline{w_{N}}(1/z)}{w_{N}^{1/2}(z)},  (3.156)

qui est analytique et bornée dans un anneau {r < |z| < 1} car l’ordre de magnitude du numérateur en un zéro z_{0} ∈ 𝕋 de w_{N} est |1/z̄ − 1/z̄_{0}|^{n} ≈ |z − z_{0}|^{n} où n est la multiplicité du zéro, tandis que l’ordre de magnitude du dénominateur est |z − z_{0}|^{n/2}. De plus, \overline{b_{N}(ξ)} est la trace sur 𝕋 de la fonction \overline{b_{N}}(1/z) qui est aussi analytique et bornée dans un anneau intérieur puisque b_{N} est un produit de Blaschke fini. De ce fait, par la formule de Cauchy, on peut intégrer sur un cercle 𝕋_{r} de rayon r légèrement inférieur à 1 grâce à la décomposition v_{N} = b_{N}w_{N} sans changer la valeur de (3.155), et utiliser (3.154) sous l’intégrale car cette relation reste valable dans un voisinage de 𝕋. Ceci transforme l’intégrale initiale en

\frac{1}{(2iπ)^{2}} ∫_{𝕋_{r}} ∫_{G} \frac{G_{N}(ξ)e^{iP (ξ)}v_{N}(t)}{w_{N}^{1/2}(ξ)} \frac{dν(t) dξ}{ξ − t} ,  (3.157)

où il n’y a cette fois plus de singularité vu que w_{N} ne s’annule pas dans 𝔻, ce qui justifie l’utilisation du théorème de Fubini. En appliquant la formule des résidus après avoir changé l’ordre d’intégration cette double intégrale prend la valeur

−\frac{1}{2iπ} ∫_{G} G_{N}(t)e^{iP (t)}v_{N}(t)w_{N}^{−1/2}(t) dν(t),  (3.158)

et en substituant v_{N} = b_{N}w_{N}, dν(t) = (2iπ)^{−1}σ(t)dt et G_{N}(t) = \overline{b_{N}(t)w_{N}^{1/2}(t)}, on obtient la relation

\frac{s_{N}}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{iP (e^{iθ})} \frac{G_{N}(e^{iθ})\overline{b_{N}(e^{iθ})w_{N}(e^{iθ})}}{w_{N}^{1/2}(e^{iθ})} dθ

= −\frac{1}{2iπ} ∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| e^{iP (t)}σ(t) dt.  (3.159)

Sachant que

Re\{e^{iP (t)}σ(t)dt/|dt|\} > \frac{1}{2}|σ(t)| sur G  (3.160)

par définition de P, on a

\frac{1}{2} ∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| d|ν|(t) ≤ |\frac{1}{2iπ} ∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| e^{iP (t)}σ(t) dt, | ,  (3.161)

et en majorant le second membre de (3.159), à l’aide des inégalités de Schwarz et de Hölder, en gardant en tête que b_{N} est un produit de Blaschke et que ∥w_{N}∥_{2} = 1, on obtient finalement

∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| d|ν|(t) ≤ 2s_{N}∥e^{iP} ∥_{∞}∥G_{N}∥_{2}∥w_{N}^{1/2}∥_{2}  (3.162)
= 2s_{N}∥e^{iP} ∥_{∞}∥G_{N}∥_{2}∥w_{N}∥_{1}^{1/2} ≤ 2s_{N}∥e^{iP} ∥_{∞}∥G_{N}∥_{2}.  (3.163)

D’autre part, par les propriétés spécifiques de G discutées plus tôt et une nouvelle fois par l’inégalité de Hölder, nous avons que

∥G_{N}∥_{2} ≤ C_{2}∥b_{N}w_{N}^{1/2}∥_{2} = C_{2}∥w_{N}∥_{1}^{1/2} ≤ C_{2},  (3.164)

de sorte que finalement

∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| d|ν|(t) ≤ 2C_{2}s_{N}∥e^{iP} ∥_{∞},  (3.165)

où C_{2} et P sont indépendants de N. A présent, en multipliant (3.152) par b_{N} et en appliquant P\overline{H_{2}}, on obtient

H_{f}(b_{N}v_{N})(z) = ±\frac{1}{z}s_{N} \overline{w_{N}} (\frac{1}{z})  (3.166)

et en calculant une fois de plus comme dans (3.153) en substituant v_{N} = b_{N}w_{N}, on a

± s_{N} \overline{w_{N}}(z) = ∫_{G} \frac{b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)}{1 − zt} dν(t).  (3.167)

En comparant (3.165) et (3.167), on trouve

|w_{N}(z)| ≤ \frac{2C_{2}∥e^{iP} ∥_{∞}}{inf_{t∈G} |1 − zt̄|}, z ∈ \overline{ℂ} \ Ǧ.  (3.168)

On voit à partir de cette estimation que |w_{N}| est localement uniformément bornée hors du réfléchi de G donc une famille normale ici, dont la fonction nulle ne peut être en aucun cas la limite puisque ∥w_{N}∥_{2} = 1. Par conséquent, par le théorème de Hurwitz, toute fonction limite est sans zéro dans 𝔻 puisque c’est le cas de w_{N}. Alors, la famille w_{N}^{1/N} est bien définie dans 𝔻, y est par suite normale, et toute fonction limite de cette famille a pour module 1 partout dans 𝔻 puisque |w_{N}| reste bornée en tout point par dessus et par dessous. Ainsi, la constante 1 est l’unique fonction limite, comme souhaité, parce que w_{N}(0)^{1/N} = 1.

Il nous reste à traiter le cas pour lequel σ admet des zéros sur G qui sont distincts de γ_{0}, γ_{1}. Nous savons d’après le point (ii) du théorème 14 que ces zéros sont en nombre fini. Désignons-les par ζ_{1}, …, ζ_{n}. Nous devons encore définir une fonction argument pour σ sur G, que nous noterons α; une telle fonction va avoir des limites à gauche et à droite en chaque ζ_{j} par analyticité, mais elle ne sera plus continue en général puisqu’elle admettra des sauts d’un multiple impair de ±π en ces ζ_{j} de multiplicité impaire; la valeur réelle de α en ζ_{j} est “immatérielle”, par exemple nous pourrions accepter qu’elle soit continue à gauche. En désignant par B_{j,ε} la boule de rayon ε centrée en ζ_{j}, nous pourrions par convergence monotone choisir ε suffisamment petit pour que

∫_{G ⋂ ∪_{j}B_{j,ε}} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| d|ν|(t) < \frac{1}{4} ∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| d|ν|(t).  (3.169)

Soit α̃ qui coïncide avec α sur G \ ∪_{j}B_{j,ε} et qui interpole linéairement entre les valeurs au bord de α dans B_{j,ε}. Nous choisissons cette fois P ∈ H^{∞} comme étant à valeurs réelles sur G et telle que |P + α̃ + arg dt/|dt|| < π/3 à cette endroit; un tel choix est possible puisque α̃ est continue sur G. De par (3.169), ceci à pour effet de donner

∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| d|ν|(t) ≤ \frac{4}{3} ∫_{G\∪_{j}B_{j,ε}} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| d|ν|(t)

≤ \frac{8}{3} |\frac{1}{2iπ} ∫_{G\∪_{j}B_{j,ε}} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| e^{iP (t)}σ(t) dt|

≤ \frac{8}{3} (|\frac{1}{2iπ} ∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| e^{iP (t)}σ(t) dt| + ∫_{G ⋂ ∪_{j}B_{j,ε}} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| d|ν|(t))

≤ \frac{8}{3} (|\frac{1}{2iπ} ∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| e^{iP (t)}σ(t) dt| + \frac{1}{4} ∫_{G} |b_{N}^{2}(t)w_{N}(t)| d|ν|(t)) . (3.170)

Par conséquent, (3.161) est vrai pour la constante 1/8 eu lieu de 1/2 au début, et de ce point, nous concluons de la même manière que w_{N}^{1/N} converge localement uniformément vers 1 dans 𝔻. □

Remarque 7 Le fait que les w_{N} forment une famille normale sur le complémentaire du réfléchi de la fissure au travers de 𝕋 entraîne un résultat plus fort que celui annoncé sur le comportement de la variation le long de G de l’argument de w_{N} quand N → ∞. On peut en effet en déduire que la variation de cet argument est en fait bornée (condition sans laquelle on pourrait choisir une suite de w_{N} dont la variation de l’argument tend vers l’infini de manière croissante, et dont il serait alors impossible d’extraire une sous-suite convergente contredisant ainsi la normalité). Cette conclusion nous permet ainsi de voir que le résultat énoncé dans le théorème 13 nous fournit finalement, pour tout voisinage V, une borne indépendante de N, comme c’était déjà le cas pour l’approximation H_{N}^{2}. □

On peut voir de ce fait que, autant pour l’approximation H_{N}^{2} que pour l’approximation H_{N}^{∞}, dès lors que le problème satisfait l’une des hypothèses de régularité énoncées plus tôt, l’arc géodésique se présente comme un lieu d’accumulation asymptotique pour les approximants méromorphes.

Les techniques employées ici sont utilisées dans [18] pour obtenir que la répartition asymptotique des pôles converge au sens faible-* vers la distribution des charges à l’équilibre dans un condensateur formé par le couple (𝕋, G).

Toutefois, si les techniques en questions sont analogues aux nôtres, il convient de remarquer qu’elles diffèrent de cette dernière par le choix du vecteur v_{N}. L’article sus-mentionné considère en effet un vecteur v_{N} dont les zéros sont exactement les pôles de l’approximant g_{N} (l’existence d’un tel vecteur singulier découle d’un théorème de De Leuwe-Rudin [30] et est démontrée dans l’article). Les résultats étant prouvés sur les zéros de ce vecteur, ils le sont de facto sur les pôles.

Afin de simplifier la preuve, nous avons pour notre part choisi v_{N} tel qu’il satisfasse (3.152). Une conséquence directe de ce choix est que nous ne pouvons plus assurer de cette manière que, si la valeur singulière s_{N} associée à un tel v_{N} est multiple, tous les zéros d’un tel vecteur sont des pôles. En fait, on peut même facilement vérifier que cette assertion n’est jamais vraie dans ce cas. En d’autres termes, dès lors que s_{N} est multiple, le vecteur v_{N} ainsi choisi possède toujours un ou plusieurs zéros dans 𝔻 qui ne sont pas des pôles.

Si ce point n’affecte pas le résultat du théorème 13 (la borne absolue portant sur les zéros hors d’un voisinage V reste vraie a fortiori pour les pôles), ceci peut sembler plus problématique dès lors que l’on étudie la répartition asymptotique des pôles, la proportion de zéros non-pôles pouvant altérer le résultat. Nous allons voir ici qu’il n’en est rien, en prouvant que le nombre de ces zéros qui ne sont pas des pôles est en réalité borné quand N → ∞.

Pour voir ceci, prenons s_{n} une valeur singulière multiple (n est choisi tel que s_{n−1} > s_{n}) et prenons à présent un vecteur singulier v_{n} associé à cette valeur singulière et tel que tous les zéros de v_{n} soient exactement les pôles de l’approximant g_{n}. Naturellement, v_{n} se décompose en facteurs intérieur/extérieur sous la forme v_{n} = b_{n}w_{n} où b_{n} = q/q̃ (avec q le polynôme monique ayant pour racines les pôles de l’approximant AAK) mais ce v_{n} ne satisfait pas une relation du type (3.152), comme nous l’avons mentionné précédemment. D’après [2, 18], un tel vecteur v_{n} existe et l’on a

H_{f}v_{n}(z) = s_{n} \frac{1}{z}\overline{b_{n}w_{n}} (\frac{1}{z}) \frac{Q}{Q̃}(z),  (3.171)

où Q est un polynôme monique ayant ses racines hors de \overline{𝔻}. On notera K son degré. En réécrivant cette égalité sous forme intégrale et en appliquant le même cheminement que pour obtenir (3.50), on obtient

2iπs_{n}\overline{b_{n}w_{n}}(z)\frac{Q}{Q̃} (\frac{1}{z}) = ∫_{C} \frac{σ(ξ)v_{n}(ξ)}{zξ − 1}dξ,  z ∈ 𝔻.  (3.172)

En évaluant ceci sur les racines du membre de gauche, on obtient la relation

∫_{C} \frac{σ(ξ)w_{n}(ξ)q(ξ)P_{n+K−1}(ξ)}{q̃^{2}(ξ)Q(ξ)} dξ = 0,  P_{n+K−1} ∈ P_{n+K−1}.  (3.173)

De manière analogue à la majoration (3.120), on voit alors que

V_{(b,c)} (arg \frac{q}{q̃^{2}} )+V_{(b,c)} (arg w_{n})+V_{(b,c)} (arg σ)+V_{(b,c)} (arg Q) ≥ (n+K)π, (3.174)

soit encore

Kπ −V_{(b,c)} (arg Q) ≤ V_{(b,c)} (arg \frac{q}{q̃^{2}} )+V_{(b,c)} (arg w_{n})+V_{(b,c)} (arg σ)−nπ. (3.175)

Or, puisque V_{(b,c)} (arg(q/q̃^{2})) ≤ nπ, ceci devient

Kπ − V_{(b,c)} (arg Q) ≤ V_{(b,c)} (arg w_{n}) + V_{(b,c)} (arg σ) .  (3.176)

Enfin, en remarquant que les racines τ_{j} de Q sont hors du disque, on voit que leur contribution à la variation de l’argument est telle que

V_{(b,c)}(arg Q) = V_{(b,c)} (arg ∏_{j=1}^{K}(t − τ_{j})) < K \frac{π}{2} ,  (3.177)

ce qui nous donne finalement

K \frac{π}{2} < V_{(b,c)} (arg w_{n}) + V_{(b,c)} (arg σ) .  (3.178)

Comme nous l’avons vu plus haut, cette dernière quantité est bornée, ce qui nous donne en conclusion préliminaire que K, le degré de Q, est borné.

Rappelons à présent que, même en présence de valeurs singulières multiples, l’approximant g_{n} ne dépend pas du choix du vecteur singulier v_{n} par l’unicité du meilleur approximant dans la théorie AAK. Si donc on note I l’indice par rapport à l’origine, l’indice I(f − g_{n}) de l’erreur d’approximation s’exprime comme

I(f − g_{n}) = I (\frac{H_{f}v_{n}}{v_{n}} ) = I (\frac{H_{f}u}{u}) ,  (3.179)

où u = bw est un vecteur singulier satisfaisant la condition (3.152) et où b et w représentent ses facteurs intérieur et extérieur respectivement. Ici, l’indice existe de façon très générale, en vertu du fait que f − g_{n} est inversible dans H^{∞}+C(𝕋), et il peut se calculer comme l’indice de son extension de Poisson sur des cercles de rayon r < 1, pourvu que r soit assez proche de 1 [42]. Comme on peut aisément le voir,

\frac{H_{f}u}{u}(z) = s_{n} \frac{\overline{w}(1/z)}{zw(z)b^{2}(z)}  (3.180)

et

\frac{H_{f}v_{n}}{v_{n}} = s_{n} \frac{\overline{w_{n}}(1/z)}{zw_{n}(z)} \frac{Q}{b_{n}^{2}Q̃}(z).  (3.181)

Pour obtenir l’indice de

\frac{\overline{w_{n}}(1/z)}{w_{n}(z)}  (3.182)

et de

\frac{\overline{w}(1/z)}{w(z)},  (3.183)

rappelons que, puisque v vérifie (3.152), alors w satisfait (3.167). D’autre part, étant donné que w_{n} vérifie (3.172), il devient clair que w et w_{n} sont toutes deux analytiques dans un voisinage du disque fermé \overline{𝔻}. Alors leurs zéros sur 𝕋 sont en nombre fini, et l’on peut décomposer (3.182) et (3.183) comme le produit d’une fonction sans zéro dans le disque et d’un nombre fini de facteurs de la forme (1/z − ξ̄_{k})/(z − ξ_{k}) pour ξ_{k} ∈ 𝕋. Or chacun de ces facteurs est égal à −1/zξ_{k} dans un voisinage du cercle 𝕋 privé de ξ_{k} (et s’étend à tout le voisinage par analyticité). De ce fait, l’indice I d’un tel facteur est −1 et par suite, on peut conclure que l’indice

I (\frac{\overline{w_{n}}(1/z)}{w_{n}(z)}) = −Z(w_{n})  (3.184)

où Z(w_{n}) désigne nombre de zéros de w_{n} sur 𝕋, qui est borné de manière indépendante de n, d’après le thèorème 17, et de même pour w. Par conséquent, l’égalité des indices s’exprime par

Z(w_{n}) + 2n + K = Z(w) + 2n + 2e,  (3.185)

où e est le nombre de zéros de v dans 𝔻 qui ne sont pas des pôles de g_{n}. Alors, on voit que

2e = Z(w_{n}) + K − Z(w),  (3.186)

qui sont des quantités bornées indépendamment de n d’après (3.178), ce qui est donc aussi le cas pour e et prouve donc ce que nous souhaitions.

En résumé, il est donc possible d’affirmer que les pôles de nos deux types d’approximants de degré n s’accumulent, lorsque n → ∞, vers l’arc géodésique G joignant les deux points extrémaux de la fissure γ et même, d’après le résultat de [14] que nous n’avons pas présenté ici, que la densité asymptotique des pôles sur ce contour est égale à la distibution d’équilibre du condensateur (𝕋, G). Toutefois, la convergence des pôles dans le voisinage est dans les deux cas une convergence asymptotique, et nous ne disposons pas de résultat quantitatif général sur la vitesse de convergence des pôles en fonction du degré n de l’approximation. Néanmoins, les expérimentations numériques présentées dans le chapitre suivant semblent indiquer une convergence assez rapide.

On pourra considérer un autre problème. Les résultats présentés ici pourraient en effet apparaître comme difficilement applicables dans la mesure où l’on suppose une connaissance des données sur tout le bord extérieur. C’est pour cette raison qu’il nous semble important de relier ces travaux avec un résultat présenté d’autre part par L. Baratchart, J. Leblond et J. Partington [16]. Cet article présente une méthode permettant d’obtenir le meilleur approximant AAK à partir du même type de données surdéterminées u et Φ, mais sur seulement une partie de la frontière extérieure Γ. Ces résultats nous permettent donc d’envisager une identification de la fissure à partir de données partielles, sous une connaissance a priori de conditions raisonnables sur la partie du bord non accessible.

70 L’équation d’orthogonalité non hermitienne

Chapitre 4

Mise en pratique et résultats numériques

Dans ce chapitre, nous présentons une mise en application de nos résultats à l’aide de données expérimentales simulées, afin de tester les caractéristiques numériques de nos approches (vitesse de convergence, robustesse…).

4.1 Les données

Les données que nous utilisons au cours de nos tests ont été simulées numériquement par des méthodes d’équations intégrales en utilisant la bibliothèque NAG. Le cercle unité est représenté par une successions de petites arêtes droites qui seront (sauf indication contraire) équiréparties en fonction de l’angle. Nous détaillerons tout au long de nos expérimentations comment sont décrites nos différentes fissures. On impose donc en chaque sommet du polygone décrivant notre cercle unité une valeur correspondant à un flux de chaleur Φ. Les données obtenues à la sortie de nos simulations sont donc des valeurs sur ces mêmes points de la fonction de température u à l’équilibre pour laquelle l’intégrale sur la frontière extérieure 𝕋 est nulle.

4.2 Implémentation numérique de l’approximation AAK

Nous décrivons ici comment nous mettons en œuvre le calcul du meilleur approximant AAK. Pour cela, nous supposons une connaissance du flux Φ et d’un échantillonnage des valeurs correspondantes de u sur des points du cercle unité 𝕋. Compte-tenu, d’une part des limites de la précision numérique sur les mesures de u, et d’autre part de l’interpolation entre ses points de mesures, plusieurs questions se posent naturellement. La première est celle de la continuité de l’opérateur de Hankel H_{f} par rapport au symbole f. La seconde, qui en découle directement, est de savoir comment approximer la fonction f ∈ L^{2}, et par ce biais comment approximer son opérateur de Hankel.

Comme élément de réponse à la première question, un article de E. Hayashi, L. N. Trefethen et M. H. Gutknecht [33] prouve que l’opérateur de meilleure approximation de degré n qui, à f associe g_{N} pour la norme L^{∞}, est continu sur l’algèbre de Wiener W en toute fonction f pour laquelle la (N + 1)^{e} valeur singulière l’opérateur de Hankel est simple. Mentionnons aussi l’article de V. V. Peller [41] selon lequel, toujours sous l’hypothèse que les valeurs singulières sont simples, le meilleur approximant AAK est continu pour les normes de Hölder et dans certains espaces de Besov. Si cette dernière hypothèse de non-multiplicité apparaît comme invérifiable a priori, elle reste toutefois “génériquement” vraie. On trouvera en effet dans [16] une preuve que l’ensemble des fonctions f dont la (N + 1)^{e} valeur singulière est simple est un ensemble dense dans L^{∞}. Ces résultats indiquent qu’il n’est pas suffisant en général d’approcher f en norme uniforme pour que les approximants de Hankel approchent ceux de f. En particulier, les techniques fondées sur les polynômes de Jackson ou de De la Vallée-Poussin (c.f J. R. Partington [40]) peuvent présenter des inconvénients dûs aux oscillations qu’ils engendrent.

En ce qui concerne le mode d’approximation, il nous faut examiner différents points. La fonction f n’étant connue que sur des échantillons au bord, il n’est pas envisageable de connaître ses coefficients de Fourier exactement, du moins pour sa partie réelle. Nous avons en effet le double avantage de pouvoir contrôler le flux Φ en entrée mais aussi par la même occasion, de le connaître parfaitement, de même que sa primitive sur le bord.

De fait, nos tentatives pour approcher l’opérateur de Hankel par ces techniques n’ont pas donné de résultats probants (mauvaise convergence). Un deuxième inconvénient de tels modes d’approximation est qu’ils nécessitent des points équirépartis sur le bord. Même si nous allons souvent disposer de telles données dans nos expérimentations, ceci peut paraître une limitation, qui nous obligerait selon les cas à interpoler la fonction pour en calculer les coefficients ou de passer par un changement de variable (via une application conforme du disque).

En définitive, on prendra le parti d’imposer sur le bord des flux très lisses, sous la forme de polynômes trigonométriques de faible degré, afin d’une part d’assurer une bonne convergence des séries de Fourier de la partie imaginaire, et d’obtenir d’autre part une température u assez régulière pour qu’une interpolation sur le bord (par des techniques classiques de “splines” [20]) soit raisonnablement proche Implémentation numérique de l’approximation dans H_{N}^{2} 73

de la véritable fonction. Ainsi, l’opérateur de Hankel que l’on utilisera sera celui associé à la troncature d’une estimation de la série de Fourier. Selon l’ordre et le nombre de points, on calculera les coefficients par une simple évaluation par trapèzes des intégrales correspondantes ou, pour un nombre faible de points, en interpolant les valeurs de u entre les points de mesures par des splines, puis en utilisant l’expression exacte de la série de Fourier de la fonction définie par les splines par morceaux.

Nous verrons que cette approche donne des résultats satisfaisants dans ce cadre mais comme on peut s’y attendre, en cas de flux plus irréguliers (discontinus, par exemple), les résultats en souffrent.

Pour évaluer jusqu’à quel degré les pôles sont significatifs, l’approche H_{N}^{∞} dispose dès le départ d’un critère avantageux et peu coûteux : les valeurs singulières s_{N}. Pour les étudier, on pourra prendre en compte leur ordre de grandeur et le comparer à la norme L^{∞} de f afin de s’arréter lorsque la distance entre f et H_{N}^{∞} devient inférieure à la précision machine (10^{−14} en double précision). On disposera toutefois d’un outil plus “directement” interprétable en observant la vitesse de décroissance de ces valeurs singulières sous la forme du rapport s_{N}/s_{N+1}. Il est en effet connu (c.f. O. G. Parfenov [38]) que la vitesse de décroissance de ces valeurs est au moins géométrique. De ce fait, lorsque la précision machine est atteinte, on observera un stationnement autour de valeurs proches de 1, ce qui donnera un degré limite au-delà duquel les approximants ne pourront être considérés comme représentatifs. De ce fait, comme on le voit, dés lors que la décomposition en valeurs singulières de notre opérateur de Hankel sera effectuée, on pourra évaluer directement les zéros portés par le vecteur singulier v_{N} (qui contiennent les pôles de l’approximant comme on l’a vu) correspondant au plus haut degré accessible.

L’ensemble des calculs et opérations décrites ici seront effectuées dans Matlab à partir des données obtenues dans notre programme de simulation du problème direct.

4.3 Implémentation numérique de l’approximation dans H_{N}^{2}

Comme nous l’expliquions en présentant cette méthode d’approximation, nous considérons dans cette approche f comme un polynôme trigonométrique. On rencontre donc avec l’approximation dans H_{N}^{2} un problème de représentation de f similaire à celui de l’approche AAK, avec une différence notable qui est que l’approximation dans H_{N}^{2} est continue pour la norme L^{2} (comme on peut le voir dans [12]). Pour cette approche, on travaillera systématiquement avec la série (tronquée) de Fourier de splines interpolant la fonction f, ce calcul étant intégré en quadruple précision dans le logiciel Hyperion.

Ici, ne disposant pas d’un critère d’évaluation comme les valeurs singulières dans le cas H^{∞}, on procèdera à des itérations sur le degré d’approximation, jusqu’à ce que l’approximant g_{N} correspondant se trouve à une distance L^{2} de la fonction f approximée inférieure à la précision machine.

Nous allons maintenant présenter les résultats de ces deux types d’approximations sur nos différentes données simulées.

4.4 Expérimentations numériques

4.4.1 Fissure sur l’axe réel avec une fonction de saut positive

Le premier cas que nous allons considérer est celui pour lequel la fissure est un segment de l’axe réel. Comme nous l’avons vu, il s’agit d’un cas particulièrement favorable puisque si le saut de température change k fois de signe sur le segment, on aura tous les pôles sur la fissure à l’exception d’au plus k pôles. Pour représenter notre fissure droite, nous avons choisi de décrire la fissure comme

(a) Saut de température σ sur γ.

(b) Rapport des valeurs singulières s_{k}/s_{k+1}.

Fig. 4.1 – Caractéristiques de la solution pour Φ(θ) = sin θ.

une ellipse E extrêmement fine :

E = {z = e_{1} cos θ + ie_{2} sin θ : θ ∈ [0, 2π)} ,  (4.1)

pour e_{1} = 1/2 et e_{2} = 10^{−5}. Les valeurs de θ sont équiréparties, de manière à ce que les points extrémaux γ_{0} et γ_{1} bénéficient de mesures plus rapprochées.

La première fonction que l’on choisit comme flux Φ(θ) sera tout d’abord un simple sinus Φ(θ) = sin θ de l’argument θ. Comme on peut immédiatement le constater sur la figure 4.1 (a), le saut de température sur la fissure ne change pas de signe pour ce flux, ce qui nous donne les conditions optimales sur la convergence des pôles.

4.4.1.1 Le cas H_{N}^{∞}

Les valeurs de u sont mesurées sur 1000 points du bord, et l’on estime les coefficients d’une série de Fourier tronquée entre les degrés −70 et 70. La figure 4.1 (b) nous montre que la décroissance des dix premières valeurs singulières de l’opérateur de Hankel estimé est parfaitement géométrique. Au-delà de ce degré, les valeurs singulières semblent stagner dans un même ordre de grandeur. Un estimation de cette onzième valeur singulière nous donne environ 10^{−14}. Sachant que la norme L^{∞} de la fonction est de l’ordre de l’unité, le rapport entre ces deux valeurs correspond donc à l’ordre de précision des calculs en machine (double précision).

(a) Pôles de l’approximant de degré 11  (b) Pôles de l’approximant de degré 12

Fig. 4.2 – Comportement des pôles AAK pour Φ(θ) = sin θ.

Observons maintenant le positionnement des pôles sur la figure 4.2. On constate que les résultats obtenus se confirment effectivement jusqu’au degré 11 puisque les pôles (représentés par des ’x’) sont sans exception sur la fissure. Dès le degré suivant, en revanche, on commence à voir l’apparition de pôles hors de la fissure.

(a) Pôles de l’approximant de degré 6  (b) Pôles avec la fissure

Fig. 4.3 – Comportement des pôles H_{6}^{2} pour Φ(θ) = sin θ.

Qui plus est, ce pôle “résiduel” semble correspondre parfaitement avec un zéro (représenté par un ’o’) de l’approximant, ce qui laisse supposer que la fraction obtenue pourrait se simplifier en ce pôle.

En un sens, ceci peut apparaître comme logique en considérant une propriété des approximants AAK, selon laquelle l’erreur d’approximation f − g_{N} est de module constant presque partout sur 𝕋 et égale à la valeur singulière s_{N}. De ce fait, ceci nous indique que lorsque s_{N} atteint la précision machine, l’approximant g_{N} coïncide avec f presque partout à la précision machine près, ce qui se traduit encore par le fait que, pour la machine, f n’est pas discernable de g_{N}. Il serait donc illogique d’espérer une meilleure approximation, avec les outils en présence.

4.4.1.2 Le cas H_{N}^{2}

Dans un tel cas, l’approximation L^{2} présente un intérêt moindre par rapport à l’approximation AAK. Le temps de calcul de cette dernière approche est en effet négligeable en comparaison d’un algorithme itératif comme celui que nous utilisons. Nous avons en effet pu constater que l’algorithme de Newton semble prendre ici un temps considérable dès que l’on dépasse le degré 6, principalement parce que l’approximant est déjà très proche de la fonction originale. On peut en effet voir que le critère ∥f − p/q∥_{2}^{2} / ∥f∥_{2}^{2} vaut déjà 4, 561.10^{−15}. Les données fournies à l’algorithme étant connues avec une précision relative de l’ordre de 10^{−14}, ceci explique la raison pour laquelle on pourra difficilement espérer obtenir plus de pôles. Néanmoins, les pôles de degré 6 sont obtenus dans un temps très

(a) Saut de température σ sur γ.

(b) Rapport des valeurs singulières s_{k}/s_{k+1}.

Fig. 4.4 – Caractéristiques de la solution pour Φ(θ) = cos θ + 2cos 2θ + 2sin 2θ.

raisonnable et ceux-ci donnent déjà une information correcte sur la localisation, comme en atteste la figure 4.3. Puisque le saut de température est positif, ces résultats illustrent bien une conséquence du théorème 13 puisque tous les pôles sont effectivement sur la fissure, et pas uniquement dans un voisinage.

4.4.2 Fissure sur l’axe réel avec changement de signe de la fonction saut

Dans ce deuxième cas de figure, on conserve la fissure définie par E en (4.1) mais le flux choisi est à présent Φ(θ) = cos θ + 2 cos 2θ + 2 sin 2θ.

Le premier constat que l’on peut faire dans ce cas, en observant la figure 4.4 (a), est que la fonction de saut σ change une fois de signe sur E. Selon les résultats donnés par les théorèmes 11 et 12, ceci autorise un pôle a ne pas être sur la fissure. Nous allons voir comment ce phénomène se manifeste pour notre exemple.

Notons sur la figure 4.4 (b) que la vitesse de décroissance des valeurs singulières est pour le moins irrégulière. En fait, il apparaît que toutes les valeurs singulières de notre fonction sont des valeurs doubles. Pour s’en convaincre, remarquons que la partie singulière de la fonction ne peut être dûe qu’au terme 2 sin 2θ. En effet, puisque les autres termes, ainsi que la fissure, sont invariants en appliquant une symétrie par rapport à l’axe réel, ces termes ne pourraient de ce fait induire un saut de température sur la fissure γ puisque les valeurs limites de u coïncident (u^{+} = u^{−}). De ce fait, notre problème est équivalent (à un facteur analytique près) à celui du

(a) Pôles de l’approximant de degré 9  (b) Pôles de l’approximant de degré 10

Fig. 4.5 – Comportement des pôles AAK pour Φ(θ) = cos θ + 2 cos 2θ + 2 sin 2θ.

meilleur approximant AAK de la partie singulière, à savoir l’approximant pour un flux Φ_{s}(θ) = 2 sin 2θ. Or, avec un tel flux, le problème présente une symétrie centrale par rapport au centre 0 du disque 𝔻. Ceci induit que pour un point z sur la fissure, on a u^{+}(z) = u^{−}(−z), ce qui entraîne en d’autres termes que le saut de température σ est impair. Alors la partie singulière S définie en (3.54) clairement paire. Alors, si g_{N}(z) est le meilleur approximant AAK de S, g_{N}(−z) l’est aussi et par unicité g_{N} est pair. Il ne peut de ce fait pas avoir un nombre impair de pôles, ce qui entraîne que g_{2p+1} = g_{2p} pour tout p, ce qui implique des valeurs singulières multiples.

Toutefois, de par l’incertitude sur les évaluations numériques, elles ne le sont pas exactement (on constate une légère décroissance), ce qui donne un sens au résultat de généricité que nous évoquions en 4.2, mais il n’en reste pas moins que le pôle apparaissant lors des approximations de degré impairs ne donne aucune nouvelle information. Ce fait peut être constaté en comparant sur la figure 4.5. En fait, la figure (a) y illustre ce qui se passe pour les degrés impairs : on constate un pôle confondu avec un zéro et très nettement détaché du reste des pôles. A l’inverse, on constate que tous les pôles pour des degrés k pairs vont sur la fissure, et ce en dépit du fait que seuls k −1 soient nécessairement dessus, d’après le résultat. Enfin, on notera dans ce cas encore que la limite numérique apparaît comme dûe à la précision machine puisque s_{10} est là encore de l’ordre de 10^{−14} alors que la norme L^{∞} de f estimée sur le bord vaut environ 3, 36.

4.4.3 Cas d’une fissure non portée par un diamètre

A présent, nous allons considérer le cas plus général où la fissure est définie par un arc analytique joignant deux points non alignés avec le centre du cercle. Pour modéliser cette fissure analytique, on utilise un segment entre ces deux points, ce qui, par la combinaison avec des applications conformes, couvre finalement un nombre de cas assez conséquent. Ce segment sera défini ainsi :

E = {z = 3/10 + e_{1} cos θ + i(1/5 + e_{2} sin θ) : θ ∈ [0, 2π)} ,  (4.2)

pour les mêmes e_{1} et e_{2} déjà définis en (4.1).

(a) Rapport des valeurs singulières s_{k}/s_{k+1}.

(b) Pôles de l’approximant de degré 8.

Fig. 4.6 – Convergence des pôles AAK vers un arc géodésique, avec 70 coefficients de Fourier.

Dans ce cas, il ne fait plus de sens de se préoccuper du saut de température, compte-tenu de l’énoncé du théorème 13. Nous allons ici reprendre le flux initial Φ(θ) = sin θ afin d’observer la convergence effective des pôles vers l’arc géodésique joignant les extrémités.

On constatera sur la figure 4.6 (a) que la décroissance se fait là encore de manière géométrique pour les huit premiers pôles avant de stagner sur des valeurs d’un même ordre de grandeur. En dépit de ce faible nombre de pôles, on peut constater sur la figure 4.6 (b) que les résultat est tout de même satisfaisant puisque les huit premiers pôles sont très proches de la géodésique. En revanche, il semble ici que la décroissance des pôles ne soit pas optimale par rapport à la précision du calcul puisque la huitième valeur singulière est cette fois de l’ordre de 10^{−9}. Cette stagnation pourrait avoir deux causes principales, à savoir d’une part la

(a) Rapport des valeurs singulières s_{k}/s_{k+1}.

(b) Pôles de l’approximant de degré 12.

Fig. 4.7 – Convergence des pôles AAK vers un arc géodésique, avec 150 coefficients de Fourier.

précision sur les mesures de u et d’autre part l’ordre de troncature de la série de Fourier. En augmentant ce degré de sorte d’avoir les coefficients entre −150 et 150, on peut constater ici que la deuxième hypothèse était la bonne puisque la stagnation des valeurs singulières se fait à partir de s_{12} cette fois de l’ordre de 10^{−14}. Les courbes 4.7 illustrent cet état de fait.

Le cas L^{2} présente lui aussi des résultats tout aussi satisfaisants, comme on peut le constater sur la figure 4.8 avec ceux de l’approximant L^{2} de degré 6. Ici encore le critère décroît très vite puisque la valeur ∥f − p/q∥_{2}^{2} / ∥f∥_{2}^{2} vaut déjà 3.51.10^{−13} à l’ordre 6.

Bien que notre relation d’orthogonalité non-hermitienne ne nous assure qu’une convergence asymptotique des pôles de l’approximant AAK, on constate que dans des cas comme celui-ci, la convergence est en fait très satisfaisante. Cette technique est d’autant plus appréciable que le temps requis pour le calcul est très faible : effectuer une décomposition en valeurs singulières et un calcul de racines ne prend que quelques minutes pour un opérateur de Hankel tronqué à l’ordre 100. Le deuxième avantage de cette technique est que le temps de calcul ne dépend que de l’ordre de troncature. De ce fait, obtenir l’approximant d’ordre 12 ne prend pas plus de temps que celui d’ordre 2. Ceci n’est naturellement pas le cas pour l’approximation L^{2} pour laquelle le nombre de paramètres pour la méthode de Newton croît avec le degré de l’approximant. Or dès lors que le degré dépasse un seuil (parfois de l’ordre de 7 ou 8), au delà duquel la distance de la fonction échantillonée aux approximants pourraient devenir plus petite que la précision

(a) Pôles de l’approximant de degré 6.

(b) Les pôles de l’approximant et la fissure.

Fig. 4.8 – Convergence des pôles L^{2} vers un arc géodésique

des mesures, l’algorithme peut alors rencontrer de nombreux minima locaux, ce qui entraîne une importante augmentation du temps d’itération à l’algorithme de quasi-Newton (on a pu constater jusqu’à plusieurs jours de calcul dans certains cas). Toutefois, l’absence de critère explicite ne permet pas de prévoir de tels cas. En revanche, le calcul de l’approximant AAK, grâce à son expression explicite, s’effectue en quelques minutes. Toutefois, celui-ci souffre de certains défauts par rapport à son homologue.

Si nos expériences se montrent optimistes pour les flux et les fissures que nous étudions, il convient de garder à l’esprit que la convergence des pôles AAK n’est pas “aussi indépendante” de N que celle des pôles L^{2}. Et il peut se trouver des cas où la vitesse de convergence de l’argument du facteur extérieur w_{N} ne sera pas assez satisfaisante. Disposer de l’approximation L^{2} dans ce genre de cas est donc un atout indéniable. La seconde question que l’on peut se poser est la robustesse de ces approximants face aux inévitables bruits de mesure. C’est le point que nous examinons dans ce qui suit.

4.4.4 Résistance des approximants au bruit de mesure

Après avoir abordé le problème de la continuité et constaté que la convergence paraît concluante pour des flux suffisamment réguliers, le problème suivant est celui de la sensibilité au bruit de nos méthodes d’approximation.

A cet égard, le principe même de la méthode H_{N}^{∞} semble poser un premier problème, en ce sens que si une mesure induit une erreur ϵ, l’usage de la norme L^{∞} va induire pour l’approximant une obligation de “reproduire” l’oscillation qui en résulte, ce qui peut entrainer une perturbation importante pour un bruit ne portant que sur quelques mesures. En fait, on peut même facilement comprendre que dès que la valeur singulière devient plus petite que le bruit ϵ, se rapprocher des mesures reviendrait à s’éloigner de la vraie fonction f.

(a) Rapport des valeurs singulières s_{k}/s_{k+1}.

(b) Pôles de l’approximant de degré 3.

Fig. 4.9 – Comportement des pôles AAK avec des mesures bruitées.

Pour vérifier ceci, reprenons l’expérimentation décrite en 4.4.3. Nous allons bruiter celles-ci en ajoutant à la valeur u(θ) mesurée une valeur u(θ)ϵ(θ) ou ϵ est un bruit uniformément réparti variant entre −10^{−4} et 10^{−4}. Comme on le constate sur la figure 4.9, ce bruit, bien que de faible amplitude, altère assez sérieusement les résultats. Ceci s’explique aisément en observant les valeurs singulières de l’opérateur de Hankel associé :

\begin{matrix}N & s_{N} \\ 0 & 0,185645 \\ 1 & 0,0171326 \\ 2 & 0,00158287 \\ 3 & 0,000147721 \\ 4 & 4, 81881.10^{−5} \\ 5 & 4, 42816.10^{−5} \end{matrix}

Comme on le voit, les valeurs singulières atteignent l’ordre de grandeur du bruit dès l’ordre d’approximation N = 4. De ce fait, il apparaît que l’on ne peut dépasser le degré 3 ou 4. La figure 4.10 illustre ce qui se passe pour le degré 4 où l’on remarque un éloignement de la géodésique, et pour les degrés supérieurs où les “nouveaux” pôles ne donnent manifestement plus la moindre information pertinente.

(a) Pôles de l’approximant de degré 4.  (b) Pôles de l’approximant de degré 8.

Fig. 4.10 – Comportement des pôles pour un degré élevé avec des mesures bruitées.

On peut espérer un meilleur comportement de l’approximant L^{2} dans la mesure où ce dernier cas tolère mieux les erreurs de type “oscillatoires” (en considérant qu’elle sont équiréparties autour de zéro, leur norme L^{2} sera petite). Le deuxième point que nous souhaitons souligner concerne la manière dont l’approximation AAK peut permettre d’initialiser l’approximation L^{2} afin de réduire le temps de calcul des pôles par l’algorithme itératif. On peut voir dans la figure 4.11 que le comportement de l’approximant L^{2} avec quatre pôles est plus fidèle à la géodésique que son analogue par AAK. Toutefois, il apparaît qu’au delà du quatrième pôle, augmenter le degré est sans effet : les autres pôles tendent vers le bord du cercle, souvent pour compenser de petits effets oscillatoires dûs au bruit. Les quatre pôles nous permettent toutefois de localiser la fissure et d’estimer sa longueur. De ce fait, ces informations peuvent s’avérer précieuses pour initialiser par la suite un algorithme itératif comme celui présenté dans la section 1.3.1. Il est de plus intéressant de constater que le caractère lissant que nous avons évoqué nous permet effectivement de “dépasser” en un sens la précision des mesures, puisque le critère à l’ordre 3 vaut 6, 29.!0^{−7} et 4, 77.10^{−8} à l’ordre 4.

Ainsi, on peut d’ores et déjà considérer un canevas d’identification où l’approximation AAK fournirait en un temps très court des points de départ pour

(a) Pôles de l’approximant de degré 3.  (b) Pôles de l’approximant de degré 4.

Fig. 4.11 – Comportement des pôles L^{2} pour des mesures bruitées.

localiser la fissure, ceux-ci initialisant un algorithme L^{2} avant de passer à des méthodes de résoltion du problèmes direct initialisées par ces premières informations.

4.4.5 Vers une généralisation des résultats

Les résultats qui ont été présentés ici considèrent que la fissure est un arc de Jordan lisse entre deux points qui agissent pour f comme des points de branchement d’une fonction multivaluée. Dans ce cas, nous avons vu que le lieu d’accumulation des pôles est l’arc géodésique qui les relie l’un à l’autre (les rayons du disque en sont le cas limite).

A présent, la question qui reste à déterminer est celle de savoir ce que représente de manière générale l’arc géodésique et comment nos résultats pourraient se généraliser au cas où la fissure n’est plus un arc lisse entre deux points, mais une succession d’arcs entre p points.

En fait, on dispose déjà pour cette question d’éléments de réponse assez prometteurs. On peut en effet remarquer que l’arc géodésique G entre deux points γ_{0} et γ_{1} est aussi le contour qui minimise la capacité du condensateur formé par le couple (𝕋, γ) où γ désigne une courbe continue entre γ_{0} et γ_{1}. Ce lien entre la capacité d’un condensateur et l’accumulation des pôles est renforcé par un résultat que nous présentons dans le rapport [14] dans lequel nous montrons à l’aide de la relation d’orthogonalité que la répartition asymptotique des pôles converge au sens faible-* vers la distribution des charges à l’équilibre du condensateur (𝕋, G). Ce résultat est aussi généralisé au cas des approximants

(a) Cas où p = 3 (AAK avec 10 pôles)  (b) Cas où p = 4 (AAK avec 14 pôles)

Fig. 4.12 – Expérimentations pour 3 et 4 points de rupture d’analyticité

L^{p}, pour p ≥ 2, dans [18].

Ainsi, on peut assez logiquement conjecturer que nos résultats puissent se généraliser sous la forme d’une convergence faible-* des pôles vers le contour minimisant la capacité du condensateur qui serait composé de 𝕋 d’une part et d’un contour joignant les différents points de rupture d’analyticité. Par ailleurs, le cas d’un contour joignant plusieurs points de branchement est le cas général d’un fissure polynômiale comme le montre la preuve du théorème 15 lorsque le relèvement de P rencontre des points critiques. Naturellement, une telle conjecture se prête volontiers à quelques premiers tests numériques. Comme on le voit sur la figure 4.12, pour le cas de trois puis quatre points de rupture, les résultats de nos expérimentations abondent dans ce même sens, ce qui laisse présager de manière optimiste d’une généralisation prochaine de nos résultats.

86 Mise en pratique et résultats numériques

Conclusion

Au fil de ces chapitres, nous avons vu que l’analyse complexe peut légitimement être envisagée comme un outil supplémentaire dans ce domaine vaste qu’est la détection de défauts dans les structures. Son mode d’approche la situe clairement parmi les techniques semi-explicites, et le coût relativement faible de ces méthodes permet de les envisager pour l’heure comme des méthodes d’initialisation et d’acquisition rapide d’informations préalables à des techniques d’identification plus précises. Ces recherches sont aussi à considérer comme l’ouverture vers une nouvelle approche utilisant plus intensément la palette d’outils relatifs à l’approximation fonctionnelle, ce comme autant de premiers pas vers une méthode d’identification complète.

Du point de vue de la théorie de l’approximation, nous soulignerons que la relation d’orthogonalité non hermitienne que nous utilisons tout au long de ces travaux se présente comme un analogue non linéaire de celle obtenue avec les polynômes orthogonaux, en étudiant les approximants de Padé.

A partir de ces points, plusieurs perspectives s’offrent naturellement à nous. On pourra considérer comme objectif à venir de renforcer les résultats relatifs à l’orthogonalité non-hermitienne en cherchant, par exemple, à renforcer le résultat présenté dans le théorème 13, en prenant en compte cette fois-ci le module de l’intégrande, et non plus en ne considérant que le point de vue “angulaire” qu’implique la relation. Toujours au chapitre des généralisations à envisager, nous retiendrons aussi la possibilité d’étendre les résultats à des contours analytique ou analytiques par morceau généraux, à partir de la conjecture que nous avons exposée à la fin de nos expérimentations numériques. Parallèlement à ces axes de recherche, et pour nous ramener à la question de la détection de fissure, il est une voie que nous avons pour l’instant peu explorée, qui serait d’ajouter une contrainte sur nos approximants, afin de définir un mode d’approximation dont les pôles s’accumuleraient sur la fissure et non sur la géodésique. On peut penser par exemple à une approximation sous contrainte d’avoir des résidus réels.

Nous espérons que ces nouvelles questions et ces voies possibles de recherche mèneront dans un avenir proche à une théorie plus générale sur le sujet, en relachant peu à peu nos hypothèses et prérequis sur la régularité des fissures et nous approchant ainsi, d’une méthode la plus explicite possible d’utiliser l’approximation rationnelle dans le domaine des problèmes inverses.

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Table des matières

Introduction 1

1 Détection de fissures 3 1.1 Résultats d’identifiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Résultats de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Résultats d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Méthode itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Méthode d’écart à la réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Méthode semi-explicite par factorisation . . . . . . . . . . 12

1.4 Le cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Approximation rationnelle et méromorphe 17 2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 L’analyse complexe et l’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . 19 2.3 Différents types d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 L’approximation rationnelle L^{2} . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 L’approximation méromorphe L^{∞} . . . . . . . . . . . . . . 23

3 L’équation d’orthogonalité non hermitienne 27

3.1 D’une intégrale de Cauchy à la relation d’orthogonalité . . . . . . 27 3.1.1 Approximation rationnelle L^{2} de la fonction F . . . . . . . 32 3.1.2 Approximation méromorphe L^{∞} de la fonction F . . . . . 37

3.2 Comportement asymptotique des pôles . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Un cas particulier: Lorsque la fissure est portée par un dia-

mètre du disque 𝔻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.2 Cas où le contour est un arc de géodésique hyperbolique . 40 3.2.3 Equation d’orthogonalité non hermitienne . . . . . . . . . 42 3.2.4 Application à la détection de fissure . . . . . . . . . . . . . 52

4 Mise en pratique et résultats numériques 71 4.1 Les données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2 Implémentation numérique de l’approximation AAK . . . . . . . . 71 4.3 Implémentation numérique de l’approximation dans H_{N}^{2} . . . . . . 73 4.4 Expérimentations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4.1 Fissure sur l’axe réel avec une fonction de saut positive . . 74 4.4.2 Fissure sur l’axe réel avec changement de signe de la fonc-

tion saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.3 Cas d’une fissure non portée par un diamètre . . . . . . . 79 4.4.4 Résistance des approximants au bruit de mesure . . . . . . 81 4.4.5 Vers une généralisation des résultats . . . . . . . . . . . . 84

Conclusion 87

Table des figures

1.1 Le domaine D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Une expérimentation par méthode itérative (extrait de [48]) … 9 1.3 Reconstruction du support par la méthode RG (extrait de [22]). . 12 1.4 Topologie d’un domaine par la méthode Brühl-Hanke-Pidcock. (ex-

trait de [23]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Localisation de la fissure par la méthode Brühl-Hanke-Pidcock.

(extrait de [23]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Caractéristiques de la solution pour Φ(θ) = sin θ. . . . . . . . . . 74 4.2 Comportement des pôles AAK pour Φ(θ) = sin θ. . . . . . . . . . 75 4.3 Comportement des pôles H_{6}^{2} pour Φ(θ) = sin θ. . . . . . . . . . . 76 4.4 Caractéristiques de la solution pour Φ(θ) = cos θ + 2cos 2θ + 2sin 2θ. 77 4.5 Comportement des pôles AAK pour Φ(θ) = cos θ +2 cos 2θ +2 sin 2θ. 78 4.6 Convergence des pôles AAK vers un arc géodésique, avec 70 coef-

ficients de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.7 Convergence des pôles AAK vers un arc géodésique, avec 150 co-

efficients de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.8 Convergence des pôles L^{2} vers un arc géodésique . . . . . . . . . . 81 4.9 Comportement des pôles AAK avec des mesures bruitées. . . . . . 82 4.10 Comportement des pôles pour un degré élevé avec des mesures

bruitées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.11 Comportement des pôles L^{2} pour des mesures bruitées. . . . . . . 84 4.12 Expérimentations pour 3 et 4 points de rupture d’analyticité … 85

Résumé

Il s’agit d’étudier un problème classique du contrôle non destructif : La détection d’une fissure à l’intérieur d’une structure, à l’aide de données sur le bord extérieur de l’objet étudié.

L’approche réside en une reformulation du problème 2D, sous forme d’un problème d’approximation rationnelle. Pour cela, on se dote de données harmoniques (thermiques, électrostatiques...) mesurées sur le bord. En utilisant le lien (désormais classique) entre la théorie des fonctions harmoniques et l’analyse complexe, on construira sur le bord de l’objet une fonction f à partir de données mesurées de type Dirichlet-Neumann (par exemple : la température d’une part, et le flux de chaleur à travers la frontière d’autre part).

Une fois cette fonction f construite sur le bord, nous montrerons que celle-ci est la trace sur celui-ci d’une fonction analytique dans toute la structure, sauf sur la fissure (que l’on supposera isolante pour les quantités considérées). Nous verrons alors comment obtenir une information sur la présence et la localisation de la fissure par une étude des meilleurs approximants rationnels ou méromorphes (selon certaines normes) de la fonction f.

Plus particulièrement, nous verrons comment l’étude des approximants méromorphes pour la norme L^{∞} (méthode d’Adamjan-Arov-Krein) et les approximants rationnels pour la norme L^{2} se ramène à l’étude d’une relation particulière : une équation d’orthogonalité dite “non hermitienne”.

Abstract

We study a classical problem in nondestructive control : detecting a crack inside a 2D material using boundary data.

Our approach resides in rewriting this problem as a rational approximation problem. In this aim, we measure some harmonic (thermic or electrostatic...) quantities on the boundary. Using the well-known relation between harmonic theory and complex analysis, we construct a function f, on the external boundary of the studied domain, from Dirichlet-Neumann data collected on this boundary.

We thus show that such a function f can be seen as the trace, on the boundary, of a function which is analytic inside the domain except on the crack (which is considered as perfectly insulating). We then see how meromorphic and rational approximants can help to obtain information on the existence and position of the crack.

In particular, we show how such a study, considering meromorphic approximants for the L^{∞} norm (on the boundary) and rational approximant for the L^{2} norm, leads us to a particular relation : a “non-hermitian” orthogonality equation.