L'usage des fonctions de Bellman en Analyse Harmonique a été introduit par Donald
Burkholder dans son calcul de la norme de la "transformation martingale" dans l'espace Lp. A dire
vrai, Burkholder lui-même n'a probablement pas remarqué les liens entre ses calculs et le Contrôle
Optimal, ou bien ne cherchait pas à les développer. Ces liens sont devenus fort transparents dès
lors qu'on a a examiné la preuve de Burkholder et systématisé les idées les plus novatrices de son
approche.
De nos jours, la méthode s'est développée jusqu'à devenir une véritable passerelle entre
le Contrôle Optimal Stochastique et l'Analyse Harmonique. Elle permet de découvrir et d'exploiter
des analogies profondes entre certains problèmes (ouverts ou résolus) de l'Analyse Harmonique et
les techniques de Bellman utilisées en Contrôle Optimal.
Les ingrédients principaux de la méthode ont été décrits pour la première fois dans des articles
de Nazarov-Treil-Volberg (1997, la prépublication parue en 1994) et Nazarov-Treil (1996) où les
auteurs l'ont utilisée pour des martingales à deux poids, des opérateurs de Calderon-Zygmund, des
théorèmes de plongement et de multiplicateurs de Fourier.
Les applications de la méthode se sont multipliées : d'une part, la fonction de Bellman s'avère
utile pour répondre à de vieilles questions ouvertes d'Analyse Harmonique, d'autre part elle joue
un rôle unificateur et clarificateur pour beaucoup d'autres problèmes, déjà résolus.
Dans la première catégorie on pourra citer les majorations optimales des opérateurs classiques
de Hilbert et de Riesz (Petermichl), ainsi que de la transformation d'Ahlfors-Beurling (Petermichl-
Volberg). La fonction de Bellman a été également utilisée pour résoudre un problème dur de Cohn
sur les plongements continus des espaces modèles dans L2(µ) (Nazarov-Volberg). Très récemment,
la fonction de Bellman a participée à la solution d'un problème fameux (dit conjecture A2, sur les
opérateurs de type Calderon-Zygmund arbitraires).
Dans la deuxième catégorie, on peut mentionner toutes sortes de majorations indépendantes de
la dimension pour les transformations de Riesz, pondérées ou non. Grosso-modo, étant donné un
problème, la méthode de la fonction de Bellman révèle ses propriétés multi-résolution (en principe,
cachées) et (très souvent) elle remplace les raisonnements combinatoires de temps d'arrêt par des
arguments mathématiques standard.
Réciproquement, étant donnée une question d'Analyse Harmonique possédant certaines propriétés multi-résolution, on pourra lui associer une équation de Bellman stochastique qui conduit à
la fonction de Bellman du problème. Jusqu'à présent, c'était une affaire de chance, d'expérience et
de persévérance que de résoudre cette équation. Très récemment, L.Slavin, V.Vasyunin et A.Volberg
ont trouvé une méthode pour construire la fonction de Bellman pour toute une classe de problèmes
d'Analyse Harmonique. Ceci a transformé l'art de la recherche de la fonction de Bellman en une
vraie théorie qui pourra être enseignée et appliquée largement.
Le nombre de mathématiciens de renom qui s'intéressent à ces développements ne cesse de
croître. Terence Tao et Bill Helton ont été les premiers enthousiastes, suivis par plusieurs membres des Ecoles Espagnoles et Russes. Aux Etats-Unis, une Ecole d'Automne a été organisée en Californie
sur ce sujet en octobre 2010 (Ch.Thiele, I.Uriarte-Tuero, A.Volberg), suivie par une Section Spéciale
du "Meeting of the AMS" à l'UCLA (Université de Californie à Los Angeles).
Le sujet est particulièrement adapté à l'enseignement des jeunes chercheurs, parce que
a) il établit un lien étroit et riche en applications entre l'analyse pure et le Contrôle Optimal,
b) il permet de faire avancer les recherches dans les deux domaines,
c) il peut rapidement engendrer une connaissance professionnelle et pratique d'une des méthodes
les plus puissantes de cette branche de l'analyse.
Le format approximatif proposé est le suivant: 8 cours de 1h20 assurés par A.Volberg, suivis par 8
cours de "TD" assurés par V.Vasyunin ("Construire vos fonctions de Bellman en pratique").
Enseignants : Alexander Volberg ( Michigan State University) et Vassily
Vasyunin (Institut Steklov
de Mathématiques - St.Petersbourg) |