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Présentation : Seminaire Neuromathcomp: Mathieu Desroches, University of Bristol, Department of Engineering Mathematics, United Kingdom
Systèmes dynamiques lents-rapides en dimensions 2 et 3: résultats théoriques et défis numériques.
Dans cet exposé, on s'intéressera à des classes de systèmes lents-rapides dans le plan et l'espace à trois dimensions, présentant des phénomènes dynamiques de retard à la bifurcation via l'existence de solutions spéciales dites "canards". On regardera tout d'abord le cas plan à une variable lente et une variable rapide (type Van der Pol) et l'on présentera le phénomène d'"explosion de canards" en détaillant les résultats théoriques sous-jacents ainsi que les problèmes numériques qu'ils posent. On s'intéressera ensuite au cas tridimensionnel à deux variables lentes et une rapide et l'on présentera le phénomène canard dû aux pseudo-singularités de type noeud. Après avoir résumé les principaux résultats théoriques caractérisant ce phénomène, on introduira une méthode numérique basée sur la continuation de familles à un paramètre de problèmes aux limites et l'on en montrera l'efficacité pour calculer des variétés lentes attractives et répulsives associées à ces systèmes, ainsi que des solutions canards qui organisent (pour les systèmes présentant un mécanisme de retour, par exemple des oscillateurs neuronaux) la dynamique de familles d'oscillations complexes ("mixed-mode oscillations"). On regardera l'exemple d'un systeme de type FitzHugh-Nagumo auto-couple.
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